IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT. Indice. 1. La funzione φ di Eulero

Transcript

1 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT STAGE DI MATEMATICA E APPLICAZIONI, GIUGNO 2017 Indice 1. La funzione φ di Eulero 1 2. Il Teorea di Eulero-Ferat 2 3. Il punto di vista algebrico Gruppi ed esepi Gruppi finiti, periodo e teorea di Lagrange Prova algebrica del Teorea di Eulero-Ferat 7 4. Ulteriori versioni del Teorea di Eulero-Ferat 7 Appendice A. Il Teorea Cinese dei Resti e oltiplicatività della φ di Eulero 9 1. La funzione φ di Eulero In tutto ciò che segue, conveniao di usare la notazione N = N \ {0}. Fissato un intero n N, sia U n = {a N : 1 a n 1 and MCD (a, n) = 1}. Il nuero di eleenti di U n viene convenzionalente denotato con φ (n): U n = φ (n). In questo odo nasce una funzione φ : N N chiaata funzione φ di Eulero (o funzione toziente). Una doanda tanto naturale quanto ostile 1, non appena ci si ette a fare qualche prova anuale, è la seguente: Ma coe si calcola la φ di Eulero di un dato nuero intero n??? Ecco i passi che seguireo per rispondere: - In accordo al Teorea fondaentale dell aritetica ogni intero si scrive in odo unico(!) coe prodotto di potenze di prii distinti: n = p k 1 1 pr k k. - Si ipara a calcolare il valore della φ di Eulero per ciascuno dei fattori che danno la scoposizione. - Si diostra che φ soddisfa una proprietà oltiplicativa rispetto ai fattori in cui il nuero n è scoposto. Tenendo a ente questo piano di attacco, coinciao diostrando la seguente Proposizione 1. Sia p N un nuero prio. Allora, per ogni k N, (1) φ(p k ) = p k p k 1. Date: aggiornato al 20 giugno oltre alla classica Ma a cosa serve??? che troverà una risposta significativa nella crittografia RSA. 1

2 2 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT Diostrazione. Coinciao con un caso seplice. Supponiao k = 1. Allora, MCD(a, p) = 1 per a = 1,, p 1 e, quindi, U p = {1, p, p 2,, p 1}. Per definizione della φ di Eulero si ha φ(p) = p 1. Più in generale, gli interi 1 a p k 1 che hanno fattori couni, diversi da 1, con p k sono p, 2p, 3p,, (p k 1 1)p. Il loro nuero è ( p k 1 1 ). Quindi gli interi 1 a p k 1 che NON hanno fattori couni con p k sono (p k 1) (p k 1 1) = p k p k 1. La diostrazione è copletata. Ora ci occupiao della proprietà oltiplicativa della φ di Eulero. La sua diostrazione, che richiede l ausilio del celebre Teorea Cinese dei resti sulla risolubilità di sistei di congruenze lineari, viene riandata in Appendice. Proposizione 2 (forula oltiplicativa). Sia n = ab con a, b N tali che MCD(a, b) = 1. Allora: φ(ab) = φ(a)φ(b). Finalente, concludiao il calcolo della φ di Eulero ettendo assiee tutto quello che abbiao ottenuto Corollario 3. Se n = p k 1 1 pkr r è la fattorizzazione (unica) di n coe prodotto di potenze di nueri prii distinti, allora: φ(n) = (p k 1 1 pk ) (p k 2 2 pk ) (p kr r p kr 1 r ). Osservazione 4. Ottenere l espressione esplicita di φ(n) richiede la capacità di fattorizzare il nuero n. Fattorizzare un nuero è un copito assai arduo dal punto di vista coputazionale. Gli algoriti noti richiedono tepi di calcolo non-polinoiali (NP). 2. Il Teorea di Eulero-Ferat Si ricordi che la relazione di congruenza odulo n nell insiee Z è la relazione di equivalenza definita nel seguente odo: a, b Z, a n b k Z : b a = k n. In altri terini, a n b se e soltanto se il resto della divisione di b a per n è r = 0. Si dice anche che n divide b a. Teorea 5 (Eulero-Ferat). Sia dato n N. Allora, per ogni base a U n si ha a φ(n) n 1. Quando n = p è un nuero prio, poichè φ(p) = p = 1, il risultato precedente si riduce al faoso piccolo Teorea di Ferat. Corollario 6 (piccolo Ferat). Sia p un nuero prio. 1 a p 1 si ha a p 1 p 1. Allora, per ogni base a N con Osservazione 7. Il piccolo Teorea di Ferat può essere usato coe un test per riconoscere se un nuero p N è prio oppure no. Se esiste una base a che fa fallire la congruenza, il nuero NON può essere prio. È un test affidabile? In altri terini, se un nuero p soddisfa la congruenza asserita dal teorea per ogni scelta della base si può afferare che p è prio con certezza o aleno con buona probabilità? La risposta in una delle prossie puntate...

