Le decisioni di consumo III

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1 Le decisioni di consumo III Scelta Nadia Burani Università di Bologna A.A. 2017/18 Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 1 / 26

2 In sintesi Statica comparata come varia la scelta del consumatore a fronte di variazioni della ricchezza come varia la scelta del consumatore a fronte di variazioni dei prezzi relativi Equazione di Slutsky proprietà delle funzioni di domanda Un approccio alternativo alle decisioni di consumo le preferenze rivelate Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 2 / 26

3 Statica comparata: variazioni del reddito Due soli beni K = 2, denotati k, l = 1, 2 oppure k e l altro bene rispetto a k). k (che indica Come cambia la domanda walrasiana dei due beni quando i prezzi sono ssi e varia la ricchezza del consumatore? Curva reddito-consumo CRC luogo geometrico dei panieri che risolvono il PMU per diversi valori di m Curva di Engel descrive la relazione tra la ricchezza m e la domanda x (p, m) a prezzi costanti Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 3 / 26

4 Statica comparata: variazioni del reddito Elasticità della domanda del bene k rispetto al reddito m η k = x k (p, m) m m x k (p, m) Relazione tra CRC ed elasticità rispetto al reddito della domanda: Se la CRC (così come la curva di Engel) è una retta che passa per l origine, la domanda di ciascun bene ha elasticità al reddito unitaria: si consuma la stessa proporzione di ciascun bene per ogni livello di reddito. Se la CRC è positivamente inclinata ma curvata verso un bene signi ca che all aumentare del reddito aumenta la quantità consumata di entrambi i beni ma proporzionalmente più di uno (bene di lusso con η k > 1) che dell altro (bene necessario con 0 η k < 1) Se la CRC è curvata all indietro signi ca che un aumento del reddito comporta la riduzione del consumo di un bene e si tratta di un bene inferiore con η k < 0. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 4 / 26

5 Statica comparata: variazioni dei prezzi relativi Come cambia la domanda walrasiana quando varia p k con k = 1, 2 e gli altri parametri sono ssi? Curva prezzo-consumo CPC luogo geometrico dei panieri che risolvono il PMU per diversi valori di p k Elasticità incrociata della domanda del bene l rispetto al prezzo dell altro bene p k ε l,k = x l (p, m) p k x l (p, m) Relazione tra CPC (O er curve) ed elasticità incrociata: Se la CPC ha pendenza negativa, si tratta di beni sostituti lordi e l elasticità incrociata è positiva ε l,k > 0. Se la CPC ha pendenza positiva, si tratta di beni complementi lordi e ε l,k < Le de nizioni di beni sostituti o complementi netti fanno riferimento all elasticità incrociata della domanda hicksiana anziché walrasiana. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 5 / 26

6 Equazione di Slutsky Una variazione nei prezzi ha un duplice e etto sul comportamento del consumatore: si altera il costo relativo dei diversi beni: ceteris paribus, i consumatori saranno più propensi ad acquistare i beni che diventano relativamente meno cari (e etto di sostituzione) cambia la ricchezza reale del consumatore: l aumento del prezzo di un bene impoverisce i consumatori di quel bene e fa calare il loro potere d acquisto (e etto di reddito) L Equazione di Slutsky permette di isolare i due e etti ET = ES + ER e stabilisce qual è la pendenza della domanda walrasiana e qual è la relazione tra la pendenza della domanda walrasiana e quella della domanda compensata. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 6 / 26

7 Equazione di Slutsky Equazione di Slutsky Sia u () una funzione di utilità continua che rappresenta preferenze strettamente convesse, e localmente nonsaziate. Allora per ogni (p, m) e per u = v (p, m) si ha x l (p, m) p {z k } ET = h l (p, v (p, m)) {z } ES per ogni k, l = 1,...K, dove h l (p, v (p, m)) = h l (p, u) x l (p, m) m x k (p, m) {z } ER u=v (p,m) Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 7 / 26

