PRINCIPIO DI INDUZIONE

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1 PRINCIPIO DI INDUZIONE LORENZO BRASCO Contents. Qualche richiao. Esercizi. Qualche richiao Sia n N e siano a,..., a n nueri reali. Ricordiao il sibolo di soatoria a a 0 + a + + a n. Ricordiao la definizione di fattoriale {, se n 0, n! n n, se n e quella di coefficiente binoiale n n!, dove 0 n.! n! Dalla definizione di fattoriale, abbiao le seguenti relazioni: n + n! n +! e n! n! n n n +. Ci servirà inoltre il seguente piccolo risultato tecnico: Lea.. Per ogni n N \ {0} ed ogni n, si ha n n + n +.

2 LORENZO BRASCO Soluzione. È sufficiente scrivere esplicitaente i binoiali a prio ebro e svolgere qualche calcolo, infatti si ha n n n! +!n! + n!!n +! n! n +!n + n! + n!! n +! n! n +!n +! + n!! n +! n!n + + n! n!n + +!n +!!n + n + n! n +!n +, che è esattaente ciò che volevao provare.. Esercizi Esercizio.. Diostrare che per ogni n si ha n n +.. Soluzione. Procediao per induzione: la. è ovviaente vera per n, coe è facile convincersi. Infatti in tal caso abo i ebri valgono. Supponiao adesso che la. sia vera per un qualche naturale ipotesi induttiva, dobbiao ostrare che questo iplica la validità della stessa forula per il naturale successivo +. Se riusciao a ostrare ciò, abbiao finito grazie al principio di induzione. Abbiao quindi + +, e sfruttando l ipotesi induttiva, sappiao dire esplicitaente chi è la soatoria a seconda ebro, ovvero ,

3 PRINCIPIO DI INDUZIONE 3 dopo di che basta svolgere un po di seplici passaggi algebrici, per ottenere che , ovvero la. è vera anche per + e quindi possiao concludere. Esercizio.. Diostrare che per ogni n si ha. n n + n +. Soluzione. Procediao per induzione: la. è ovviaente vera per n, coe è facile convincersi. Supponiao adesso che la. sia vera per un qualche naturale ipotesi induttiva: è vero che questo iplica la validità di. anche per il naturale successivo +? Se la risposta è sì abbiao finito, grazie al principio di induzione. Abbiao quindi + + e sfruttando l ipotesi induttiva, sappiao dire esplicitaente chi è la soatoria a seconda ebro, ovvero , dopo di che basta svolgere un po di seplici passaggi algebrici, per ottenere che [ ] , ovvero la. è vera anche per + e quindi possiao concludere. Esercizio.3. Diostrare che per ogni n si ha nn

4 4 LORENZO BRASCO Osservazione.4. Più in generale, per ogni n N ed i N, definiao N i n i, ovvero N i n è la soa delle potenze i esie dei prii n nueri: in particolare, negli esercizi precedenti abbiao trovato la fora esplicita per N i n quando i,, 3. Si può provare la seguente forula ricorsiva per N i n:.4 N i n i + n + i+ i + i 0 i + N n. Infatti coinciao osservando che, usando il cabio di indice j + e la forula del Binoio di Newton si veda Esercizio.7, si ottiene n n i i N i n j + i j, 0 j0 j0 0 ovvero scabiando le soatorie nella precedente, si ha i i n i i N i n j N n j0 0 N i n + i N i n + i 0 i N n. Osserviao adesso che N i n N i n n i per definizione, quindi la relazione precedente può anche essere riscritta, portando N i n e la soatoria a prio ebro e dividendo per i, coe N i n i ni i i 0 i N n, ovvero, visto che la precedente vale per ogni i e per ogni n, sostituendo i con i + e n con n + si ottiene la.4. Esercizio.5. Diostrare che per ogni n, il nuero n n è divisibile per. Soluzione. Conviene coe sepre appellarci al principio di induzione: la tesi è ovviaente vera per n, dal oento che in tal caso il nuero in questione è 3 + 5, Notare che i due indici j e sono indipendenti.

