Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini

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1 Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.2 1 Obiettivi dell esercitazione Preferenze del consumatore, vincolo di bilancio e scelta ottima Aumentare la familiarità con i concetti di funzione di utilità e di preferenze del consumatore Chiarire la relazione tra il vincolo di bilancio, il reddito disponibile e i prezzi dei beni Saper individuare l equilibrio (la scelta) del consumatore, dati i prezzi ed il reddito disponibile Esercizio 1 Vincolo di bilancio i. Consideriamo una situazione in cui il consumatore può scegliere di consumare due beni. Sia p Q p Q R il vincolo di bilancio del consumatore. a a b b L inclinazione del vincolo di bilancio rimarrà invariata se: a) pa aumenta del 10% e p diminuisce del 10%; b b) entrambi i prezzi aumentano del 5%; c) entrambi i prezzi aumentano del 10% e R diminuisce del 10%; d) nessuna delle precedenti risposte. Soluzione Premessa: il vincolo di bilancio rappresenta l insieme delle combinazioni di beni e servizi che il consumatore può acquistare spendendo tutto il suo reddito, pari a R [retta di isospesa]. Riscrivendo il vincolo di bilancio in forma esplicita rispetto alla quantità del bene A, otteniamo: Q b = R p b p a p b Q a Adesso posso disegnare il vincolo di bilancio (nel generico caso in cui p b > p a ) sul piano cartesiano, in cui rappresento la quantità del bene B sull asse delle ordinate e quella del bene A sull asse delle ascisse. Q b R/p b (a) (b) coefficiente angolare= - p a /p b (c) R/p a Q a 1 Dott. Fabio Pieri; esercitazioni (mercoledì h ); ricevimento studenti Mercoledì h (Aula Dottorandi Assegnisti DEFS sezione Economia); per domande e quesiti brevi: fabio.pieri@unitn.it. I testi delle esercitazioni, insieme a tutto il materiale didattico sono scaricabili dal sito di regola alla fine della settimana. 1

2 Per disegnare il vincolo di bilancio: posso ricavare l intercetta sull asse delle ordinate, per Q a =0 Q b =R/p b posso ricavare l intercetta sull asse delle ascisse, per Q b =0 Q a =R/p a Il vincolo di bilancio ha un coefficiente angolare uguale al rapporto dei prezzi (prezzo relativo), pari a (-) p a /p b Data questa premessa, è facile constatare come l inclinazione del vincolo rimane invariata se il rapporto tra i prezzi non varia, quindi: a) Falso: se p a aumenta del 10% il vincolo ruota in senso orario, mantenendo ferma l intercetta con l asse delle ordinate; se p b diminuisce, il nuovo vincolo traslerà nuovamente in senso orario, mantenendo questa volta fissa l intercetta con l asse delle ascisse. Dopo le due variazioni di prezzo, il vincolo non ha più la pendenza iniziale. [nuovo vincolo = retta tratteggiata in rosso] b) Vero: se entrambi i prezzi aumentano del 5%, la pendenza del vincolo di bilancio non cambia (perché rimane invariato il suo coefficiente angolare), ma cambiano le intercette del vincolo con gli assi. L insieme dei panieri ammissibili si restringe, perché in termini reali, il consumatore è più povero. [nuovo vincolo = retta punteggiata in blu] c) Vero: a maggior ragione (rispetto al caso (b) ), si assisterà ad un ulteriore spostamento parallelo verso il basso del vincolo, dopo l aumento dei prezzi e la diminuzione del reddito a disposizione del consumatore: l insieme dei panieri a disposizione del consumatore si restringe ulteriormente. *nuovo vincolo = retta punteggiata in blu, vicino all origine] d) Falso ii. Consideriamo un modello con due beni, A e B; sia paqa pbqb R il vincolo di bilancio del consumatore. Se il reddito del consumatore R ed il prezzo del bene A p a raddoppiano, mentre p b diminuisce, il consumatore sarà almeno altrettanto soddisfatto di prima? Q b (c) 2R/p b R/p b (b) (a) R/p a 2R/p a Q a Soluzione Possiamo rappresentare graficamente i cambiamenti nel vincolo di bilancio del consumatore: (a) Il reddito disponibile raddoppia, quindi il vincolo di bilancio viene traslato parallelamente allontanandosi dall origine degli assi: cambiano entrambe le intercette con gli assi. Il consumatore 2

