Esercizi di Microeconomia Avanzata

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1 Esercizi di icroeconoia Avanzata Teoria del Consuatore - Soluzioni April 6, 06 Esercizio Si consideri la seguente funzione di utilità: u (x, x ) = x x Deterinare le funzioni di doanda arshalliane Anzitutto si noti che non possono esserci soluzioni d'angolo, dato che l'utilità arginale del bene x i tende ad innito per x i che tende a zero La Lagrangiana per questo problea di assiizzazione vincolata è L(x, x, λ) = x x λ(x p + x p ) e le condizioni del prio ordine sono: λp x = 0 () λp x = 0 () x p + x p = (3) Dalla () otteniao λ = e dalla () otteniao λ = x Si ha quindi = = x p = x p p = x = x p p Sostituendo questa espressione nel vincolo di bilancio (3), si ottiene: x p + x p p p = = x p + x p p = ettendo in evidenza x p, si ha x p ( p + p ) = = x (p, ) = p( p + p ) e x (p, ) = p( p + p ) ostrare che la funzione di utilità indiretta è ( p + p ), dove è il reddito Deriviao la funzione di utilità indiretta sostituendo le funzioni di doanda arshalliane nella funzione di utilità: v(p, ) = x ( p( (p,) x = p + p ) (p,) + p ( p ) + p ) = ( p + p )

2 3 Derivare la funzione della spesa Deriviao la funzione della spesa partendo dalla funzione di utilità indiretta: v(p, e(p, u)) u = ( p + p ) e(p,u) = u = e(p, u) = ( p + p) u Si noti che, essendo u < 0, la funzione della spesa è positiva! 4 Deterinare le funzioni di doanda Hicksiane Deriviao le funzioni di doanda hicksiane dalla funzione della spesa utilizzando il Lea di Shephard: h (p, u) = e(p,u) p = ( p + p) u p e h (p, u) = e(p,u) p = ( p + p) u p Si noti che, essendo u < 0, le funzione di doanda hicksiane sono positive! Esercizio ostrare che se u (x, y)è oogenea di grado uno, la funzione di utilità indiretta è lineare nel reddito u(x, y) oogenea di grado uno u(tx, ty) = tu(x, y) t > 0 Vogliao diostrare che la funzione di utilità indiretta è lineare nel reddito: v(p, ) = v(p) Diostriao che u(x, y) oogenea di grado uno iplica funzioni di doanda arshalliane lineari nel reddito (x(p, ) = x(p) ) Sia z(p, ) il vettore delle doande arshalliane per i beni x e y Per denizione z(p, ) = arg ax (x,y) Bp, u(x, y) Si vuole diostrare che z(p, t) = t z(p, ) (a) Si noti che z(p, ) B p, = t z(p, ) B p,t, quindi il nuovo paniere appartiene al vincolo di bilancio (b) Per diostrare che il nuovo paniere t z(p, ) è di assio, procediao per contraddizione Supponiao che esista un altro paniere ẑ B p,t tale che u(ẑ) > u(tz) Essenzo t > 0 ed essendo la u() oogenea di grado uno, si ha u(ẑ) > u(tz) = u ( ẑ t ) > u(z) che è in contraddizione con l'ipotesi iniziale che z è di assio z(p, t) = t z(p, ) = v(p, t) = u(t z(p, )) = tu(z(p, )) = tv(p, )