5 PRINCIPIO DI INDUZIONE 5 che è chiaraente divisibile per. Supponiao adesso che per un certo naturale, il nuero n sia divisibile per ipotesi induttiva, vogliao che lo stesso succeda anche per il naturale successivo n, ovvero vogliao provare che n 3 +5 n è anch esso divisibile per. D altronde si ha n n [n ] + [3 + ] +, e quest ultia è la soa di tre nueri, tutti divisibili per : il prio n lo è per ipotesi induttiva, il terzo è, entre il secondo 3 + è divisibile per in quanto triplo prodotto del nuero pari +. In conclusione, anche è divisibile per. Esercizio.. Diostrare che per ogni n, il nuero 0 n è divisibile per 9. Soluzione. Procediao per induzione: coe sepre, il prio passo è verificare che la nostra afferazione sia vera per il prio naturale per cui viene forulata, ovvero in questo caso per n. D altronde in tal caso il nuero in questione è 0 9, che è divisibile per 9. Adesso, doandiaoci cosa succede se assuiao che la nostra afferazione sia vera per un certo naturale N, ovvero assuiao di sapere che 0 sia divisibile per 9 ipotesi induttiva: lo stesso varrà per anche per 0 +? In effetti si ha , ovvero 0 + è la soa di due nueri divisibili per 9 e quindi è anch esso divisibile per 9. Per il principio di induzione, ne concludiao che l afferazione di partenza è vera per ogni n. Esercizio.7 Binoio di Newton. Siano x, y R due nueri positivi. Diostrare che per ogni n si ha n.5 x + y n x y n Soluzione. Procediao usando il principio di induzione: la verifica che.5 è vera per n è iediata. Supponiao adesso di sapere che.5 sia vera per un certo N, vorreo diostrare che allora essa è vera anche per il successivo naturale, ovvero per + : osserviao innanzitutto che vale ovviaente x + y + x + y x + y, Si provi che per ogni n N, nn + è un nuero pari.

6 LORENZO BRASCO dopo di che applichiao l ipotesi induttiva ovvero il fatto che stiao supponendo.5 vera per, ottenendo quindi x + y + x + y x y x x y + y x y x + y + x y +. A questo punto, riscriviao la pria soatoria cabiando il noe dell indice di soa e ponendo h, così da ottenere n x + y x h y h+, h in odo che abbiao ottenuto x + y + h x y [ x + + y + + x y + ] x y +, ovvero, utilizzando l identità diostrata nel Lea. x + y + x + + y x y + + x y +, quindi la.5 è vera anche per +. Per il principio di induzione, essa è vera per ogni n. Esercizio.8. Diostrare che per ogni n N si ha. n n!. Soluzione. La proposizione è chiaraente vera per n 0, ricordandosi che 0! per definizione. Supponiao adesso che. sia vera per un certo N, ostriao

7 PRINCIPIO DI INDUZIONE 7 coe questo iplichi che. debba essere vera anche per il naturale successivo +. Si ha infatti per ipotesi induttiva!, e d altronde +, appena, quindi abbiao provato concludendo così la diostrazione. +!, Esercizio.9 Soa geoetrica. Sia a R \ {0, }, diostrare che per ogni n N si ha.7 a an+ a. Soluzione. Procediao per induzione: per n 0 si vede facilente che.7 è vera, infatti entrabi i ebri coincidono con. Assuiao adesso che per un certo N valga a a+ a, e consideriao il passo +. Si ha a a + a +, ed usando l ipotesi induttiva ovvero il fatto che.7 è vera per si ha a a + a + a a + a+ Questo diostra che.7 è vera per +. a+ + a + a + a a+ a. Esercizio.0 Il falso binoio di Newton. Siano x, y R due nueri positivi. Diostrare che per ogni n si ha.8 x n+ y n+ x y x y n.

