AMMORTAMENTI A RATE ANTICIPATE

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1 Aortaenti a rate anticipate AMMORTAMENTI A RATE ANTICIPATE Sia l operazione regolata secondo la legge della capitalizzazione coposta con tasso di interesse periodale i coerente con la periodicità di pagaento delle rate. + S R 0 R1 K R K -1 con x { S R, R, R, R }/{ 0,1,2, 1} / t = R = C + I = 0,1, K, 1 rate d aortaento C = 0,1, K, 1 quote capitale tali che C S I quota interesse aturata in [, +1] L operazione deve soddisfare la condizione di equità: 1 = 0 = è pagata in, = 0,1, K, 1 1 ( 0, ) = 0 S R (1 i) = 0 W x Se I 0 > 0 e 0 = 0 + = 0 C si ha l aortaento con anticipazione degli interessi. 21

2 Aortaenti a rate anticipate Restituzione del capitale in unica soluzione e pagaento periodico degli interessi anticipati Consideriao il caso: C C = K = 0 C = S 0 = 1 C 1 = in cui si ha la restituzione del capitale in unica soluzione, a scadenza. Si ha quindi I R 1 = i S ( 1+ i) = d S, = 0, K, 1; = d S, = 0, K, 1; R = S L operazione finanziaria è equa. { S d S, d S, d S, S} /{ 0,1,2,, 1, } x / t = K Osservazione: interpretazione finanziaria per la forula 1 (1 + i) a& i = 1 d a& i (1 + ) = 0 d i può essere interpretata coe condizione di equità per l operazione finanziaria { 1 d, d, d, K, d, 1} /{ 0,1,2, 1, } 22

3 Aortaenti a rate anticipate Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in con = 1, K, 1. Qual è la soa D da pagare in, pria di pagare la rata esigibile in, per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità? Sia / s = { S d S, d S, d S, d S, D }/{ 0,1,2, 1, } y l operazione finanziaria che descrive l estinzione anticipata. W ( y ) = 0 S(1 + i) ( d S) && s D = 0 D = S, i Si definisce D = S D +1 = 0 D debito residuo in pria del pagaento della rata R, = 0, = 0, 23

4 Aortaenti a rate anticipate Osservazione Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in t con 1 < t <. Qual è la soa X da pagare in t per chiudere l operazione, antenendo la condizione di equità? Sia { S d S, d S, d S, d S, X} /{ 0,1,2,, 1, t} y / s = K l operazione finanziaria che descrive l estinzione anticipata. W t t + 1 ( t, y) = 0 S(1 + i) ( d S) s (1 + i) X = 0 X = M (, x) Quindi il debito residuo coincide con il ontante. i t Si noti che X ( t) = S(1 + i). Se t =, l estinzione avviene pria del pagaento della quota interesse in e si ha S X = M, x. Infatti, per definizione, la valutazione del ontante X =, a non si ha più ( ) in è fatta dopo, e non pria, del pagaento della quota interesse esigibile in. 24

5 Aortaenti a rate anticipate Aortaento progressivo a rate anticipate con x { S R, R, R, R }/{ 0,1,2, 1} / t = R = C + I = 0,1, K, 1 rate d aortaento C = 0,1, K, 1 quote capitale tali che C S I quota interesse aturata in [, +1] L operazione deve soddisfare la condizione di equità: Si definisce 1 ( 0, ) = 0 S R (1 i) = 0 W x + = 0 1 = 0 = e pagata in, = 0,1, K, 1 D debito residuo in pria del pagaento della rata R, = 0,1, K, D = S C = C = 1, K, 1 D = S h= 0 D h 0, = 0 La quota interessi = d D + 1 h= h I atura nell intervallo [, +1] I = 0,1, K, 1 sul debito residuo D +1 25