3 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT 3 Diostrazione (del Teorea 5). Per seplificare l esposizione, suddividiao la diostrazione in tre passi. Poniao U n = {r 1,, r φ(n) }. Passo 1. Per ogni i = 1,, φ(n) dividiao ar i per n e chiaiao 1 s i n 1 il corrispondente resto così che: (2) ar i = k i n + s i. Vogliao diostrare che: gli interi 1 s 1,, s φ(n) n 1 sono tutti distinti. A tal fine assuiao s i = s j. Allora, usando la (2), si deduce a(r j r i ) = (k j k i )n. Pochè n divide il prodotto a(r j r i ) a, per ipotesi, n non ha fattori prii couni con a allora n deve dividere r j r i. Senza ledere la generalità 2 supponiao r j r i così che r j r i = kn con k N(!). Ora, essendo 1 r j n 1, dalla precedente abbiao quindi deve necessariaente risultare k = 0. desiderato. Passo 2. Se diostriao che, per ogni i, 1 r j = r i + kn n 1 (3) MCD(s i, n) = 1 allora avreo provato che (4) U n = {s 1,, s φ(n) }. Questo prova che r i = r j ovvero i = j, coe Supponiao dunque che c sia un divisore coune a n e s i. Allora, grazie alla (2), c è anche un divisore di ar i. Ma dal fatto che MCD(a, n) = 1 = MCD(r i, n) segue che MCD(n, ar i ) = 1 quindi deve risultare c = 1. Questo prova la (3). Passo 3. Usando la (2) e la (4) otteniao per un opportuno k Z, ovvero: a φ(n) r 1 r 2 r φ(n) = ar 1 ar 2 ar φ(n) = s 1 s 2 s φ(n) + kn = r 1 r 2 r φ(n) + kn (5) a φ(n) r 1 r 2 r φ(n) n r 1 r 2 r φ(n). Per ottenere la relazione a φ(n) n 1, basterebbe seplificare il prodotto r 1 r φ(n) da entrabi i lati della (5). Poichè MCD(r 1 r φ(n), n) = 1, questo si ottiene applicando direttaente il prossio Lea 8. Siano a, n N tali che MCD(a, n) = 1. Allora ab n ac = b n c. Diostrazione. Per ipotesi n divide a(c b) a n non ha fattori prii couni con a. Quindi n deve dividere c b. 2 altrienti basta scabiare il ruolo di i e j.

4 4 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT La diostrazione del Teorea di Eulero-Ferat è conclusa. 3. Il punto di vista algebrico È chiaro dai precedenti argoenti che dietro il Teorea di Eulero-Ferat sono nascoste proprietà algebriche delle classi di resto. In questa sezione vogliao farle eergere dall oscurità richiaando alcuni fatti che sono stati visitati nelle precedenti lezioni, e introducendo qualche nuovo concetto. L insiee quoziente Z n = Z/ n, che è l insiee finito Z n = {[0] n,, [n 1] n } in accordo al teorea di divisione, viene dotato di due operazioni coutative, di soa e prodotto, ereditate da quelle di Z: - [a] n + [b] n = [a + b] n ; - [a] n [b] n = [a b] n. Le operazioni sono ben definite, cioè non dipendono dalla scelta dei rappresentanti delle classi, sono associative e si distribuiscono l una rispetta all altra. Inoltre, quando riguardato con l operazione di soa, Z n soddisfa le seguenti ovvie proprietà: - Per ogni [a] n Z n, [a] n + [0] n = [a] n ; - Per ogni [a] n Z n, [a] n + [ a] n = [0] n. La pria affera che [0] n funge da eleento neutro rispetto alla soa, cioè non la altera, e la seconda riguarda l esistenza di un eleento [a ] n che, soato ad [a] n, consente di tornare all eleento neutro. Si parla di eleento inverso (o opposto). Rispetto al prodotto, la classe [1] n funge da eleento neutro, a non è sepre vero che data una classe [a] n Z n si riesce a trovare una seconda classe [a ] n Z n tale che [a] n [a ] n = [1] n. Se questo accade si dice che [a] n è un eleento invertibile di Z n. Dalla teoria basilare delle equazioni lineari a coefficienti interi, dette anche equazioni diofantee, e più precisaente dalla identià di Bezout, si deduce che [a] n Z n è inveritibile rispetto al prodotto MCD(a, n) = 1. Dunque, usando questa terinologia, possiao riguardare U n Z n (a eno di corrispondenze biunivoche) e interpretarlo coe l insiee degli eleenti invertibili di Z n rispetto al prodotto. Ebbene, U n dotato dell operazione del prodotto di classi ha tutte le prorpietà buone che aveva la soa in Z: è un gruppo Gruppi ed esepi. Nell insiee degli interi relativi Z supponiao di considerare l equazione nella variabile x (6) a + x = b. La procedura usuale per ostrare che tale equazione ha una e una sola soluzione può essere foralizzata coe segue. Supponiao che una soluzione x Z esista. Allora: (a) Soa l opposto di a a entrabi i ebri a + (a + x) = a + b. (b) Applica la proprietà associativa al prio ebro ( a + a) + x = 1 + b. (c) Usa il fatto che l opposto di a soato ad a porge l eleento neutro, il nuero 0 Z, 0 + x = a + b.

