Metodo di Lagrange. 12 March 2014 Maria Chiara D'Errico

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1 Metodo di Lagrange Metodo per la risoluzione dei problemi di scelta dell agente economico. La scelta presuppone: 1. Alternative: L insieme delle possibili azioni analiticamente rappresentate dal Vincolo. 2. Criterio di scelta: l obbiettivo da perseguire, cui è associato una funzione di utilità. Esso seleziona una scelta tra le azioni possibili. 1

2 Metodo di Lagrange Elementi della funzione lagrangiana: Funzione Obiettivo: rappresentativa del criterio di scelta Funzione di Vincolo: che determina l insieme dei panieri acquistabili. Il metodo di Lagrange individua i punti stazionari (di massimo o minimo) della funzione obiettivo data la funzione di vincolo. 2

3 Metodo di Lagrange: Funzione Obiettivo: Utilità, Profitto, Costo di produzione Funzione Vincolo: Vincolo di bilancio, costo di produzione, vincolo tecnologico Nella scelta di consumo: Dato il problema: max U ( x, x ) s.t. m p x p x Dobbiamo trovare la soluzione D( p, p, m) arg max U ( x, x ) x, x 1 2 N.B. La soluzione è funzione dei prezzi e del reddito 3

4 Il Vincolo Le azioni possibili sono i panieri di beni che l individuo può acquistare. Esse sono determinate a partire dai vincoli cui è soggetto lo scambio. 1. Rapporto di scambio (rapporto dei prezzi) 2. Capacità di spesa Il vincolo rappresenta analiticamente l insieme delle azioni possibili. 4

5 Vincolo di bilancio La pendenza: Rapporto tra i prezzi dei due beni. Indica il rapporto di scambio tra i due beni. La capacità di spesa: individua le intercette del vincolo: dove: p q m T p q è il vettore dei prezzi è il vettore delle quantità (il paniere dei beni) è l'ammontare di reddito dispponibile Nel caso in cui la scelta riguardi due soli beni: m V { x, x : p x p x m}

6 Vincolo di Bilancio x 2 p x p x m m p2 V x 1 m p1 6

7 Vincoli Alternativi Si deve spendere tutto il reddito m: x 2 p x p x m m p2 V m p 1 7 x 1

8 Prezzi Non Costanti Ex: E richiesta una spesa fissa per uno dei due beni: x 2 m p2 ( m m ) / p 2 2 V m/ 1 8 p x 1

9 Razionamento Si impone una quantità massima di acquisto: Ex: x1 x1 x 2 I p2 V x 12 March Maria Chiara D'Errico 9 x 1

10 Il criterio di scelta Ripartisce le azioni possibili tra azioni preferite e azioni che l agente non intende eseguire. Criterio di scelta Sistema di Preferenze 10

11 Sistema di Preferenze Criterio di scelta Sistema di preferenze Regolarità Transitività Completezza Funzione di Utilità Infinite funzioni di Utilità: ogni trasformazione monotona crescente rappresenta il medesimo sistema di preferenze 11

12 La funzione di Utilità offre una rappresentazione analitica del sistema di preferenze. Il problema di scelta tra le azioni possibili (tra i panieri di consumo) diventa un problema di massimizzazione. Criterio di scelta adottato: Individuare tra i panieri acquistabili la combinazione di beni che massimizza l utilità. 12

13 Metodo della Lagrangiana: 13

14 Proiezione Sul Piano 14

15 Metodo della Lagrangiana: Condizioni di utilizzo: 1)Le due funzioni (obiettivo e vincolo) devono essere continue e due volte differenziabili. 2)La scelta ottima deve esistere e appartenere alla frontiera del Vincolo (Soluzione di Frontiera) * * * x x, x d V x, x V : x* x per ogni x V 3)La soluzione deve essere unica (soluzione di Massimo Globale) 15

16 Soluzione di Frontiera Se il sistema di preferenze è Monotono (è soddisfatto l assioma di non sazietà) Altrimenti potremmo avere curve di indifferenza spesse: 16

17 Soluzione Unica Le curve di indifferenza devono essere convesse (la funzione di utilità è strettamente concava) Qualora avessimo curve di indifferenza con tratti orizzontali o curve più volte tangenti il vincolo non avremmo più un unica soluzione di ottimo. 17

18 Moltiplicatore di Lagrange Prezzi d ombra, velocità con cui cambia l utilità in funzione del cambiamento della variabile vincolata. Utilità marginale del reddito: come varia utilità a seguito di variazioni del reddito. 18