3 diventa più ricco, e l insieme dei panieri che può acquistare (quelli che sono compresi tra l origine ed il vincolo di bilancio) si amplia. (b) Il prezzo del bene A raddoppia, il vincolo di bilancio ruota in senso orario, mantenendo fissa l intersezione con l asse delle ordinate, e con una nuova intersezione con l asse delle ascisse per un valore Q a =R/p a, pari a quello di partenza. Si restringe l insieme dei panieri acquistabili dal consumatore, rispetto alla situazione (a). Inoltre, il bene A è più costoso rispetto alla situazione (a): partendo dall intersezione con l asse delle ordinate, a parità di spesa totale, rinunciando alla stessa quantità di B (variazione diminutiva sull asse delle ordinate), il consumatore può variare il consumo di A di una quantità inferiore rispetto al caso (a). (c) Se il prezzo del bene B diminuisce, il vincolo ruota in senso orario, mantenendo invariata l intersezione con l asse delle ordinate (Q a = R/p a ): il bene B diventa, rispetto al caso (b), meno costoso e si amplia l insieme di panieri ammissibili. Quindi, confrontando il caso (c) con l insieme dei panieri ammissibili al consumatore (dati i prezzi, ed il suo reddito), vedo che l insieme di panieri si è ampliato. Quindi il consumatore è almeno altrettanto soddisfatto.

4 Esercizio 2 Curve di indifferenza e saggio marginale di sostituzione (SMS) i. Quali delle seguenti definizioni rappresenta la curva di indifferenza? (a) Il luogo geometrico dei punti del piano che mostra la massima utilità totale che un consumatore trae dal consumo di due beni (b) Il luogo geometrico dei punti che mostra le combinazioni di due beni che danno ad un consumatore la stessa utilità totale (c) Nessuna delle risposte precedenti Soluzione La risposta corretta è la (b): infatti la curva di indifferenza rappresenta l insieme dei panieri (coppie di beni) per i quali i consumatori esprimono un giudizio di indifferenza. Come sappiamo, le preferenze del consumatore possono essere espresse da una funzione di utilità, che assegna un valore numerico a ciascun paniere. Pertanto, i panieri che si trovano sulla stessa curva corrispondono ad uno stesso valore di utilità per il consumatore. ii. Il SMS è decrescente al crescere del bene indicato sull asse delle ascisse perché: (a) L inclinazione della retta di bilancio è decrescente (b) Le preferenze sono concave (c) Le preferenze sono convesse (d) Vale l assioma di transitività delle preferenze (e) Nessuna delle risposte precedenti Soluzione Premessa: il SMS A,B, che matematicamente coincide con la pendenza della curva di indifferenza, fornisce un indicazione molto importante, ossia la quantità del bene sull asse delle ordinate (B) a cui il consumatore è disposto a rinunciare per ottenere un unità in più del bene sull asse delle ascisse (A). Più precisamente: SMS A,B = Q B Q A = Q B Q A per variazioni discrete = dq B dq A per variazioni "puntuali " Q b Q B Q B Q a Q A Q A (a) Falso: il SMS è la pendenza della curva di indifferenza che dipende dalla forma della funzione di utilità, ossia dalle preferenze del consumatore, mentre l inclinazione del vincolo di bilancio è uguale al rapporto tra i prezzi (prezzo relativo). I prezzi non hanno niente a che vedere con le preferenze, e quindi col SMS. 4