5 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT 5 (d) Usa il fatto che l eleento neutro 0 Z non odifica la soa (7) x = a + b. Resta così diostrato che, se esiste una soluzione x Z, allora essa ha necessariaente la fora (7). Per concludere, basta sostituire l espressione (7) all interno dell equazione originaria e verificare, usando nuovaente le proprietà della soa, che l equazione è soddisfatta. Si osservi esplicitaente che la proprietà coutativa della soa non è ai stata utilizzata. Questa procedura può essere replicata, senza alcun cabiaento, in una struttura algebrica astratta chiaata gruppo. Definizione 9. Sia G un insiee. Chiaiao operazione binaria interna a G ogni funzione : G G G. Si usa scrivere g 1 g 2 invece dell usuale notazione (g 1, g 2 ). Definizione 10. Si dice gruppo ogni coppia ordinata (G, ) dove G è un insiee e è una operazione interna binaria di G che gode delle seguenti proprietà: (a) Proprietà associativa. Per ogni g 1, g 2, g 3 G, (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 + g 3 ). (b) Eleento neutro. Esiste e G tale che, per ogni g G, g e = e g = g. (c) Eleento inverso. Per ogni g G, esiste ḡ G tale che g ḡ = ḡ g = e. Si usa scrivere ḡ = g 1 (in notazione oltiplicativa) o ḡ = g (in notazione additiva). Se vale l ulteriore proprietà (d) Per ogni g 1, g 2 G, g 1 g 2 = g 2 g 1 allora il gruppo (G, ) si dice coutativo. Esepio 11 (Il gruppo U n ). Dato n N, l insiee delle classi di resto invertibili (U n, ) rispetto al prodotto in Z n è un gruppo coutativo. Infatti: - L operazione è interna a Z n. Se MCD(a, n) = 1 = MCD(b, n) allora si ha anche MCD(ab, n) = 1 da cui segue che 3 [a] n [b] n = [a b] n U n. - L associatività, la coutatività e l esistenza dell eleento neutro [1] n U n, sono conseguenza delle analoghe proprietà del prodotto in Z n. - Infine, presa [a] n U n, poichè U n è costituito da tutti e soli gli eleenti invertibili di Z n rispetto al prodotto, abbiao che esiste [a ] n Z n tale che [a] n [a ] n = [1] n. Ma allora anche [a ] n è invertibile. Dunque [a ] n U n. Esepio 12 (gruppi ciclici). Sia (G, ) un gruppo e sia g 0 G un eleento fissato. Conveniao di porre: g 0 se k = 1 g0 k e se k = 0 = g 0 g 0 se k N g0 1 g0 1 se k N. Allora, usando queste notazioni, l insiee g 0 = {g k 0 : k Z} 3 Di fatti, l inversa di [a]n [b] n è esplicitaente data [b ] n [a ] n dove [a ] n e [b ] n sono rispettivaente le classi inverse di [a] n e [b] n.

