AMMORTAMENTI A RATE POSTICIPATE

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1 AMMORTAMENTI A RATE POSTICIPATE Ci ettiao nell ipotesi che l operazione sia regolata secondo la legge della capitalizzazione coposta con tasso di interesse periodale i coerente con la periodicità di pagaento delle rate. con + S R K R R 0 K - x { S, R, R, R }/{ 0,,2,, } / t = 2 K R = C + I =,2, rate d aortaento C =,2, quote capitale tali che C S I quota interesse aturata in [, ] L operazione deve soddisfare la condizione di equità: = = e pagata in, =,2, ( 0, ) = 0 S R ( i) = 0 W x + = 5

2 Restituzione del capitale in unica soluzione e pagaento periodico degli interessi posticipati Consideriao il caso: C C = K = 0 C = S = 2 C = in cui si ha la restituzione del capitale in unica soluzione, a scadenza. Si ha I = i S, =, ; quindi = i S, =, K, ; R = i S + S L operazione finanziaria x / t = S, i S, i S, i S S / 0,,2, R { } { } è equa. Osservazione: interpretazione finanziaria per la forula ( + i) a i = i a i ( + ) = 0 i i Può essere interpretata coe condizione di equità per l operazione finanziaria {, i, i, i } /{ 0,,2, } 6

3 Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in con =, K,. Qual è la soa di equità? D da pagare in per chiudere l operazione antenendo la condizione Sia / s = { S, i S, i S, i S, i S D }/{ 0,,2,, } y l operazione finanziaria che descrive l estinzione anticipata. W ( y ) = 0 S( + i) ( i S) s D = 0 D = S Si noti che M (, x), i D =. Si definisce D debito residuo in dopo il pagaento della rata R, D = S =, K, =, D 0 = S, D = 0 Si ha allora che la quota interesse pagata in I = i S =, atura nell intervallo [, ] sul debito residuo D, cioè I = i D 7

4 Osservazione Consideriao invece il problea dell estinzione anticipata del prestito in t con < t < +. Qual è la soa D t da pagare in t per chiudere l operazione, antenendo la condizione di equità? Sia { S, i S, i S, i S, Dt }/{ 0,,2,,, t} y / s = K l operazione finanziaria che descrive l estinzione anticipata. W t t ( t, y) = 0 S( + i) ( i S) s ( + i) D = 0 D = M ( t, x) Quindi il debito residuo coincide con il ontante. Si noti che i t t D t t t ( t, ) = M (, x) ( + i) = S( + i = M x ). 8

5 Aortaento progressivo a rate posticipate con x { S, R, R, R }/{ 0,,2,, } / t = 2 K R = C + I =,2, rate d aortaento C =,2, quote capitale tali che C S I quota interesse aturata in [, ] L operazione deve soddisfare la condizione di equità: = = e pagata in, =,2, Si definisce ( 0, ) = 0 S R ( i) = 0 W x D = + = D debito residuo in dopo il pagaento della rata S Ch = Ch =, K, h= h= + D 0 = S, D = 0 La quota interessi = i D I atura nell intervallo [, ] I =, R, sul debito residuo D =, 9

6 Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in con =, K,. Qual è la soa X da pagare in, dopo aver pagato la rata R, per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità? Sia s = { S, R, R, R X} /{ 0,,2,, } y l operazione finanziaria che descrive / 2 K l estinzione anticipata. W 2 (, y ) = 0 S( + i) R ( + i) R ( + i) K R X 0 X = M (, x) 2 = Quindi il ontante è la soa da pagare per estinguere anticipataente il prestito. Osservazione Se consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in t con < t < +, il ontante è ancora la soa da pagare in t per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità. Infatti, l operazione finanziaria è equa. y { S, R, R, R, M ( t, x) }/{ 0,,2,,, t} / s = 2 K 0

7 Proviao che il debito residuo D coincide con il ontante È inoltre M = S C C K 2 C =, 2 ( ) = S( + i) R ( + i) R2( + i) K R, x =, ( 0, x ) = S D0 M = Lea: relazione ricorrente per il ontante Si ha M Proviao che ( +, x ) = M (, x) ( + i) R + ( ) = S C C2 K C D M, x = =, Si diostra per induzione.