3 Esercizio 4 Si consideri la seguente funzione di utilità: u (x, x ) = [α x ρ + α x ρ ]/ρ ostrare che quando ρ =, le curve di indierenza diventano lineari Se ρ = la funzione di utilità diventa u (x, x ) = [α x + α x ] ostrare che quando ρ 0, questa funzione di utilità rappresenta le stesse preferenze della funzione di utilità Cobb-Douglas u(x) = x α xα ( ) li ρ 0 [α x ρ + α x ρ ]/ρ = li ρ 0 exp(log([α x ρ + α x ρ ]/ρ ) = exp li ρ 0 log([α x ρ + α x ρ ]/ρ ) ( exp li ρ 0 ρ log [α x ρ + α x ρ ) ] Applicando L'Hopital otteniao: = li ρ 0 ρ log [α x ρ + α x ρ ] = li α x ρ log x + α x ρ log x ρ 0 α x ρ + α x ρ = α log x + α log x α + α = log ( x α x α ) con α = α α +α 3 ostrare che quando ρ, le curve di indierenza diventano ad angolo retto ρ < 0, x < x = x ρ > xρ = xρ xρ + xρ xρ = x (x ρ + xρ ) ρ ρ x Per ρ, ρ x x, quindi (x ρ + xρ ) ρ x ρ < 0, x > x = x ρ < xρ = xρ xρ + xρ xρ = x (x ρ + xρ ) ρ ρ x Per ρ, ρ x x, quindi (x ρ + xρ ) ρ x quindi la funzione di utilità tende a in {x, x } per ρ Assuere che α = α = Deterinare le funzioni di doanda arshalliane e la funzione di utilità indiretta x (p, ) = pδ/ρ, x p δ (p, ) = pδ/ρ, v(p, ) = [ ] p δ +pδ p δ +pδ + p δ /δ con δ = ρ ρ Deterinare le funzioni di doanda copensate e la funzione della spesa 3

4 v(p, ) = [ p δ + p] δ /δ [ = e(p, u) = p δ + p] δ /δ u = h (p, u) = [ ] p δ + p δ /δ p δ u e h (p, u) = [ ] p δ + p δ /δ p δ u Esercizio 5 La funzione di utilità di Toaso può essere scritta coe U(x, x ) = u(x )+v(x ) dove u e v sono funzioni strettaente crescenti e strettaente concave ostrare che entrabi i beni sono norali Dalla condizione SS = p p abbiao u (x ) v (x ) = p p che può essere riscritta coe u (x ) p p v (x ) = 0 Al variare di le doande arshalliane si odicano in odo da lasciare invariata questa relazione, quindi u (x ) x p p v (x ) x x = 0, da cui = p v (x ) x p u (x ) Dato che le due funzioni sono strettaente concave il segno di x x è uguale al segno di Ne segue che, essendo aleno uno dei due beni norale, l'altro lo deve essere a sua volta NB: non possono essere entrabi inferiori perchè ad un auento del reddito se entrabe le quantità di riducono non si spende tutto il reddito (che non può essere ottio con preferenze strettaente onotone) Esercizio 6 Si consideri la seguente funzione di utilità Sia p i il prezzo del bene i U (x) = N i= log (x i ) N Scrivere il problea di assiizzazione dell'utilità e deterinare le condizioni del prio ordine La Lagrangiana per il problea di assiizzazione è L(x, λ) = ( N log(x i) i= N λ N ) i= x ip i Le condizioni del prio ordine sono: Nx i λp i = 0 i N i= x ip i = () 4

5 Derivare le funzioni di doanda arshalliane Consideriao due beni i e j Nx ip i = λ = Nx jp j = x j = x i p i p j () Il vincolo di bilancio () può essere riscritto coe x i p i + j i x jp j = Sostituiao la condizione () ottenuta precedenteente per ottenere: x i p i + j i x ip i = = x i (p, ) = N p i i 3 Deterinare la funzione di utilità indiretta Per ottenere la funzione di utilità indiretta sostituiao le funzioni di doanda arshalliane nella funzione di utilità: v(p, ) = U (x(p, )) = N log(x i(p,)) i= N = N log i= N i= N log(p i) ( N N ) p i = log() log(n) 4 ostrare che l'identità di Roy è vericata Identità di Roy: Np i x i (p, ) = v(p, )/ p i v(p, )/ = = Np i Esercizio 7 Sia x l (p, ) la funzione di doanda arshalliana per il bene l =,, L dove p è il vettore dei prezzi e è il reddito ostrare che nel caso di preferenze ootetiche si ha: x l = x k p l Nel caso di preferenze ootetiche le funzioni di doanda arshalliane sono lineari nel reddito, quindi x(p, ) = x(p) Dall'identità x(p, e(p, u)) h(p, u) si ottiene x l + x l x k = h l = () h k p l = x k p l + x k x l dove per il passaggio () si è usata la sietricità della atrice Hessiana della funzione della spesa e il fatto che h l = e(p,u) 5