6 6 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT è un gruppo rispetto alla stessa operazione di G. Questo è chiaato gruppo cicliclo generato da g 0. La verifica che ( g 0, ) è un gruppo segue iediataente dal fatto che valgono le usuali proprietà delle potenze. In particolare: g0 k g0 h = g0 k+h e (g0) k 1 = (g0 1 )k = g0 k. per ogni k, h Z. La diostrazione di queste proprietà è lasciata coe esercizio Gruppi finiti, periodo e teorea di Lagrange. Diciao che il gruppo (G, ) è finito se l insiee G ha cardinalità finita. In un gruppo finito G, anche il gruppo ciclico g 0 generato un eleento g 0 G deve necessariaente essere finito. Infatti g 0 G. Una conseguenza ovvia a iportante di questa ossevazione è che gli eleenti di g 0 non possono essere tutti distinti. Prendendo le potenze di g 0 pria o poi si dovrà tornare ad una potenza che si era già considerata in precedenza. Più precisaente, vale il seguente risultato che spiega il noe di gruppo ciclico. Proposizione 13. Siano (G, ) un gruppo finito non banale 4 e g 0 G\{e} un eleento fissato. Allora esiste un intero n N tale che g0 n = e e si ha g 0 = {g 0 0 = e, g 0, g 2 0,, g n 1 0 } dove gli eleenti dell insiee si intendono tutti distinti. Diostrazione. Coe abbiao già osservato, le potenze positive g 0 0 = e, g 0, g 2 0,, g t 0, non sono tutte distinte quindi esisterà il più piccolo intero n N con la proprietà che (8) g0 n {e, g 0, g0, 2 g0, 3, g0 n 1 }. Sia 0 h n 1 tale che g0 n = g0 h. Si noti che n 2 perchè stiao assuendo che g 0 e. Inoltre, g0 n 1 e perchè, altrienti, = n 1 sarebbe un intero più piccolo di n per il quale vale la proprietà (8). Afferiao che h = 0 e, quindi, (9) g n 0 = e. Per assurdo, sia h 1 così che = n h è un nuero naturale che soddisfa Usando le proprietà delle potenza abbiao 1 n 1. g0 = g0 n h = g0 h g0 h = g0 0 = e. Ma allora abbiao trovato un intero strettaente più piccolo di n che soddisfa la (8) e questo contraddice la definizione stessa di n. Usando la (9) e il Teorea di divisione ci apprestiao a diostrare che (10) g 0 {e, g 0, g 2 0, g 3 0,, g n 1 0 }. Visto che l inclusione opposta è ovvia, questo copleterà la diostrazione della Proposizione. Dunque, sia k Z. In accordo al teorea di divisione sono univocaente deterinati q Z e 0 r n 1 tali che k = nq + r. 4 cioè non ridotto al solo eleento neutro

7 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT 7 Coe conseguenza, usando una volta ancora le proprietà delle potenze, Questo prova la (10). g k 0 = (g n 0 ) q g r 0 = e g r 0 = g r 0 {e, g 0, g 2 0,, g n 1 0 }. Definizione 14. Siano G un gruppo finito non banale e g 0 G \ {e}. Allora, l intero n N che soddisfa la proprietà della Proposizione 13, ovvero il più piccolo interno n N tale che g n 0 = e, è chiaato periodo di g 0. Chiaraente n = g 0. Il periodo di un eleento di un gruppo finito è legato alla cardinalità del gruppo attraverso la seguente relazione che ci liitiao ad enunciare. Teorea 15 (di Lagrange). Siano (G, ) un gruppo finito non banale e g 0 G\{e} un eleento di periodo n N. Allora n divide G, cioè, G = kn per qualche k N. Osservazione 16. In effetti il Teorea di Lagrange stabilisce una proprietà più generale che lega la cardinalità di un gruppo finito con quella di un suo sottogruppo, a questa versione del Teorea, così coe gli struenti che servono per diostrarlo, esulano dallo scopo delle presenti note Prova algebrica del Teorea di Eulero-Ferat. Torniao ora al Teorea 5 svelando coe i precedenti fatti algebrici siano alla base della sua validità. Consideriao il gruppo (U n, ) degli eleenti invertibili rispetto al prodotto di Z n e ricordiao che φ(n) = U n. Ora, fissiao una base 1 a n 1 tale che MCD(a, n) = 1. Dunque, [a] n U n. Sia il suo periodo così che Per il Teorea di Lagrange, Quindi, usando le proprietà delle potenze, [a] φ(n) n = [a] k n [a] n = [1] n. φ(n) = U n = k. che è esattaente quanto predicato dal Teorea. = ([a] n ) ) k = [1] k n = [1] n 4. Ulteriori versioni del Teorea di Eulero-Ferat Il Teorea 5 può essere riforulato nel seguente odo del tutto equivalente: Presi 1 e [a] U si ha [a] φ()+1 = [a] Si noti che l equivalenza [a] φ()+1 = [a] [a] φ() = [1] è stabilita usando l invertibilità dell eleento [a] ed è stata usata nella diostrazione copletaente aritetica del teorea. In quest ultia forulazione, l ipotesi che [a] sia invertibile, i.e., MCD (a, ) = 1, può essere oessa a patto di richiedere qualche ulteriore condizione sull intero. Vale infatti il seguente risultato Teorea 17. Sia = p 1 p 2 p k prodotto di prii distinti. Allora, per ogni [a] Z (senza alcuna ulteriore richiesta!) si ha [a] φ()+1 = [a].