8 Equazione di Slutsky Dimostrazione Sia u = v (p, m). Si consideri l identità h l (p, u) x l (p, e (p, u)). Di erenziando entrambi i lati rispetto a p k h l (p, u) = x l (p, e (p, u)) + x l (p, e (p, u)) e (p, u) e (p, u). Visto che u = v (p, m) e e (p, v (p, m)) = m possiamo riscrivere h l (p, u) = x l (p, m) + x l (p, m) e (p, u) m Dal Lemma di Shephard e(p,u) = h k (p, u) e inoltre h k (p, v (p, m)) = x k (p, m), quindi h l (p, u) = x l (p, m) + x l (p, m) m x k (p, m). Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 8 / 26

9 Equazione di Slutsky La quantità x l (p, m) + x l (p, m) m x k (p, m) s lk (p, m) rappresenta il termine lk della matrice di sostituzione di Slutsky. La matrice di sostituzione di Slutsky è una matrice di dimensioni K K che è data da 2 3 s 11 (p, m) s 1K (p, m) 6 S (p, m) = s K 1 (p, m) s KK (p, m) I suoi termini rappresentano gli e etti di sostituzione. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 9 / 26

10 Equazione di Slutsky Esempio Funzione di utilità CES. Si consideri la variazione della domanda del bene 1 rispetto alla variazione del suo prezzo. La domanda walrasiana del bene 1 è data da x 1 (p, m) = mpr 1 1 p1 r. +pr 2 Derivando rispetto a p 1 si ha x 1 (p, m) p 1 = mpr 2 1 ((r 1) p r 2 p r 1 ) (p r 1 + pr 2 )2 mentre derivando rispetto a m e moltiplicando per x 1 (p, m) si ottiene x 1 (p, m) x 1 (p, m) = m mp2(r 1) 1 (p r 1 + pr 2 )2 Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 10 / 26

11 Equazione di Slutsky Esempio Funzione di utilità CES. La funzione di domanda hicksiana del bene 1 è data da h 1 (p, u) = upr 1 1 che derivata (p1 r +pr 2 ) r r 1 rispetto a p 1 dà h 1 (p, u) = u (r 1) pr 2 p 1 (p1 r + pr 2 ) 2r r 1 1 p r 2 Sostituendo al posto di u la funzione di utilità indiretta v (p, m) = m (p1 r + pr 2 ) 1 r si ha h 1 (p, v (p, m)) = m (r 1) pr 2 p 1 (p1 r + pr 2 )2 1 p r 2 Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 11 / 26

12 Equazione di Slutsky Esempio Funzione di utilità CES. Dunque e h 1 (p, v (p, m)) = m (r 1) pr 2 p 1 (p1 r + pr 2 )2 1 p r 2 x 1 (p, m) + x 1 (p, m) x 1 (p, m) p 1 m = mpr 2 1 ((r 1) p r 2 p r 1 ) = 2(r 1) 1 (p1 r + + mp pr 2 )2 (p1 r + pr 2 )2 2 m (r 1) pr 1 p2 r (p1 r + = h 1 (p, v (p, m)) pr 2 )2 p 1 Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 12 / 26

13 Equazione di Slutsky Nel caso di una variazione del prezzo dello stesso bene, l equazione di Slutsky si scrive come x k (p, m) = h k (p, u) x k (p, m) x k (p, m) m Quando varia un prezzo, la domanda compensata h (p, u) stabilisce come varia la quantità domandata quando la ricchezza del consumatore si aggiusta in modo fargli raggiungere la stessa utilità u Partendo da una situazione iniziale (p, m) se i prezzi diventano p 0, la compensazione della ricchezza di Hicks è data da m Hicks = e (p 0, u) m Cosa possiamo dire sul segno di x k (p,m) ovvero sulla pendenza della domanda walrasiana del bene k? Dobbiamo sapere qualcosa sul segno di h k (p,u) ovvero sulla pendenza della domanda compensata del bene k ma la domanda compensata non è osservabile perché dipende da u Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 13 / 26

14 Proprietà delle funzioni di domanda compensata Proprietà delle funzioni di domanda compensata: discendono dal Lemma di Shephard e dalle proprietà della funzione di spesa e (p, u) (i) Vale la legge della domanda compensata: l e etto della variazione del prezzo di un bene sulla domanda compensata di quel bene è non-positivo, ovvero h k (p, u) = 2 e (p, u) pk 2 0 essendo e (p, u) concava in p ed essendo la matrice delle derivate seconde (hessiana) di e (p, u) semide nita negativa. 2 2 Condizione necessaria a nché una matrice simmetrica sia semide nita negativa è che gli elementi lungo la diagonale principale siano non positivi. Condizione necessaria e su ciente è che i minori principali di guida di ordine dispari siano non-positivi e di ordine pari siano non-negativi. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 14 / 26

