Capitolo 8 - La diafonia (I)

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1 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica Capitolo 8 - a diafonia (I) Introduzione: iportanza della diafonia... Descrizione del fenoeno... Tipiche configurazioni di linee a tre conduttori...5 Equazioni delle linee di trasissione a tre conduttori...7 oluzione nel doinio della frequenza... oluzione generale... appresentazione della linea traite i paraetri alle porte... 7 oluzione esatta per linee senza perdite in ezzi oogenei... 9 Accoppiaento induttivo e capacitivo... 3 Osservazione: uso di un odello a paraetri concentrati per una soluzione approssiata... 5 Prevalenza dell uno o dell altro accoppiaento... 8 Applicazione: accoppiatore direzionale... 3 Andaento in frequenza dell accoppiaento induttivo e capacitivo... 3 Inclusione delle perdite: accoppiaento traite l ipedenza di odo coune 3 Esepio nuerico: cavo a nastro Esepio nuerico: icrostriscia accoppiata INTODUZIO: IMPOTANZA DEA DIAFONIA a diafonia è uno tra i più iportanti aspetti della progettazione di apparati copatibili dal punto di vista elettroagnetico. Il terine diafonia indica essenzialente l accoppiaento elettroagnetico non voluto tra fili e piste dei circuiti che si trovano vicini tra loro. Questo fenoeno è dovuto, coe si vedrà, proprio alle correnti ed alle tensioni nei conduttori, il che lo farebbe sebrare analogo al seplice e noto problea dell accoppiaento d antenna; al contrario, esso differisce da quest ultio in quanto si tratta di un problea di accoppiaento in capo vicino, entre invece quello d antenna è generalente un problea di accoppiaento in capo lontano. a diafonia tra fili in un cavo oppure tra piste in un circuito stapato rappresenta un fenoeno di interferenza interna di un sistea; in altre parole, la sorgente dell eissione elettroagnetica ed il ricevitore (o vittia) di questa eissione appartengono allo stesso sistea. Questo ostra che siao nel terzo fondaentale capo di interesse della copatibilità elettroagnetica: la progettazione di un prodotto che non interferisca con se stesso. D altra parte, possiao renderci conto facilente di coe la diafonia possa influenzare le eissioni radiate e/o condotte di una apparecchiatura: icordiao che gli altri due capi riguardano le eissioni prodotte e la suscettività alle eissioni esterne (prodotte da altre apparecchiature)

2 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 consideriao, per esepio, un cavo a nastro che si trovi all interno di un prodotto e sia collocato olto vicino ai fili di collegaento con una periferica esterna all apparecchiatura: la diafonia tra questi due cavi può indurre segnali sui fili di collegaento della periferica, i quali possono irradiare all esterno, col rischio di superare i liiti delle nore sulle eissioni radiate; un altra possibilità è invece quella per cui l accoppiaento tra i cavi coinvolge il cordone di alientazione dell apparecchiatura, sul quale vengono indotti dei segnali che, ancora una volta, potrebbero violare le nore sulle eissioni condotte. Non è finita qui, in quanto la diafonia può influenzare anche la suscettività di un apparato alle eissioni di un altro apparato: ad esepio, le eissioni di un apparato A possono accoppiarsi sul cavo di alientazione di un altro apparato B e poi, all interno di questo, si possono accoppiare per diafonia a qualche altro cavo, il che rappresenta un evidente auento della suscettività al segnale esterno da parte dell apparato B. Queste considerazioni evidenziano l iportanza del fenoeno della diafonia e della necessità di difendersi da esso. DECIZIO DE NOMENO cendiao ora in aggiori dettagli nella descrizione del fenoeno della diafonia. A tal fine, dobbiao partire da una linea di trasissione a due conduttori, del tipo scheatizzato nella figura seguente: In una linea di trasissione a due conduttori, non può esistere il fenoeno della diafonia. Perché questo fenoeno abbia luogo, ci devono essere aleno 3 conduttori (linee di trasissione ulticonduttore), il che accade, ad esepio, coe si vedrà, quando le linee di trasissione sono due, a utilizzano lo stesso conduttore di ritorno. Ad ogni odo, per studiare linee di trasissione a 3 o più conduttori, bisogna applicare concetti del tutto siili a quelli noti sulle linee di trasissione a due conduttori. aggiunta di un terzo conduttore ad un sistea a due conduttori genera la possibilità di creare interferenze sui circuiti collegati alle estreità dei conduttori stessi, a causa appunto della diafonia. Per spiegarci eglio, facciao riferiento alla figura seguente, nella quale è riportata una classica scheatizzazione di una linea di trasissione a tre conduttori: Autore: andro Petrizzelli