8 8 LORENZO BRASCO Soluzione. Osserviao innanzitutto che se x y la forula è banalente vera, perché abo i ebri valgono 0. Ugualente, se y 0 la forula è banalente vera, visto che entrabi i terini valgono x n+ - Supponiao quindi x y e y 0. Usando le proprietà delle potenze y n y n y y n y, e quindi grazie alla forula.7 con a x/y si ha x y x y n x y y n x x x y yn y y n+ x x y y n y x y coe voluto. x y y n xn+ y n+ x y y n x n+ y n+, Osservazione. Casi particolari del falso binoio di Newton. Due casi particolari della forula precedente saranno probabilente ben noti al lettore fin dalle scuole superiori. Si tratta dei casi n e n : in tali casi la forula diventa rispettivaente x y x y x + y, e x 3 y 3 x y x + x y + y. Esercizio. Disuguaglianza di Bernoulli. Diostrare che per ogni x ed ogni n N \ {0} vale.9 + x n + n x. Soluzione. Procediao usando il principio di induzione. La disuguaglianza.9 è vera per ogni x quando n, dato che entrabi i ebri coincidono con + x. Supponiao adesso che.9 sia vera per un certo ed ogni x. Dobbiao diostrare che allora.9 è vera anche per +. Osserviao innanzitutto che + x + + x + x,

9 PRINCIPIO DI INDUZIONE 9 dopo di che per ipotesi induttiva sappiao che + x + x. Inoltre x, quindi il terine + x è positivo, possiao quindi dire che + x + + x + x + x + x. Sviluppando l ultio prodotto, troviao quindi + x x + x. Osserviao che l ultio terini è positivo, quindi abbiao ottenuto + x x, ovvero.9 al passo +, coe volevao. Esercizio.3. Diostrare che per ogni n, si ha.0 n n! n n. Soluzione. Di nuovo, usereo il principio di induzione: partiao intanto col verificare che.0 è vera per n, infatti si ha!, con seplici calcoli 3. Supponiao adesso che.0 sia vera per un certo N, vogliao provare che lo stesso possiao dire per il naturale successivo +. Osserviao che si ha, sfruttando l ipotesi induttiva + +! +! + n 0, quindi se riusciao a diostrare che la quantità a secondo ebro può essere stiata coe segue. + n 0 + +, abbiao concluso, perchè avreo diostrato proprio che.0 è vera anche per n. Il problea quindi si è ridotto a diostrare la validità di., a d altronde si vede subito che essa è equivalente a diostrare che +, la quale è una conseguenza inediata della forula del Binoio di Newton diostrata in precedenza, infatti + + +, concludendo così la diostrazione. n 0 3 Non volendo sforzarsi con calcoli troppo lunghi o non volendo usare la calcolatrice, non è difficile convincersi che! e quest ultia è ovviaente vera. n 0

10 0 LORENZO BRASCO Esercizio.4. Diostrare che per ogni n N, si ha. n n 3 n n!. Soluzione. Usiao il principio di induzione: la verifica che. è vera per n 0 è iediata. Vediao adesso cosa succede se supponiao che. sia vera per un certo N: se grazie a questo riusciao a provare la validità di. anche per il successivo naturale +, abbiao finito. Coe pria, osserviao che grazie all ipotesi induttiva possiao dire 3 + +! 3 + 3! 3 + n 0. Supponiao per un attio di saper provare che n 0 + +, di nuovo questo ci peretterebbe di provare che. è valida anche per + e quindi di concludere. Resta quindi da provare che effettivaente vale la.3: con qualche passaggio algebrico, non è difficile vedere che questa è equivalente alla seguente + 3, che cerchereo adesso di diostrare. Usando nuovaente la forula del Binoio di Newton + + n 0 n 0! !! n 0! +... n 0 +! +! +, dopo di che osserviao che usando la., abbiao!, n 0

11 ovvero riprendendo da dove eravao riasti + + PRINCIPIO DI INDUZIONE 0 + concludendo così la diostrazione. h0! + h h + h 3, Osservazione.5. Si osservi che nella risoluzione degli ultii due esercizi, abbiao diostrato + n n 3, per ogni n.