5 (b) Falso: se le curve di indifferenza fossero concave, il SMS tra A e B sarebbe crescente al crescere di A (c) Vero (d) L assioma della transitività delle preferenze permette di stabilire relazioni di preferenza tra panieri non direttamente confrontabili con la sola ipotesi di non-sazietà NB: Spostandosi lungo una stessa curva di indifferenza, deve valere la seguente relazione: 0 = Q B U B + Q A U A ossia, lungo la curva di indifferenza, la variazione delle quantità consumate (in aumento o diminuzione) per l utilità marginale rispetto ai beni devono sommare a zero: l utilità complessiva deve rimanere invariata per tutti i panieri lungo la curva. Possiamo arrangiare l equazione in questo modo: U Q B = U A QA = = SMS Q A U B U QA,Q B QB Quindi il SMS può essere espresso come rapporto fra utilità marginali dei due beni. Esercizio Preferenze e funzione di utilità Sapendo che la funzione di utilità del consumatore è data da: U q A, q B = q A 1 (q B ) 2 : 1. Si indichi l ordine di preferenza del consumatore per i seguenti panieri: A=(4,2), B=(0.25,8), C=(2,2.5), D=(2,) 2. Se la funzione di utilità del consumatore fosse U q A, q B = (q A )(q B ), come cambierebbe l ordine di preferenza dei panieri?. E se la funzione di utilità fosse U q A, q B = (q a )(q B ) 2? Soluzione 1. U A = U 4,2 = ; U B = U 0.25,8 = ; U C = U 2, ; U D = U 2, = Il consumatore preferisce il paniere che gli assicura un valore di utilità maggiore: D A B C. 2. U A = U 4,2 = 8; U B = U 0.25,8 = 2; U C = U 2,2.5 = 5, U D = U 2, = 6; la relazione di preferenza sarebbe: A D C B. U A = U 4,2 = 16; U B = U 0.25,8 = 16; U C = U 2,2.5 = 12.5; U D = U 2, = 18. In maniera analoga al caso 1., l ordinamento dei panieri è D A B C La funzione di utilità di partenza, e quella al punto. Mostrano lo stesso ordinamento di preferenza per i panieri considerati. Guardando meglio, la funzione di utilità in. è una trasformazione monotona crescente della funzione in 1. 2 : quindi se due funzione di utilità sono una trasformazione monotona l una dell altra, non cambia l ordinamento delle preferenze sottostanti, poiché una stessa mappa di curve di indifferenza (ossia uno stesso ordinamento di panieri) può essere rappresentato da più funzioni di utilità. Le due funzioni di utilità, rappresentando lo stesso sistema di preferenze, presentano anche un identico SMS. 2 Una funzione si dice monotona crescente quando, se x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 5

6 Verifica: per la funzione di utilità di partenza, il SMS è pari a U / q 1 a = q ( 2 ) 2/ a q b U / q b utilità al punto., U / q a U / q b = q 2 b = 1 2q a q b 2 q b q a 2 q b 1/ qa ( 1 ) = 1 2 q b q a ; per la funzione di 6

7 Esercizio 4 Scelta ottima Siano q a e q b, rispettivamente, i panini e gli hamburger acquistati presso un supermercato. Tizio ha una 1/4 /4 struttura di preferenze su questi beni descritta dalla funzione di utilità U q, q q q, e la sua spesa mensile per questi due beni (R) è pari a i. individuare la scelta ottima di Tizio, se p 100, p 90 ; ii. iii. calcolare il livello di utilità corrispondente alla scelta ottima; rappresentare graficamente la soluzione. a b a b a b Soluzione Occorre individuare il paniere di consumo che massimizza il grado di soddisfazione (utilità) del consumatore, dato il vincolo di bilancio. La soluzione deve quindi garantire due condizioni: Deve giacere sulla retta di bilancio Deve garantire al consumatore la massima utilità Il consumatore sceglierà il paniere che si trova sulla curva di indifferenza più alta (livello di utilità più alto) dato il reddito che ha a disposizione ed i prezzi (cioè lo sceglierà nell insieme dei panieri ammissibili). Il paniere ottimo può essere quindi individuato come il punto di tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza corrispondente: dato che la pendenza delle curve di indifferenza è misurata dal SMS e la pendenza del vincolo è data dal prezzo relativo, le condizioni che individuano la scelta del consumatore sono riassumibili nel seguente sistema, che scriviamo in forma generale. SMS QA,Q B = p a p b p a q a + p b q b = R Nel caso particolare, possiamo calcolare innanzitutto il SMS, SMS QA,Q B = 1 4 q a /4 q b /4 4 q a 1/4 q b 1/4 E quindi, re-impostare il sistema come segue: 1 q b = 10 q a 9 100q a + 90q b = 1200 = 1 q b q a Dalla prima equazione possiamo ricavare che q b = 10 q a, che sostituita nella seconda ci permette di ricavare la quantità ottima scelta dal consumatore q * a=. Possiamo a questo punto sostituire la quantità ottima consumata per il bene A, nella prima equazione e determinare q * b=10. Quindi la scelta ottima (equilibrio) del consumatore è E c =(,10). Il livello di utilità corrispondente, è pari a U = () 1/4 (10) /4 = 7.4 Per disegnare la soluzione, disegno il vincolo di bilancio, determinando le sue intersezioni con gli assi. 7