15 Proprietà delle funzioni di domanda compensata Proprietà delle funzioni di domanda compensata: (ii) La matrice dei termini di sostituzione h l (p,u) è semide nita negativa perché l hessiana di e (p, u) è semide nita negativa. (iii) La matrice dei termini di sostituzione h l (p,u) è simmetrica h l (p, u) = 2 e (p, u) p l = 2 e (p, u) p l = h k (p, u) p l essendo la matrice delle derivate seconde (hessiana) di e (p, u) simmetrica. (iv) Quindi la matrice di sostituzione di Slutsky i cui termini sono s lk (p, m) = h l (p, u) = x l (p, m) + x l (p, m) m x k (p, m) è simmetrica e semide nita negativa. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 15 / 26

16 Proprietà delle funzioni di domanda compensata Proprietà delle funzioni di domanda compensata: (v) Visto che h (p, u) è omogenea di grado zero nei prezzi, dalla formula di Eulero 3 discende che K h k (p, u) p l = 0 p l=1 l Due beni k ed l si dicono sostituti netti (complementi netti) in corrispondenza di (p, u) se h k (p,u) p l 0 (se h k (p,u) p l 0). Dato che h k (p,u) 0, ci deve essere almeno un bene l tale che h k (p,u) p l 0: ogni bene deve avere almeno un sostituto netto. 3 Sia f (x 1,..x K ) una funzione di erenziabile e omogenea di grado r, ovvero f (αx 1,.., αx K ) = α r f (x 1,..x K ) per ogni α > 0. La formula di Eulero stabilisce che K f (x 1,..x K ) x x k = rf (x 1,..x K ) k=1 k in corrispondenza di qualsiasi vettore x. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 16 / 26

17 Proprietà delle funzioni di domanda walrasiana Come cambia la domanda walrasiana di un bene quando varia il prezzo di quel bene? Legge della domanda walrasiana Sia u () una funzione di utilità continua che rappresenta delle preferenze % razionali, localmente nonsaziate e strettamente convesse de nite sull insieme di consumo X = R K +. Allora: (i) Se un bene è normale allora una diminuzione del suo prezzo causerà un aumento della domanda walrasiana. (ii) Se una diminuzione del prezzo causa una diminuzione della domanda walrasiana allora il bene è inferiore. Se un bene k è normale in corrispondenza di (p, m) allora la domanda walrasiana (inversa) del bene k è meno negativamente inclinata al prezzo p k rispetto alla domanda hicksiana (inversa). Se un bene k è inferiore in corrispondenza di (p, m) allora la domanda walrasiana (inversa) del bene k è più negativamente inclinata al prezzo p k rispetto alla domanda hicksiana (inversa). Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 17 / 26

18 Un approccio alternativo: le preferenze rivelate La teoria classica della domanda ha un approccio alle decisioni di consumo basato sulle preferenze L approccio alternativo è basato direttamente sulle scelte del consumatore, ovvero sul suo comportamento si impongono delle restrizioni di coerenza sulle scelte e ettuate dal consumatore Dato l insieme di consumo X = R K + e l insieme di bilancio walrasiano B p,m, il problema del consumatore è quello di scegliere un paniere di consumo x all interno di B p,m la scelta x (p, m) è la funzione di domanda walrasiana Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 18 / 26

19 Un approccio alternativo: le preferenze rivelate Si assume che la funzione di domanda walrasiana soddis due proprietà: (i) omogeneità di grado zero in p e m, ovvero x (αp, αm) = x (p, m) per α > 0 (ii) Legge di Walras p x (p, m) = m Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 19 / 26

