IV E V BLOCCO - PROF. MARIA GRAZIA ROMANO

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1 ESEMPIO DELLA PRIMA PARTE DELLA PROVA FINALE DI MICROECONOMIA CORSO PROGREDITO IV E V BLOCCO - PROF. MARIA GRAZIA ROMANO 1. Matematica per l economia 1.1. (max 6 punti). Definisci la condizione necessaria per un massimo non vincolato di una funzione differenziabile y = f(x). Aiutandoti con l analisi grafica, fornisci un intuizione di questa condizione e spiega perchè si parla di condizione necessaria. Definizione: Se una funzione differenziabile y = f(x) raggiunge il suo massimo nel punto x 0, allora f (x 0 ) = 0. Intuizione: sezione Ottimizzazione non vincolata delle dispense di matematica (max 2 punti). Calcola la derivata prima e la derivata seconda della funzione f(x) = x nel punto x = 2. f (x) = 5x 4 ; f (x = 2) = 5 (2) 4 = 80; f (x) = 20x 3 ; f (x = 2) = 20 (2) 3 = Teoria del consumatore 2.1. (max 4 punti). Supponi che esistano solo due beni, il bene 1 e il bene 2 con prezzi p 1 = 1 e = 3. Indica con x 1 e x 2 le quantità consumate del bene 1 e del bene 2, rispettivamente, e assumi che la quantità massima consumabile del bene 2 sia. Rappresenta graficamente il vincolo di bilancio di un consumatore che ha un reddito pari a 40. Mostra come si modifica l insieme dei panieri accessibili se raddoppia il prezzo del bene 1. Vincolo di bilancio con p 1 = 1: In assenza di vincoli sulle quantità, il vincolo di bilancio sarebbe la retta di equazione: 3x 2 + x 1 = 40. Date: May 6,

2 2 IV E V BLOCCO - PROF. MARIA GRAZIA ROMANO La quantità massima consumabile del bene 2 è. Quindi, il consumatore al massimo spende 30 euro per acquistare questo bene. Al contrario, se volesse consumare solo il bene 1, allora ne potrebbe acquistare 40 unità. Quindi, il vincolo di bilancio è dato dalla spezzata in figura 1. x 2 A(, ) 40 x 1 Figure 1. Vincolo di bilancio con p 1 = 1. Vincolo di bilancio con p 1 = 2: In assenza di vincoli sulle quantità, il nuovo vincolo di bilancio sarebbe la retta di equazione: 3x 2 + 2x 1 = 40. La quantità massima consumabile del bene 2 è sempre. Invece, se il consumatore volesse consumare solo il bene 1, allora ne potrebbe acquistare 20 unità. Quindi, se raddoppia il prezzo del bene 1 il vincolo di bilancio si sposta verso il basso a sinistra

3 ESEMPIO DELLA PRIMA PARTE DELLA PROVA FINALE DI MICROECONOMIA CORSO PROGREDITO 3 x 2 A (5, ) A(, ) x 1 Figure 2. Il vincolo di bilancio con p 1 = 2 è la spezzata più in basso (max 7 punti). Sia v(p; m) = m( α p 1 ) α ( 1 α una funzione di utilità indiretta. Si calcolino le funzioni di domanda marshalliane, la funzione di spesa e le funzioni di domanda hicksiane. Domande marshalliane: Dall identità di Roy, sappiamo che: p (1) x i (p, m) = i m Nel nostro esempio: = m α ( ) α+1 1 α 1 α p 1 p 1

4 4 IV E V BLOCCO - PROF. MARIA GRAZIA ROMANO Sostituendo in (1) ( ) α α ( 1 α m = p 1 m α ( α+1 1 α p x 1 (p, m) = 1 p 1 = ( ) α α ( ) 1 α 1 α = m α p 1 m In modo analogo dovete calcolare x 2 (p, m). Funzione di spesa: Poniamo v (p, e (p, u)) u. L utilità massima ottenibile con reddito e (p, u) è u. Sostituendo ad m, ( p1 ) ( ) α 1 α p2 e (p, u) = u. α 1 α Domande hicksiane: Partendo dalla funzione di spesa è possibile trovare la domanda hicksiana utilizzando il Lemma di Shephard: Per il bene 1: In modo analogo dovete calcolare h 2 (p, u). h 1 (p,u) = h i (p,u) = e (p,u) p 1 p 1 e (p,u) p i ( = u α 1 α p (max 3 punti). Definisci l effetto sostituzione della variazione del prezzo di un bene. : p.121 CS. 3. Scelta in condizioni di incertezza 3.1. (max 3 punti). Definisci l equivalente certo di una lotteria. : sezione 2.1 delle dispense sulle scelte in condizione di incertezza

5 ESEMPIO DELLA PRIMA PARTE DELLA PROVA FINALE DI MICROECONOMIA CORSO PROGREDITO (max 5 punti). Calcola il valore atteso delle seguenti lotterie: { 80 con prob. 0, 25 A = 16 con prob. 0, 75 { 44 con prob. 0, 5 B = 20 con prob. 0, 5 Quale lotteria sceglierà un individuo se la sua fdu su somme certe di denaro è u (x) = 2x 1/2 + 5? Valore atteso lotteria A: E(A) = 80 0, , 75 = 32 Valore atteso lotteria B: E(B) = 20 0, , 5 = 32 Le due lotteria hanno uguale valore atteso. Utilità attesa della lotteria A: Utilità attesa della lotteria B: E(u (80, 16; 0, 25)) = 2(0, 25 (80) 1/2 + 0, 75 (16) 1/2 ) + 5 = 15, 5 E(u (44, 20; 0, 5)) = 2(0, 5 (44) 1/2 + 0, 5 (20) 1/2 ) + 5 = 16, 1 La lotteria B genera un utilità attesa maggiore ed è quindi preferita ad A, sebbene abbiano uguale valore atteso. Infatti, la lotteria B ha una varianza minore della lotteria A ed è quindi preferita da un individuo avverso al rischio. Invece, se l individuo fosse neutrale al rischio sarebbe indifferente fra le due lotterie e se fosse amante del rischio preferirebbe la lotteria A.