8 M 0, x = S = D Base: ( ) 0 Passo induttivo: se M (, x ) = S C K C = D allora M ( +, x ) = S C K C C + = D + Dalla relazione ricorrente per il ontante, e sfruttando l ipotesi induttiva, si ha Poiché si ha M D ( +, x ) = M (, x) ( + i) R + = D ( + i) C + I + = D C + = S C C K 2 C M È così provato il passo induttivo. ( +, x ) = S C C2 K C C+ = D + 2

9 Riassuendo, con Inoltre Poiché si ha essendo I =, = i D D K, = 2, e D = S = S C C2 C (, x) D = M = 0, (, x ) = M (, x) V (, x) e W (, x) = 0 W + V D (, x ) = V (, x) = M = 0, 2 ( ) (, x ) = R ( + i) R ( + i) K R ( i Osservazione: (, x) ) V rappresenta il bilancio finanziario in dell operazione finanziaria t x / ; in particolare, tale bilancio finanziario può essere valutato ad un tasso i diverso dal tasso i per il quale l operazione finanziaria è equa. 0 3

10 Verifica della condizione di equità Siano C I essendo = = I = i D =,2, quote capitale tali che C S =,2, quote interesse con D = S C h= h = D 0 = S, D = 0 Ch h= + =, K, il debito residuo in dopo il pagaento della rata R, Risultano così assegnate le rate d aortaento R = C + I =,2, Proviao che l operazione x =, { S, R, R, R }/{ 0,,2,, } / t = 2 K soddisfa la condizione di equità: W ( 0, x ) = 0 S R ( i) = 0 + = 4

11 Dalla relazione ricorrente per il ontante si ha M (, x ) = M (, x) ( + i) R quindi R (, x )( + i) M (, x) = D ( + i D = M ) R Soando si ottiene ( ) ( + i) = D ( + i) D ( + i) R ( + i) = D ( + i) D ( + i) = D0 D ( + i) = D0 = = = ( ) = S È così provata la condizione di equità. 5

12 R Piano d aortaento C 0 D 0 = S R C D = D0 2 R 2 C 2 2 D = D I D I C I 2 C2 M M M M M M M M M M R C I D = 0 S Esepio: Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue posticipate e quote capitali pari rispettivaente a 5.000, 0.000, e euro. 6

13 Aortaento a rate posticipate e quote capitali costanti con AMMORTAMENTO A RATE POSTICIPATE E QUOTE CAPITALI COSTANTI x { S, R, R, R }/{ 0,,2,, } / t = 2 K R = C + I =,2, rate d aortaento C =,2, quote capitale tali che C = C = K = C = C 2 quindi per il vincolo di chiusura I C = = S si ha C = =,2, quote interesse con I i D h= h h h= + essendo D = S C = C = S C = ( )C D 0 = S, D = 0 = S =, K, L operazione finanziaria x / t è equa. Esepio: Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue posticipate e quote capitali costanti. 7

14 Aortaento a rate costanti posticipate AMMORTAMENTO A RATE COSTANTI POSTICIPATE Nell aortaento a rate costanti posticipate si ha R = R = K = R = 2 R quindi x / t = S, R, R, R / 0,,2, Per la condizione di equità si ha { } { } 0 + i = (, ) = 0 S R( i) = 0 S R a = 0 W x Indicate con R = C + I =,2, le rate d aortaento si ha I =,2, quote interesse con I i D Il debito residuo è dato da D R a i D = C h h= + = = 0, K, = 0, K, = 8

15 Aortaento a rate costanti posticipate Negli aortaenti progressivi le quote interessi sono non crescenti. Nel caso dell aortaento a rate costanti, le quote interesse sono decrescenti, quindi le quote capitale sono crescenti. Si ha che le quote capitale sono crescenti in progressione geoetrica di ragione ( + i) C Si ha allora + = C ( + i) =,2, K, ( + i) C = C =,2, essendo C = R I = R i S = R i( R a ) = R( + i) = R v Quindi + i C = R v =,2, Si possono allora calcolare direttaente le quote capitale conoscendo la rata costante. Osservazione: ( + ) + ( R a ) = R( + i R v C = R I = R i D =,2, Esepio: = R i + i ) = Aortaento di un prestito di euro, al tasso annuo del 4,5%, con 4 rate annue costanti posticipate. 9

16 Esercizi su aortaenti a rate posticipate ESERCIZI SU AMMORTAMENTI A RATE POSTICIPATE Si contrae un prestito di euro al tasso annuo del 5,8%. Calcolare il nuero inio di rate di aortaento costanti posticipate se l iporto assio della rata che si è disposti a pagare è euro. Esercizio tratto da un copito d esae. Un finanziaento di euro è aortizzato in 20 anni al tasso di interesse annuo del 5,2% ediante il versaento di rate seestrali costanti posticipate. Redigere le prie 2 e le ultie 2 righe del piano di aortaento (in odo da evidenziare le grandezze finanziarie rilevanti, relative alle prie 2 ed alle ultie 2 rate). Alla scadenza della dodicesia rata, il rispariatore decide di estinguere parte del debito residuo versando, oltre alla rata in scadenza, euro a titolo di riborso parziale del prestito. Deterinare l aontare del debito residuo subito dopo il pagaento della dodicesia rata. Calcolare inoltre l aontare della nuova rata costante di aortaento, tenendo conto dell estinzione parziale del prestito e antenendo inalterate le scadenze delle rate ancora da pagare. 20