20 Un approccio alternativo: il WARP WARP La funzione di domanda walrasiana x (p, m) soddisfa l assioma debole delle preferenze rivelate (WARP) quando, per ogni coppia di vettori di prezzi e reddito (p, m) e (p 0, m 0 ) : p x p 0, m 0 m e x p 0, m 0 6= x (p, m) ) p 0 x (p, m) > m 0 Di fronte a (p, m) il consumatore sceglie x (p, m) quando anche x (p 0, m 0 ) è ammissibile. Allora, se il consumatore sceglie x (p 0, m 0 ) quando fronteggia (p 0, m 0 ), signi ca che non può permettersi di acquistare x (p, m). Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 20 / 26

21 Un approccio alternativo: il WARP Conseguenze di una variazione nei prezzi sul comportamento del consumatore: isoliamo l e etto di una variazione nel prezzo relativo dei beni supponiamo che la variazione nei prezzi sia accompagnata da una variazione nella ricchezza che consente al consumatore di acquistare il paniere iniziale ai nuovi prezzi Il consumatore che fronteggia (p, m) acquista x (p, m). Se i prezzi diventano p 0 immaginiamo che la ricchezza del consumatore si aggiusti a m 0 = p 0 x (p, m). L aggiustamento di reddito m = (p 0 p) x (p, m) = p x (p, m) si chiama compensazione della ricchezza di Slutsky. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 21 / 26

22 Un approccio alternativo: il WARP L assioma WARP è equivalente alla legge della domanda walrasiana compensata Legge della domanda walrasiana compensata Se la funzione di domanda walrasiana x (p, m) è omogenea di grado zero e soddisfa la legge di Walras, allora x (p, m) soddifa il WARP se e solo se, per ogni variazione compensata dei prezzi da una situazione iniziale (p, m) a una nuova situazione (p 0, m 0 ) = (p 0, p 0 x (p, m)), vale p 0 p x p 0, m 0 x (p, m) 0 (LDWC) con diseguaglianza stretta se x (p 0, m 0 ) 6= x (p, m). Legge della domanda walrasiana compensata: le quantità domandate e i prezzi si muovono in direzioni opposte (per variazioni compensate dei prezzi), ovvero p x 0. Quando cambia solo il prezzo del bene k, allora se p k > 0 deve essere che x k 0. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 22 / 26

23 Un approccio alternativo: il WARP Se la funzione di domanda walrasiana x (p, m) è di erenziabile, la LDWC può essere scritta come dp dx 0 dove dp è una variazione compensata dei prezzi con dm = x (p, m) dp. La variazione nella domanda si trova calcolando il di erenziale totale ed è data da dx = D p x (p, m) dp + D m x (p, m) dm dove D p x (p, m) = x 1 (p,m) p 1. x K (p,m) p 1 x 1 (p,m) p K.... x K (p,m) p K Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 23 / 26

24 Un approccio alternativo: il WARP e dove D m x (p, m) = x 1 (p,m) ṃ. x K (p,m) m Visto che il reddito varia in modo compensato e dm = x (p, m) dp, possiamo sostituire e ottenere h i dx = D p x (p, m) + D m x (p, m) x (p, m) T dp Quindi dp dx 0 diventa h i dp D p x (p, m) + D m x (p, m) x (p, m) T dp Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 24 / 26

25 Un approccio alternativo: il WARP Dentro la parentesi quadra hd p x (p, m) + D m x (p, m) x (p, m) T i c è una matrice di dimensioni K K che è la matrice di sostituzione di Slutsky S (p, m). Se la funzione di domanda walrasiana x (p, m) è di erenziabile, omogenea di grado zero, soddisfa la legge di Walras e il WARP allora la matrice di sostituzione di Slutsky S (p, m) è semide nita negativa perché soddisfa v S (p, m) v 0 per ogni vettore v 2 R K. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 25 / 26

26 Un approccio alternativo: il WARP In particolare, se S (p, m) è semide nita negativa, lungo la diagonale principale di S (p, m) vale x k (p, m) + x k (p, m) x k (p, m) 0 m L e etto di sostituzione per il bene k quando varia il prezzo del bene stesso è sempre negativo. Un bene può essere di Gi en solo se è inferiore: x k (p, m) > 0 =) x k (p, m) < 0 m Tuttavia, a di erenza dell approccio classico, la matrice di Slutsky non è necessariamente simmetrica per K > 2. L assioma WARP non implica la legge della domanda walrasiana tout court. Nadia Burani (Università di Bologna) Le decisioni di consumo III A.A. 2017/18 26 / 26