8 q b D E c =(,10) U * =7.4 U D = q a Intercetta asse delle ascisse: q b =0 q a =12 Intercetta asse delle ordinate: q a =0 q b 1. Dalla funzione di utilità posso ricavare l equazione della curva di indifferenza che passa dal punto E c, che è uguale a q b = (7.4)4/, e verificare che questa è convessa, calcolando q b q a = 1 q a 1/ (q a ) 4/ < 0, da cui si vede che la curva di indifferenza è decrescente, e 2 q b = 1 q (q a a ) 7/ > 0, da cui si vede che la curva ha la concavità rivolta verso l alto. Come posso verificare che questa è veramente la scelta ottima? Posso prendere un qualunque altro paniere ammissibile, ad esempio sul vincolo di bilancio, e verificare che conferisce al consumatore un utilità inferiore: prendiamo il paniere D=(2,11.1), che appartiene al vincolo di bilancio, e calcoliamo l utilità associata al paniere U D = (2) 1/4 (11.1) /4 = 7.2, che è un livello di utilità inferiore a quello corrispondente alla scelta ottima. La domanda può essere affrontata anche come un problema di massimizzazione vincolata: la massimizzazione del livello di utilità dato il vincolo di bilancio. L q q q q 1/4 /4 ( a ) ( b) (100 a 90 b 1200) L 1 /4 1/4 [1] ( qa) ( qb) qa 4 L 1/4 1/4 [2] ( qb) ( qa ) 90 0 qb 4 L [] (100qa 90qb 1200) 0 Le condizioni di primo ordine che risolvono il Lagrangiano sono espresse dalle derivate di L rispetto a q a, q b e lambda uguali a 0 8

9 Dividendo la [1] per la [2] otteniamo: ( q ) ( q ) /4 1/4 a b ( qb) ( q a ) 1/4 1/4 = q b da cui: 1 = 10 e riarrangiando la [] otteniamo la forma classica del vincolo di bilancio. q a 9 Torniamo, quindi, alle condizioni imposte con il sistema tra SMS, rapporto tra i prezzi e vincolo di bilancio. E evidente, l uguaglianza dei due metodi. Esercizi per casa Esercizio 1. L inclinazione della retta di bilancio rappresenta: a. la quantità di bene 2 a cui il consumatore è disposto a rinunciare per un unità in più del bene 1; b. la quantità del bene 1 a cui il consumatore è disposto a rinunciare per un unità in più del bene 2; c. la quantità del bene 2 a cui il consumatore deve rinunciare per acquistare una unità in più del bene 1; d. nessuna delle precedenti. Soluzione: La risposta corretta è la c. Come sappiamo l inclinazione della retta di bilancio è uguale al rapporto dei p 1 prezzi dei 2 beni,, ossia al loro prezzo relativo, e non ci indica affatto una propensione del p2 consumatore, ma piuttosto il vincolo a cui deve sottostare. Le risposte a e b si riferiscono invece ad una sua inclinazione di gusti, e perciò si riferiscono rispettivamente al SMS2, 1 e al SMS 1, 2. Sono quindi non corrette. La risposta d è di conseguenza non corretta. Esercizio 2. Dimostrare che le seguenti funzioni di utilità, espresse sui beni x ed y, rappresentano preferenze diverse: 2 U x, y xy, U x, y x. A y Soluzione: B Per dimostrare che le due funzioni di utilità rappresentano preferenze diverse, posso confrontare le espressioni dei loro saggi marginali di sostituzione ( SMS ), e vedere se sono diverse. Come sappiamo, infatti, se un ordinamento di preferenze è rappresentato da una certa funzione di utilità anche tutte le trasformazioni monotone crescenti di questa funzione, rappresentano lo stesso ordinamento di preferenze. Ma sappiamo anche che se più funzioni rappresentano lo stesso sistema di preferenze, anche l espressione del loro SMS deve risultare uguale. 9

