Incertezze nelle misure dirette

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1 Incertezze nelle isure dirette Incertezza assia È l incertezza che definisce l intervallo entro il quale si confida debba cadere con sicurezza il valore vero di. La stia è pessiistica: ogni contributo di incertezza è stiato nelle condizioni peggiori. Incertezza statistica È l incertezza che dà una stia della probabilità che il valore della grandezza isurata sia copreso in un certo intervallo.

2 Incertezze nelle isure dirette 1 Caso Le incertezze sono legate alla sensibilità degli struenti ipiegati Incertezza di sensibilità fluttuazione intrinseca delle isure. Incertezze di sensibilità

3 Incertezze (Errori) di sensibilità Supponiao di voler eseguire la isura della lunghezza x di un parallelepipedo utilizzando una riga illietrata e di ripetere la isura N volte. Notereo che tutte le isure danno coe risultato lo stesso valore in quanto lo struento non è così sensibile da percepire le fluttuazioni intrinseche alla isura. In tal caso si può solo dire, ad esepio, che 2.5 c < x < 2.6 c ovvero x = (2.55 ± 0.05) c

4 Analogaente se vogliao effettuare una isura con il teroetro clinico allora dalla lettura sulla scala risulta 36.6 C < x < 36.7 C Siao cioè in grado di apprezzare ezzo decio di grado e il risultato della isura si scrive è T = (36.65 ± 0.05) C

5 Ancora supponiao di voler isurare l apiezza di un angolo con il gonioetro in figura. Con questo struento si può apprezzare ezzo grado 41 < < 42 e il risultato di una tipica isura si scrive = (41.5 ± 0.5)

6 In tutti i casi che abbiao considerato, l incertezza associata alla isura è legata alla sensibilità dello struento. Se la sensibilità è stata definita coe la più piccola variazione della grandezza che lo struento è in grado di apprezzare, essa risulta legata alla più piccola divisione (tra due tacche consecutive) o ad una frazione apprezzabile di questa riportata sulla scala dello struento. Nei casi precedenti coe incertezza è stata usata la ezza divisione, in linea più generale, quando visivaente non si è in grado di apprezzare la ezza divisione, si usa coe incertezza una divisione. Negli esepi precedenti allora poiché le più piccole divisioni corrispondono rispettivaente a 1, 0.1 C e 1, è olto probabile trovare scritture del tipo: x = (2.8 ± 0.1) c T = (36.6 ± 0.1) C = (41 ± 1)

7 Osservazione Le incertezze sono caratterizzate da una sola cifra significativa e il valore che dà la stia della grandezza in esae è scritta in odo coerente con esse, ovvero l ultia cifra significativa a destra coincide con la posizione della cifra significativa dell errore. x = (2.85 ± 0.05) c T = (36.65 ± 0.05) C = (41.5 ± 0.5) x = (2.8 ± 0.1) c T = (36.6 ± 0.1) C = (41 ± 1)

8 Incertezze assolute e relative x = (16.55 ± 0.05) c L incertezza assoluta della isura e 0.05 c (ovvero 0.5 ) Ma l incertezza Δ da sola può non essere sufficiente a deterinare la bontà della isura, che dipende anche dal valore della grandezza isurata. L incertezza relativa della isura e data da (isura più grossolana) Δ M x 1 = (4.55 ± 0.05) c x 2 = (53.20 ± 0.05) c Δx x Δx x % % 1 Δx x

9 Incertezze nelle isure indirette e propagazione degli errori assii Quando una grandezza fisica viene deterinata indirettaente attraverso la isura dirette di altre grandezze i f (,,,...) occorre stabilire coe le incertezze sulle i sull incertezza della grandezza derivata. si riflettono Δ i Δ?

10 Stia del valore di 1 step isura diretta di i 2 step calcolo attraverso la relazione funzionale che lega alle i Stia di 1 step valutazione delle incertezze i delle i 2 step deterinazione della propagazione delle i su

11 Soa di grandezze oogenee Siano 1 = e 2 = = f(, ) = + igliore stia di ; incertezza associata igliore stia di ; incertezza associata Ovvero = ± = ± La igliore stia di è = + e?