6 Aortaenti a rate anticipate Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in con = 1, K, 1. Qual è la soa X da pagare in, pria di aver pagato la rata R, per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità? Sia s = { S R, R, R, R, X} /{ 0,1,2, 1, } y l operazione finanziaria che / descrive l estinzione anticipata. W 1 2 ( y ) 0 ( S R )(1 + i) R (1 + i) R (1 + i) K R (1 + i) X 0, = = X = 1 2 ( S 1 R0 )(1 + i) R1 (1 + i) R2 (1 + i) K R (1 + i) Per antenere il legae tra debito residuo e ontante anche negli aortaenti a rate anticipate è necessario odificare la definizione di ontante. Si definisce ontante in dell operazione di aortaento pagaento della rata R esigibile in M ( ) 1 2, = i x / t, valutato pria del x ( S R )(1 + i) R (1 + i) R (1 + i) K R (1 + ) = 1, ( 0, x) S M = Quindi il ontante è la soa da pagare per estinguere anticipataente il prestito. Se < t < + 1 M ( t, x ) = M ( t, x) è la soa da pagare in t per estinguere il prestito. 26

7 Aortaenti a rate anticipate Proviao che il debito residuo coincide con il ontante M È inoltre ( ) = S C0 C1 C 1 D K = 1, 1 2, = i x ( S R )(1 + i) R (1 + i) R (1 + i) K R (1 + ) = 1, ( ) M 0, x = S = D0 Lea: relazione ricorrente per il ontante Si ha Proviao che ( +, x ) = M (, x) ( R )(1 ) M 1 + i (, ) S C C K C = D M = Si diostra per induzione. x = 1, 27

8 Aortaenti a rate anticipate, 0 1 C 1 D = Base: M ( x ) = S C C K = 0 Passo induttivo: se M ( + 1, x ) = S C0 K C = D + 1 allora M (, x ) = S C0 K C 1 = D Dalla relazione ricorrente per il ontante, e sfruttando l ipotesi induttiva, si ha Poiché si ha 1 (, x ) = D + 1 (1 + i) + R = D + 1v + C I M + D + 1 v + C + d D + 1 = D + 1 v + C + i v D + 1 = D + 1 = D + C + 1 = S C0 C1 K C (, x ) S C C K C + C = S C C K C = D M = È così provato il passo induttivo. 28

9 Aortaenti a rate anticipate Riassuendo, con D = d D + 1 I = 0,1, K, 1 + = S C0 C1 K C 1, = 0,1, K, 1 e D 0 = S Inoltre Essendo M Posto V Essendo si ha ( ) D (, x) = M = 0, 1 2, = i x ( S R )(1 + i) R (1 + i) R (1 + i) K R (1 + ) = 1, ( 0, x) S M = W (, x ) 1 2 ( 1 ) + 1 (1 + i) R + 2(1 + i) R1(1 + i) = R R K (, x ) = M (, x) + V (, x) e W (, x) = 0 D (, x ) = V (, x) = M = 0, 29

10 Aortaenti a rate anticipate Verifica della condizione di equità Siano C = 0,1, K, 1 quote capitale tali che C S essendo I = 0,1, K, 1 quote interesse con 1 1 D = S C = C = 1, K, 1 D = S h= 0 D h 0, = 0 h= h 1 = = 0 I = d D + 1 il debito residuo in pria del pagaento della rata R, = 0,1, K, 1 Risultano così assegnate le rate d aortaento R = C + I = 0,1, K, 1 Proviao che l operazione x { S R, R, R, R }/{ 0,1,2, 1} / t = soddisfa la condizione di equità: W ( 0, x ) = 0 S R (1 i) = 0 + = 0 30

11 Aortaenti a rate anticipate Dalla relazione ricorrente per il ontante si ha quindi ( +, x ) = M (, x) ( R )(1 ) M 1 + i R R 1 1 (, x ) M ( + 1, x) (1 + i) = D D (1 + ) + 1 = M i (1 + i) = Soando si ottiene D (1 + i) D ( + 1) + 1 (1 + i) R ( 1+ i) = D (1 + i) D 1(1 + i) = D0 D (1 + i) = D0 = = 0 = 0 = 0 + ( + 1) S È così provata la condizione di equità. Esepio: Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue anticipate e quote capitali pari rispettivaente a , 2.000, e euro. 31