8 8 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT Diostrazione. Per seplicità liitiaoci al caso = pq. Il caso generale è del tutto siile. E sufficiente considerare 0 a 1. Se a = 0 la tesi segue banalente. Supponiao perciò a 1. Usando il teorea di fattorizzazione, scriviao a = bp k q h dove MCD (b, ) = 1. Si possono presentare le seguenti possibilità. (a) k, h 1 i.e. a contiene il fattore = pq. Allora ovviaente [a] = [0] e non vi è alcunchè da diostrare. (b) Aleno uno tra k e h è nullo. Supponiao ad esepio k = 0, così che a = bq h. Usando il Teorea 5 abbiao Riane perciò da diostrare che [a] φ()+1 = [b] φ()+1 [q h ] φ()+1 = [b] [q h ] φ()+1. (11) [q h ] φ()+1 = [q h ]. Per far questo, consideriao le seguenti equazioni { x p q x q 0. In accordo al Teorea 5 è soluzione. D altra parte x = q φ()+1 x = q ovviaente è una seconda soluzione. Il Teorea Cinese dei Resti asserisce che i.e. da cui segue iediataente la (11). x pq= x q φ()+1 pq= q Corollario 18. Sia = p 1 p 2 p k prodotto di prii distinti. Allora, per ogni 0 a 1 e per ogni h 1 si ha (12) [a] hφ()+1 = [a]. Diostrazione. Per induzione su h 1. Il caso h = 1 è precisaente quanto asserito dal Teorea 17. Supponiao (12) vera per h. Diostriao che essa è vera per h + 1. A tal fine, osserviao sepliceente che, dall ipotesi induttiva, e usando il prio passo, [a] (h+1)φ()+1 = [a] hφ()+1 [a] φ() = [a] [a] φ() = [a] φ()+1 = [a].

9 IL TEOREMA DI EULERO-FERMAT 9 Appendice A. Il Teorea Cinese dei Resti e oltiplicatività della φ di Eulero Per copletezza riportiao l enunciato (a non la diostrazione) del Teorea Cinese dei Resti che riguarda la risolubilità di sistei di equazioni lineari a coefficienti interi. Teorea 19 (cinese dei resti). Siano a, b N tali che MCD(a, b) = 1. Allora il sistea di congruenze { x a c 1 x b c 2 ha una soluzione x che è univocaente deterinata odulo ab. Abbiao già visto alcune iportanti applicazioni del Teorea nell abito di possibili generalizzazioni del Teorea di Eulero-Ferat. Qui, proponiao una ulteriore applicazione alla diostrazione della proprietà oltiplicativa della φ di Eulero. Si tratta della Proposizione 2. Diostrazione (della Proposizione 2). In questa diostrazione, pensiao U n Z n. Si consideri la corrispondenza f : U ab U a U b data da f ([k] ab ) = ([k] a, [k] b ). E un facile esercizio verificare che f ben definisce una funzione. Diostriao che f è una biiezione. Questo iplicherà che φ (ab) = U ab = U a U b = U a U b = φ (a) φ (b). Coinciao a ostrare che f è iniettiva. Assuiao dunque che f ([k] ab ) = f ([h] ab ). Allora x = k è soluzione del sistea { x a h x b h. D altra parte, x = h è ovviaente soluzione dello stesso sistea. In accordo al Teorea Cinese dei resti deve risultare k ab h i.e. [k] ab = [h] ab. Riane da provare che f è suriettiva. Sia ([h] a, [k] b ) U a U b. In virtù del Teorea Cinese dei resti esiste una soluzione del sistea di equazioni { x a h x b k. Poichè MCD (x, a) = 1 = MCD (x, b) ne viene che MCD (x, ab) = 1. Dunque [x] ab U ab e, per costruzione, f ([x] ab ) = ([h] a, [k] b ).