12 = ± - + in ax = ± - + in ax ax = ax + ax = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = + ( + ) analogaente in = in + in = ( - ) + ( - ) = ( + ) - ( + ) = - ( + )

13 in = - ( + ) ax = + ( + ) - ( + ) + ( + ) Pertanto la quantità ( + ) definisce l intervallo entro il quale deve cadere il valore di e quindi rappresenta l incertezza = ( + )

14 Differenza di grandezze oogenee Siano 1 = e 2 = = f(, ) = - igliore stia di ; incertezza associata igliore stia di ; incertezza associata Ovvero = ± = ± La igliore stia di è = - e?

15 = ± - + in ax = ± - + in ax ax = ax - in = ( + ) - ( - ) = ( - ) + ( + ) = + ( + ) analogaente in = in - ax = ( - ) - ( + ) = ( + ) - ( + ) = - ( + )

16 in = - (+ ) ax = + ( + ) - ( + ) + ( + ) Pertanto la quantità ( + ) definisce l intervallo entro il quale deve cadere il valore di e quindi rappresenta l incertezza = ( + )

17 Regola generale Sia = f(,, Z, U, V, W, ) = ++Z U V W.. con,, Z, U, V, W,. incertezze associate La igliore stia di è = + + Z - U - V - W.. e = + + Z + U + V + W.

18 Propagazione delle incertezze nei prodotti Siano 1 = e 2 = = f(, ) = (assuiao per il oento e >0) igliore stia di ; incertezza associata igliore stia di ; incertezza associata Ovvero = ± = ± La igliore stia di è = e?

19 ax = ax ax = ( + ) ( + ) = Trascurabile se << e << ax = +( + )= +( + ) Analogaente in = in in = -( + )= - ( + )

20 raficaente: = ( + )

21 = ( + ) r r r

22 Se e/o sono < 0 = ( + )

23 Propagazione delle incertezze nei quozienti Siano 1 = e 2 = = f(, ) = / (assuiao per il oento e >0) igliore stia di ; incertezza associata igliore stia di ; incertezza associata Ovvero = ± = ± La igliore stia di è = / e?

24 in ax ax ax in in 2 2 in ax ) ( Trascurando () 2 2

25 r r r

26 Se e/o sono < 0

27 Regola generale Sia = f(,, Z, U, V, W, ) con,, Z, U, V, W,. incertezze associate La igliore stia di è data da W V U Z W V U Z e... W W V V U U Z Z

28 OSSERVAZIONE: W W V V U U Z Z...

29 eneralizzazione della propagazione delle incertezze assie (per una generica funzione): Supponiao per seplicità che f e sia = ( ± ) e rappresentiao graficaente f() f( + ) f( ) f( - ) - +

30 f() f( + ) f( ) f( - ) Se è piccola il tratto di curva copreso fra - e + si confonde con la tangente in e pertanto ha senso effettuare un approssiazione al prio ordine (lineare) con equazione - + In questa approssiazione essendo: y f df d f f f f f f y y

31 y y df d f df d

32 Se f,,z,... e = ( ± ) = ( ± ) Z= (Z ± Z) per il teorea del differenziale abbiao d d d Z dz... Passando dalle quantità infinitesie a quantità piccole a finite,,, Z, si ha, a eno di terini di ordine superiore: Z Z...

33 Poiche siao interessati alla assia variazione di (valutazione più pessiistica dell incertezza) Z Z... OSSERVAZIONI È rigorosaente valida se dipende linearente,, Z,... È valida approssiativaente se Δ, Δ, ΔZ,... sono piccoli rispetto a. Δ è un errore assio.

34 Tabella riassuntiva sulla propagazione delle incertezze assie

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36 Nell addizione (e nella sottrazione) il nuero delle cifre significative del risultato è deterinato da quella dell addendo più incerto: si ferano le cifre significative della soa in corrispondenza della più arretrata (a sinistra) tra le posizioni delle ultie cifre significative degli addendi. Non e iportante il nuero di cifre significative a la loro posizione. Esepio =

37 Nella divisione e nella oltiplicazione il risultato ha un nuero di cifre significative pari a quelle del nuero che ne possiede eno di tutti. 3 cifre significative 3.40 x = cifre significative 41.6