12 Aortaenti a rate anticipate Aortaento con anticipazione degli interessi con R 0 = I0 R = C + I = 1, K, 1 Esepio: x { S R, R, R, R }/{ 0,1,2, 1} / t = = 1 C 0 = 0, C = 0,1, K, 1 tali che C S Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue con anticipazione degli interessi e quote capitali pari rispettivaente a 5.000, , e euro. Esepio (aortaento tedesco): Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue con anticipazione degli interessi e quote capitali costanti posticipate. = 32

13 Aortaenti a rate costanti anticipate AMMORTAMENTO A RATE COSTANTI ANTICIPATE Nell aortaento a rate costanti anticipate si ha R R = = R = 0 = 1 K 1 R quindi x / t = S R, R, R, R / 0,1,2, 1 Per la condizione di equità si ha W Indicate con si ha Il debito residuo è dato da { } { } i = 0 (, x ) = 0 S R(1 i) = 0 S R a& = 0 R = C + I = 0,1, K, 1 le rate d aortaento I = 0,1, K, 1 quote interesse con D = R a& i = 1 C h h= D = 1, K, 1 & = 1, K, 1 I = d D

14 Aortaento a rate costanti anticipate Negli aortaenti progressivi le quote interessi sono non crescenti. Nel caso dell aortaento a rate costanti, le quote interesse sono decrescenti, quindi le quote capitale sono crescenti. Si ha che le quote capitale sono crescenti in progressione geoetrica di ragione ( 1+ i) C Si ha allora + 1 = C (1 + i) = 0,1, K, 2 C = C (1 i) = 1,2, K, i + essendo C0 = R I0 = R d ( S C0) = R d( R a& C0 ) = R(1 + i) dc0 Quindi ( 1) 0 = R(1 + i) C, 1 C = Rv = 0,1, K, 1 Si possono allora calcolare direttaente le quote capitale conoscendo la rata costante. Si diostra che le quote capitale coincidono con quelle dell aortaento a rate costanti posticipate. Osservazione: C = R I = R d D ( 1) 1 ( R a& ) = R(1 + i Rv + 1 = R d 1 i ) = & = 0,1, K, 1 34

15 Aortaento a rate costanti anticipate Poiché = d D + 1 I = 0,1, K, C h h= + 1 con D = = 0,1, K, 2 e D = 0 se le quote capitali non sono note, per deterinare le quote interesse del piano d aortaento si può partire dall ultia I 1 = 0 quindi C 1 = R I 2 = d D 1 = d C1 C 2 = R I2 oppure si deterina il debito residuo ediante la relazione ricorrente ( +, ) = M (, x) ( R )(1 ) M 1 x + i = 0,1, K, 1 Esepio: Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue costanti anticipate. 35

16 Esercizi su aortaenti a rate anticipate ESERCIZI SU AMMORTAMENTI A RATE ANTICIPATE Un finanziaento di euro è aortizzato al tasso annuo del 4,3% ediante il versaento di 16 rate annue costanti anticipate. Redigere le prie 2 e le ultie 2 righe del piano di aortaento (in odo da evidenziare le grandezze finanziarie rilevanti, relative alle prie 2 ed alle ultie 2 rate di aortaento). Calcolare il valore residuo dell operazione di aortaento, 4 anni e 7 esi dopo la stipulazione del contratto, in base al tasso di valutazione annuo del 3,5%. (7/2/2012) Un finanziaento di euro viene aortizzato in 10 anni al tasso di interesse annuo del 4,3% ediante il versaento di rate annue con anticipazione degli interessi (la pria rata di aortaento, versata anticipataente, coprende la sola quota interessi, le quote capitali vengono pagate a partire dalla seconda rata, in tutto ci sono 11 rate). Redigere le prie tre e le ultie due righe del piano di aortaento sapendo che le prie due quote capitale aontano rispettivaente a e euro e le ultie due aontano a euro ciascuna. Nel contratto di utuo è inoltre data la possibilità di optare, trascorsi due anni dalla stipulazione del contratto e subito dopo avere effettuato il pagaento della terza rata, per un aortaento a rate costanti, fere restando le condizioni econoiche e la durata coplessiva del prestito. Deterinare l aontare della rata costante. (24/1/2012) 36