Programmazione Dinamica

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1 Studiereo alcune tecniche per il progetto di algoriti e di trutture dati: Prograazione dinaica Algoriti goloi Analii aortizzata Vedreo poi alcuni tipi di trutture dati iportanti per le applicazioni: B-alberi Strutture dati per iniei digiunti Prograazione Dinaica Eepio: taglio delle ate Problea del taglio delle ate E data un ata etallica di lunghezza n che deve eere tagliata in pezzi di lunghezza intera (con un coto di taglio tracurabile). Per ogni lunghezza l =,,n è dato il prezzo p l a cui i poono vendere i pezzi di quella lunghezza. Si vuole decidere coe tagliare l ata in odo da rendere aio il ricavo della vendita dei pezzi ottenuti. Eepio l p l Lunghezza ata n Ricavo aio r n Suddiviione ottia o Un ata di lunghezza n può eere tagliata in n- odi ditinti in quanto abbiao una opzione tra tagliare o non tagliare in ogni poizione intera,,n-. Ad eepio per n = abbiao i eguenti 8 odi Suddiviioni

2 In generale il ricavo aio r n o è il coto p n dell ata intera oppure i ottiene effettuando un prio taglio in poizione i e quindi oando i ricavi aii del prio e del econdo pezzo, oia r n = r i + r n-i Quindi Oerviao che la oluzione ottia del problea di ottiene da oluzioni ottie di ottoproblei. Diciao che il problea ha ottotruttura ottia. Otteniao una truttura ricoriva più eplice e invece di cegliere la poizione i di un prio taglio interedio cegliao la lunghezza i del prio pezzo per cui r n = p i + r n-i Cut-Rod(p, n) if n == return q = - for i = to n q = ax(q, p[i]+cut-rod(p, n-i)) return q Albero di ricorione per n = Lo teo problea di dienione viene riolto due volte, quello di dienione quattro volte e quello di dienione otto volte. Queto piega la copleità n. Ripetizione dei ottoproblei!! Poiao ridurre la copleità evitando di riolvere più volte gli tei problei. Un prio odo per farlo è dotare l algorito di un blocco note in cui ricordare le oluzioni dei problei già riolti: etodo top-down con annotazione. Un econdo odo per farlo è calcolare pria i problei più piccoli eorizzandone le oluzioni e poi uare tali oluzioni per riolvere i problei più grandi: etodo botto-up.

3 Verione top-down con annotazione: Meoized-Cut-Rod(p, n) for i = to n // inizializza il blocco note r[i] = - return Cut-Rod-Aux(p, n, r) Cut-Rod-Aux(p, j, r) if r[j]! // il problea è già tato riolto return r[j] if j == q = ele q = - for i = to j q = ax(q, p[i] + Cut-Rod-Aux(p, j-i, r)) r[j] = q return q Verione botto-up: Botto-Up-Cut-Rod(p, n) r[] = // il problea più eplice for j = to n q = - for i = to j q = ax(q, p[i] + r[j-i]) r[ j] = q return r[n] Verione botto-up etea per calcolare la oluzione ottia e non olo il uo valore Extended-Botto-Up-Cut-Rod( p, n) r[] = for j = to n q = - for i = to j if q < p[i]+r[ j - i] q = p[i]+r[ j - i] [ j] = i // eorizzo il taglio ottio r[ j] = q return r ed La eguente procedura calcola e tapa la oluzione ottia: Print-Cut-Rod-Solution( p, n) (r, ) = Extended-Botto-Up-Cut-Rod( p, n) j = n while j > print [j] j = j - [j]

4 Moltiplicazione di atrici L algorito per oltiplicare due atrici A e B di dienioni p!q e q!r è: Matrix-Multiply(A, B) for i = to A.row for j = to B.colun C[i, j] = for = to A.colun C[i, j] = C[i, j] + A[i, ] B[, j] return C Eo richiede p!q!r prodotti calari Problea della oltiplicazione di atrici Si deve calcolare il prodotto A A... A n di n atrici di dienioni p!p, p!p,..., p n-!p n Poiché il prodotto di atrici è aociativo poiao calcolarlo in olti odi. Eepio: Per calcolare il prodotto A A A di atrici di dienioni!,!,! poiao: a) oltiplicare A per A ( prodotti calari) e poi oltiplicare per A la atrice! ottenuta ( prodotti calari). In totale prodotti calari. b) oltiplicare A per A ( prodotti calari) e poi oltiplicare A per la atrice! ottenuta ( prodotti calari). In totale 7 prodotti calari. Vogliao trovare il odo per iniizzare il nuero totale di prodotti calari. In quanti odi poiao calcolare il prodotto? Tanti quante ono le parenteizzazioni poibili del prodotto A A... A n. Ad eepio per n = : (A (A (A A ))) (A ((A A ) A )) ((A A ) (A A )) ((A (A A )) A ) (((A A ) A ) A )

