Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 3 luglio Un punto di massa unitaria si muove soggetto al potenziale. V (x) = k 2 x2 + l2 2x 2 x > 0

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1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 3 luglio 015 Problea 1 Un punto di assa unitaria si uove soggetto al potenziale V (x) = k x + l x x > 0 a) disegnare lo spazio delle fasi e calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni vicino alla posizione di equilibrio stabile. b) Confrontare l energia eccanica associata al potenziale V (x) con quella di un punto ateriale di assa unitaria che si uove nel piano soggetto ad un potenziale di una olla di costante k e oento della quantitá di oto l: utilizzare le coordinate polari u = x cos ϕ v = x sin ϕ c) dedurre dal punto precedente che il sistea iniziale ha una soluzione nella fora x(t) = A cos ωt + B sin ωt con ω = k ed A e B due costanti che dipendono dall energia iniziale E 0 e dal valore di l d) trovare la relazione tra A e B ed E 0 ed l. L energia potenziale del sistea ha un punto critico stabile kx l x 3 = 0 x c = Linearizziao il potenziale su tale punto ( l k ) 1/4 V (x) V (x c ) + k(x x c ) +... cosí che ω c = k é la frequenza delle piccole oscillazioni. 1

2 L energia di un punto ateriale sul piano (u, v) soggetto ad una forza elastica si scrive E = 1 ( u + v ) + k (u + v ) = 1 (ẋ + x ϕ + k x Dato che il oento della quantitá di oto si conserva, l = ϕx si conserva e possiao riscrivere l energia introducendo un potenziale efficace E = 1 ẋ + l x ϕ ) + k x L energia trovata coincide nello fora con l energia del problea unidiensionale quindi se (u(t), v(t)) é una soluzione per il problea dell oscillatore piano x(t) = u + v é soluzione del problea unidiensionale. Le soluzioni di un oscillatori si espriono ediante seni e coseni con frequeza ω = k pertnto é una possibile soluzione. Quindi x(t) = u(t) = A cos ωt v(t) = B sin ωt A cos ωt + B sin ωt é una soluzione al prio problea. Sostituendo nella definizione di energia e oento della quantitá di oto troviao le relazioni E k = A + B l = ωab Problea Si consideri un punto ateriale di assa che si uove vincolato ad un toro di equazioni x = R(1 + cos θ) cos ϕ y = R sin θ z = R(1 + cos θ) sin ϕ soggetto al potenziale V (ϕ, θ) = ar(1 + sin θ/) sin ϕ.

3 a) scrivere la Lagrangiana e l Hailtoniana del sistea; b) diostrare che la condizione θ = θ = 0 é invariante nella dinaica (ovvero se é soddisfatta a t = 0 lo riane anche dopo); c) studiare la stabilitá per orbite vicine a θ = 0 approssiando il sistea per θ 1 e verificando che E ϕ = p ϕ 8R + a sin ϕ é un integrale prio del oto per il sistea approssiato. La Langrangiana del sistea si scrive e l Hailtoniana é L = R (1 + cos θ) ϕ + R θ ar H = p ϕ R (1 + cos θ) + Le equazioni di Lagrange si scrivono ( ) 1 + sin θ sin ϕ ( ) p θ R + ar 1 + sin θ sin ϕ d dt R θ = R (1 + cos θ) sin θ ϕ ar sin θ cos θ sin ϕ ( ) d dt R (1 + cos θ) ϕ = ar 1 + sin θ cos ϕ Se poniao θ = θ = 0 la pria equazione é soddisfatta in quanto θ = 0 e la seconda diventa 4R ϕ = ar cos ϕ che corrisponde all equazione di un pendolo seplice. Se sviluppiao l Hailtoniana per θ 1 si ottiene H p ϕ θ (1 + 8R ) + p θ θ + ar sin ϕ(1 + R ) tenendo i terini in θ. Introducendo E ϕ l Hailtoniana approssiata si scrive H app = E ϕ + p θ R + E θ ϕ Ne segue che la parentesi di Poisson di H app ed E ϕ (ϕ, p ϕ ) é nulla (quindi E ϕ é un integrale prio del oto) e che se E ϕ > 0 otteniao l Hailtoniana di un oscillatore aronico e quindi le orbite θ = θ = 0 sono stabili. 3

4 Problea 3 Si consideri un sistea eccanico forato da due aste oogenee di lunghezza l e assa che oscillano in un piano verticale con un estreo vincolato ad un punto O. a) Scrivere la Lagrangiana del sistea aggiungendo una olla tra gli estrei liberi delle aste; b) scrivere la Lagrangiana delle piccole oscillazioni nella posizione di equilibrio stabile; c) calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni. La Lagrangiana si scrive L = 1 ( 4l 3 ) ( θ 1 + θ ) + lg(cos θ 1 + cos θ ) + 4kl cos(θ 1 θ ) dove θ 1 e θ sono gli angoli tra le aste e la direzione verticale verso il basso. L equilibrio stabile si ha per θ 1 = θ = 0, e la Lagrangiana delle piccole oscillazioni si scrive L po = 1 ( 4l 3 ) ( θ 1 + θ ) lg (θ 1 + θ ) + 4kl (θ 1 θ ) Possiao quindi calcolare l equazione che deterina le frequenze delle piccole oscillazioni ( ω 3 ( g 4 l + 4k )) 9 k = 0 da cui ω = ( 3 g 4 l + 4k ) ± 3 k Avreo una frequenza lenta quando le aste si uovono in fase ed una piú veloce quando le aste si uovono in controfase. Problea 4 Si consideri una particella di assa che si uove su un piano soggetta al potenziale V (x, y) = { 0 x < 0 V x 0 4

5 a) scrivere il principio variazionale di inia Azione nella fora ridotta di Maupertuis per una traiettoria che parta da ( L, 0) e arrivi a (L, y 0 ); b) verificare che tale principio equivale a richiedere che il tepo di percorrenza della traiettoria fisica sia inio; c) diostrare che questo iplica la legge di rifrazione ottica nel punto di discontinuitá del potenziale. L energia del sistea si scrive E = { x x < 0 x + V x 0 Il principio di Minia Azione nella forulazione di Maupertuis asserisce che nello spazio delle traiettorie x(t) che connettono i punti ( L, 0) e (L, y 0 ) e hanno l energia costante, risulta estreale il funzionale Dal oento che A[x(t)] = (L,y0 ) ( L,0) xd x = ds dt ds x d x dove ds é l eleento di lunghezza ds = d x d x, il principio di inia azione divente A[x(t)] = (L,y0 ) ( L,0) ds (0,y ) (L,y0 ) dt ds = v ds + v + ds ( L,0) (0,y ) dove y é l ordinata del punto di ascissa 0 della traiettoria ed v ± é il odulo della velocitá pria e dopo la discontinuitá. Valgono le relazione E0 v = (E0 V ) v + = Pertanto abbiao L + y A[x(t)] = E L + (y 0 y ) 0 + (E 0 V ) v 5 v +

6 che deve essere reso estreale rispetto alle variazioni di y. Il principio variaziole rende quindi estreale il tepo di percorrenza pesato dall energia cinetica nelle due zone. Dal calcolo diretto abbiao A = E 0 y dy v L + y (E 0 V ) v + y0 y L + (y 0 y ) = 0 La traiettoria risulta rettilinea nelle due zone e nel punto di discontinuitá vale che v sin θ = v + sin θ + con θ ± angolo di incidenza. Nota: abbiao ottenuto una legge di rifrazione che non é l usuale legge di rifrazione per la luce. 6