6 x l = x k + x k p l x l x l x k }{{} si deve quindi diostrare che il terine in parentesi graa è zero Dall'oogeneità di grado della funzione di utilità deriva x k = x k(p), quindi x k x l = x k (p) x l (p) e x l x k = x l (p) x k (p) Quindi x l = x k p l cvd Esercizio 8 Si consideri la seguente funzione di utilità: u(x, y) = in(αx, βy) Il prezzo del bene x è p e il prezzo del bene y è, entre il consuatore ha reddito pari ad Deterinare le scelte ottie di x e y Nel punto di ottio si ha αx = βy = y = α β x Sostituendo nel vincolo di bilancio otteniao: x + α β x = = x(p, ) = β β+α e y(p, ) = α β+α Deterinare l'ipatto di un auento di α sulla funzione di utilità indiretta La funzione di utilità indiretta è v(p, ) = α, calcoliao la derivata della funzione di utilità indiretta rispetto ad α: αβ β+α Per deterinare l'eetto di una variazione in v α = β(β + α ) αβ β (β + α ) = (β + α ) > 0 3 Deterinare le funzioni di doanda copensata αβ v(p, ) = β+α = e(p, u) = βpx+αpy αβ u = h x (p, u) = u α e h y(p, u) = u β 4 Deterinare la funzione della spesa ( ) e(p, u) = h x (p, u) + h y (p, u) = px α + py β u 5 Vericare l'identità di Roy x i (p, ) = v(p, )/ p i v(p, )/ = β α (β+α) = αβ β+α β β + α 6

7 Esercizio 9 Si consideri la seguente funzione di utilità: U(x, y) = x + y Deterinare le funzioni di doanda arshalliane se < x(p, ) = y se = 0 altrienti 0 se < y(p, ) = x se = altrienti Deterinare la funzione di utilità indiretta v(p) = in {, } 3 Deterinare la funzione della spesa e(p, u) = in {, } u 4 Deterinare le funzioni di doanda copensata u h x (p, u) = u y se < se = 0 altrienti 7

8 0 se < h y (p, u) = u x se = u altrienti Esercizio 0 Supponiao che le preferenze di un consuatore siano rappresentate dalla funzione di utilità u(x, y) = (x x) y Si ssi il prezzo del bene y a Deterinare le scelte ottie di x e y La Lagrangiana per il problea di assiizzazione è L(x, y, λ) = (x x) y λ (x + y ) Le condizioni del prio ordine sono: (x x) y λ = 0 () (x x) y λ = 0 () x + y = (3) Consideriao la () e la () assiee: y x x = px = y = px (x x) Sostituiao la condizione ottenuta nel vincolo di bilancio: x + (x x) = = x(p, ) = coe x(p, ) = x + x, e y(p, ) = x + x che può essere riscritto Deterinare l'ipatto di un auento di x sulla funzione di utilità indiretta La funzione di utilità indiretta è v(p, ) = ( ) x ( ) x = x px Per deterinare l'eetto di una variazione in x, calcoliao la derivata della funzione di utilità indiretta rispetto ad x: v x = px py In alternativa, per deterinare l'eetto di una variazione in x, possiao utilizzare il teorea dell'inviluppo: 8

9 v x = L x = u x = (x(p, ) x) y(p, ) = ( ) x ( ) x = px py 9