10 L espressione generica del saggio marginale di sostituzione della prima funzione di utilità è : SMS A x, y x y 2 1 y x y x 2 2 y x 2 Mentre quella del saggio marginale di sostituzione della seconda funzione è: 2xy SMS B x, y 2 x 2y. x Abbiamo quindi mostrato che le due funzioni di utilità, non possono rappresentare lo stesso ordinamento di preferenze. Esercizio. Sia data la funzione di utilità, definita sui beni x ed y, Ux y xy Calcolare:,. a. l utilità del paniere A=(2,) e ricavare l insieme dei panieri ad esso indifferenti; b. calcolare il saggio marginale di sostituzione per un punto generico e poi in corrispondenza del paniere (2,); c. determinare la scelta ottima se i prezzi dei due beni sono p 20, p 40 e il reddito è pari a I 5000 d. come cambia la scelta del consumatore se la sua funzione di utilità fosse Ux, y log x log y 20? Soluzione: a. Per ricavare l utilità del paniere A=(2,), mi basta sostituire le quantità dei 2 beni che mi assicura il paniere nella funzione di utilità e osservare il valore che la funzione assume: U ( 2,) L insieme dei panieri ad esso indifferenti, sono quei panieri che assicurano al consumatore lo stesso livello (valore) di utilità, cioè, tutti quei panieri che giacciono sulla stessa curva di indifferenza. Posso ricavarmi l equazione della curva di indifferenza su cui giace A, semplicemente fissando il livello di utilità uguale a x y 6 xy y 6. x b. Il saggio marginale di sostituzione per un punto generico è uguale a y / x. Per calcolare il saggio marginale di sostituzione in corrispondenza del paniere A=(2,), basta sostituire le quantità assicurate dal paniere nell espressione precedente: si ottiene così un valore di / 2. U / x U / y Si ricorda che il SMS x,y è definito come. 10

11 c. Come sappiamo, per individuare la scelta ottima del consumatore è necessario determinare il paniere di beni che soddisfa maggiormente il consumatore (gli assicura un livello di utilità più alto), dato il vincolo derivante dai prezzi dei beni e dal reddito che ha a disposizione. Matematicamente si tratta di un problema di massimizzazione vincolata, che è esprimibile attraverso un sistema di due equazioni: px SMS x, y 1 p y px X p yy I 2 L equazione *2] ci assicura la condizione che il paniere che determiniamo giacerà sul vincolo di bilancio, mentre la [1] ci assicura che giacerà sulla curva di indifferenza più alta possibile, cioè quella tangente alla retta di bilancio. Nel nostro caso, y x x 40y 5000 Ricavando dalla prima equazione y in funzione di x, ottengo x / 2. equazione e ricavarmi il valore di precedente di y, ed ottengo un valore di y Posso sostituire nella seconda * x 125. Infine sostituisco nuovamente il valore di * y La scelta ottima risulta quindi C= (125,62.5) * x nell espressione d. Se guardiamo questa seconda funzione di utilità, notiamo che è in realtà una trasformazione monotona crescente della prima, essendo il log (logaritmo naturale) una funzione monotona crescente. La soluzione ottima non cambierà poiché non cambia l ordinamento delle preferenze del consumatore. Questo si può verificare anche calcolando il saggio marginale di sostituzione di questa seconda equazione e vedere che è uguale a quello della prima: 11

12 SMS x,y = 1/ x y / x. 1/ y Essendo il vincolo di bilancio e il rapporto tra i prezzi rimasti invariati, non cambieranno quindi le due equazionidel sistema, che quindi avrà la stessa soluzione del punto c. 12