5 Il nuero P(n) di parenteizzazioni poibili del prodotto A A... A n di n atrici i eprie ricorivaente coe egue: Si può diotrare che P(n) crece in odo eponenziale. Quindi, tranne per valori di n olto piccoli, non è poibile enuerare tutte le parenteizzazioni. Pao : truttura di una parenteizzazione ottia Supponiao che una parenteizzazione ottia di A A... A n preveda coe ultia operazione il prodotto tra la atrice A.. (prodotto delle prie atrici A... A ) e la atrice A +..n (prodotto delle ultie n- atrici A +... A n ). Le parenteizzazioni di A... A e di A +... A n ono parenteizzazioni ottie per il calcolo di A.. e di A +..n. Perché? Pao : oluzione ricoriva Prendiao coe ottoproblei il calcolo dei prodotti parziali A i..j delle atrici A i... A j. Ricordiao che la generica atrice A i ha dienioni p i-!p i. Di coneguenza la atrice prodotto parziale A i..j è una atrice p i-!p j con lo teo nuero p i- di righe della pria atrice A i e lo teo nuero p j di colonne dell ultia atrice A j. Se i = j allora A i..j = A i ed [i,i] =. Se i < j allora A i..j = A i... A j i può calcolare coe prodotto delle due atrici A i.. e A +..j con copreo tra i e j-. Il coto di queto prodotto è p i- p p j. Quindi

6 Pao Eepio A! A! A! A! A! A 6! A A :!!!! +6+!!!! +7+!! +7+!! ++!! ++!! ++!! +7+!! ++!! ++!! ++!! +7+!! ++!! = = 6 7 = = = = = A A : 7++!! 6++!! 7+7+!! 7++!! 6++!! 7++!! ++!! 7++!! 6++!! 7+7+!! = = = 7 8 = = 7 9 = A A : 79++!! 7++!! 79++!! ++!! 7++!! 79++!! = = = 9 A.... A : 9++!! ++!! 9++!! = 9 = 9 A.. A 6..6 : 9++!! p i = 69 p 6 A.. A.. A.. A.. A A.. A.. A.. A A.. A.. 7 A.. A.. A.. A.. A..6 A..6 A..6 7 A..6 A..6 A 6..6 j Pao : calcolo del coto inio Matrix-Chain-Order(p, n) for i = to n [i, i] = for j = to n for i = j- downto [i, j] = " for = i to j- q = [i, ] + [+, j] + p i- p p j if q < [i, j] [i, j] = q [i, j] = return, Copleità: O(n ) Pao Eepio A! A! A! A! A! A 6! 6 i 6 A.. A..6 A.. A.. (A.. A..6 ) A.. A.. A.. ((A A.. ) (A.. A 6 )) A.. ((A (A A )) ((A A ) A 6 )) A.. A.. A.. A.. A.. A.. A.. A.. A..6 A..6 A..6 A..6 A..6 A 6..6 j Pao : tapa della oluzione ottia Print-Optial-Paren(, i, j) if i == j print A i ele = [i, j] print ( Print-Optial-Paren(, i, ) print! Print-Optial-Paren(, +, j) print ) Copleità: O(n)

7 Calcolo del prodotto di una equenza di atrici Matrix-Chain-Multiply(A...A n, i, j, ) if i == j return A i ele = [i, j] A = Matrix-Chain-Multiply(A...A n, i,, ) B = Matrix-Chain-Multiply(A...A n, +, j, ) return Matrix-Multiply(A, B) Si potrebbe anche uare direttaente la definizione ricoriva del coto inio per il prodotto di atrici per calcolarlo ricorivaente enza uare le atrici ed. Rec-Matrix-Chain-Cot(p, i, j) if i = j return ele cin = " for = i to j- q = Rec-Matrix-Chain-Cot(p, i, ) + Rec-Matrix-Chain-Cot(p, +, j) + p i- p p j if q < cin cin = q return cin Copleità T(n) con n = j-i+ Per otituzione i può diotrare che dove c = in(a,b). Quindi T(n) =!( n ).

8 ,,,,,,,,, Caua della copleità eponenziale: Rec-Matrix-Chain-Cot(p,,),,,, = = = = = = = =,,, = = =,,,,,,, =,, La copleità diventa eponenziale perché vengono riolti più volte gli tei ottoproblei. =,, Poiao evitare il ricalcolo dei coti inii dei ottoproblei dotando la procedura ricoriva di un blocco note (una atrice di dienione n!n) in cui annotare i coti inii dei ottoproblei già riolti. Meoized-Matrix-Chain-Order(p, n) for i = to n for j = i to n do [i, j] = " return Meoized-Chain-Cot(p,, n, ) Meoized-Chain-Cot(p, i, j, ) if [i, j] = " if i == j [i, j] = ele for = i to j- q = Meoized-Chain-Cot(p, i,, M) + Meoized-Chain-Cot(p, +, j, M) + p i- p p j if q < [i, j] [i, j] = q return [i, j] Copleità: O(n )