Microeconomia 6006 CLEAM /2009 Alfredo Di Tillio Lezione 3

Transcript

1 Microeconomia 6006 CLEAM /2009 Alfredo Di Tillio Lezione 3 scelte del consumatore (3) utilità marginale max utilità e utilità marginali caso discreto caso Cobb-Douglas 1

2 Utilità marginale L utilità marginale del bene X in corrispondenza di un paniere (X, Y ) è l incremento di utilità conseguente ad un incremento di una unità di X, tenendo fermo il livello di Y Si indica con MU X Definizione equivalente: la riduzione di utilità conseguente ad una riduzione del consumo di X di una unità, tenendo fermo il consumo di Y 2

3 Si assume sempre che: Per ogni dato livello di Y, l utilità marginale MU X è tanto maggiore quanto minore è il livello di X Per ogni dato livello di X, l utilità marginale MU Y è tanto maggiore quanto minore è il livello di Y Esempio: posto che abbiamo 2 unità di Y, l aumento di utilità che si ha passando dal paniere (0, 2) al paniere (1, 2) è maggiore dell aumento di utilità che si ha passando dal paniere (1, 2) al paniere (2, 2) che è a sua volta maggiore dell aumento di utilità che si ha passando dal paniere (2, 2) al paniere (3, 2) ecc ecc 3

4 Utilità marginali e MRS sono legati dalla formula: MRS = MU X MU Y Vediamo il perché con un esempio 4

5 Y 2 2- Y 3 3+ X X per definizione, in corrispondenza del paniere X=3, Y=2 abbiamo MRS = negativo della pendenza della retta blu dalla figura vediamo che Y = MRS * X e quindi MRS = Y / X il paniere (3+ X,2- Y) arreca piu o meno la stessa utilita del paniere (3,2) quindi MUX * X MUY * Y = 0 e quindi MUX / MUY = Y / X conclusione: MRS = MUX / MUY 4-1

6 Max utilità e utilità marginali Dalla lezione scorsa sappiamo che max utilità = MRS = P X /P Y Avendo dimostrato che MRS = MU X /MU Y, abbiamo anche: max utilità = MU X /MU Y = P X /P Y e quindi max utilità = MU X P X = MU Y P Y Le utilità marginali per euro speso devono essere uguali 5

7 Perchè in corrispondenza di un paniere che massimizza l utilità dobbiamo necessariamente avere MU X /P X = MU Y /P Y? Supponiamo che MU X /P X > MU Y /P Y Spendere 1 euro in meno nel bene Y, e quindi 1 euro in più nel bene X, vuol dire: (1) consumare 1/P Y unità in meno del bene Y (2) consumare 1/P X unità in più del bene X Ogni unità di Y a cui rinuncia fa diminuire l utilità di MU Y Ogni unità aggiuntiva di X fa aumentare l utilità di MU X Quindi (1) implica una riduzione di utilità pari a MU Y (1/P Y ), mentre (2) implica un aumento di utilità pari a MU X (1/P X ) al consumatore conviene spendere 1 euro in meno in Y 6

8 Supponiamo adesso che il consumatore scelga un paniere in corrispondenza del quale si ha MU X /P X < MU Y /P Y Spendere 1 euro in più nel bene Y, e quindi 1 euro in meno nel bene X, vuol dire: (1) consumare 1/P Y unità in u del bene Y (2) consumare 1/P X unità in meno del bene X Ogni unità aggiuntiva di Y fa aumentare l utilità di MU Y Ogni unità di X a cui rinuncia fa diminuire l utilità di MU X Quindi (1) implica un aumento di utilità pari a MU Y (1/P Y ), mentre (2) implica una riduzione di utilità pari a MU X (1/P X ) al consumatore conviene spendere 1 euro in più in Y 7

9 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

10 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

11 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

12 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

13 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

14 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

15 caso discreto unità del bene X unità del bene Y utilità supponiamo che I =e3, che P X =e1, e che P Y =e1 4

16 Il consumatore sceglie X = 2 e Y = 1 (se deve scegliere numeri interi) Il punto è: il consumatore deve sempre scegliere di spendere l euro in più (se ne ha ancora) nel bene che gli procura maggiore utilità marginale per euro 8

17 Utilità di tipo Cobb-Douglas In questo caso abbiamo: U(X, Y ) = X α Y 1 α dove α è un numero compreso tra 0 e 1 Le utilità marginali dei due beni sono date da: Quindi abbiamo anche MU X = αx α 1 Y 1 α MU Y = (1 α)x α Y α MRS(X, Y ) = MU X MU Y = α 1 α Y X 9

18 U(X, Y ) = X α Y 1 α MRS(X, Y ) = MU X MU Y = α 1 α Y X Quindi il MRS dipende: positivamente da Y negativamente da X positivamente da α il numero di unità di Y che il consumatore è disposto a scambiare per una unità di X è tanto più alto quanto minore è il consumo di X relativamente al consumo di Y (cioè quanto maggiore è il rapporto Y/X) quanto maggiore è l importanza relativa di X rispetto a Y (cioè quanto maggiore è il parametro α) 10

19 Con utilita Cobb-Douglas abbiamo MRS = [ / (1 ) ] * ( Y / X ) Una generica curva di indifferenza Cobb-Douglas ha queste caratteristiche: Y MRS + infinito quando X 0 MRS 0 quando X + infinito X 10-1

20 Esempio: Cobb-Douglas con α = 1/2 U(X, Y ) = X 1/2 Y 1/2 MRS(X, Y ) = Y/X In questo caso i due beni sono ugualmente importanti Partendo da un qualunque paniere (X, Y ), l utilità non cambia se il consumo di uno dei due beni viene moltiplicato per k e il consumo dell altro bene viene moltiplicato per 1/k Infatti abbiamo U(kX, Y/k) = (kx) 1/2 (Y/k) 1/2 = (k/k)x 1/2 Y 1/2 = U(X, Y ) Esempio: U(X, Y ) = U(2X, Y/2) (l utilità non cambia se il consumo di X raddoppia, è cioè moltiplicato per k = 2, mentre il consumo di Y si dimezza, è cioè moltiplicato per 1/k = 1/2) 11

21 Max utilità nel caso Cobb-Douglas Sappiamo che, dati i prezzi dei due beni, P X e P Y, max utilità MRS = P X /P Y Nel caso Cobb-Douglas, abbiamo α Y max utilità 1 α X = P X/P Y Ma dal vincolo di bilancio sappiamo che P X X + P Y Y = I possiamo calcolare il paniere (X, Y ) che massimizza l utilità (due equazioni, due incognite) 12

22 Max utilita nel caso Cobb-Douglas Y in questo punto abbiamo [ / (1 ) ] * ( Y / X ) = P X / P Y vincolo di bilancio PX X + P Y Y = I X Nel punto di tangenza abbiamo [ / (1 ) ] * ( Y / X ) = PX / PY ed inoltre PX X + PY Y = I 12-1