3 a diafonia (parte I) conduttore di andata del circuito generatore - conduttore di andata del circuito ricevitore conduttore di ritorno z z z Abbiao dunque un circuito generatore (o circuito sorgente), costituito da un generatore V (t) con resistenza serie collegato, traite un conduttore di andata ed uno di ritorno (detto anche conduttore di riferiento), su un carico resistivo ; poi c è un circuito ricevitore (detto anche circuito vittia), costituito sepliceente da altre due terinazioni ( ed ) collegate tra loro traite un altro conduttore di andata e lo stesso conduttore di ritorno del circuito sorgente. upponendo di non poter ritenere valida l ipotesi dei paraetri concentrati, dobbiao considerare i tre conduttori traite un odello a paraetri distribuiti, così coe si fa tradizionalente per lo studio delle linee di trasissione a due conduttori. Ci conviene dunque fissare (coe evidenziato nella figura) un riferiento ad esepio con l asse z parallelo ai conduttori, in odo da poter descrivere, in ciascuna sezione z ed in ciascun istante t, l andaento delle correnti e delle tensioni nei conduttori. Coe si vede, abbiao indicato con z la sezione di alientazione e con z la sezione di carico, adottando così iplicitaente una lunghezza della linea pari proprio ad. tiao inoltre facendo, per seplicità, l ipotesi che qualsiasi disoogeneità del dielettrico circostante abbia una sezione trasversale unifore lungo l asse della linea, il che consente di ritenere la linea unifore. ia I (z,t) la funzione che descrive l andaento spaziale e teporale della corrente nel circuito generatore e, analogaente, sia V (z,t) la funzione che descrive l andaento spaziale e teporale della tensione tra il conduttore di andata e quello di ritorno del circuito generatore 3 : I (z,t) - V (z,t) - I (z,t) generica sezione z z Facciao notare che stiao usando solo carichi resistivi lineari, a tutti i risultati che otterreo saranno validi per carichi generici, coprendenti quindi anche condensatori e/o induttori. Inoltre, l ipotesi di ritenere che il circuito ricevitore sia costituito solo da carichi e non possieda generatori è solo una seplificazione, in quanto a noi interessa solo evidenziare l azione (indesiderata) su tale circuito dei segnali presenti sul circuito generatore e, a tal fine, non serve considerare generatori nel circuito vittia. 3 Ci riferiao, evidenteente, a funzioni definite nel doinio del tepo 3 Autore: andro Petrizzelli

4 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 In condizioni ideali di funzionaento, questa corrente e questa tensione non dovrebbero sortire alcun effetto sul circuito ricevitore: i conduttori di tale circuito, in cui anca ogni sorgente di segnale, non dovrebbero presentare alcuna differenza di potenziale e non dovrebbero essere attraversati da alcuna corrente. Al contrario, la corrente e la tensione del circuito generatore producono un capo elettroagnetico, che necessariaente interagisce con il circuito ricevitore (accoppiaento non voluto): questa interazione induce una corrente I (z,t) ed una tensione V (z,t) lungo il circuito ricevitore: I (z,t) V (z,t) I (z,t) - - V (z,t) - I (z,t)i (z,t) Ovviaente, la presenza di una corrente e di una tensione nel circuito ricevitore produce una tensione ai capi delle resistenze terinali ed, tensione che altrienti (cioè in condizioni ideali di funzionaento) sarebbe assente. Indicando perciò rispettivaente con V (t) e V (t) tali tensioni, le chiaiao tensioni di diafonia (o, più genericaente, tensioni di disturbo). effetto della diafonia è dunque appunto nel anifestarsi di queste tensioni. obbiettivo del nostro studio è quello di deterinare le tensioni di diafonia, supponendo noti i valori dei vari eleenti circuitali (generatore e carichi) e le diensioni trasversali della struttura. Così coe accade per lo studio classico delle linee di trasissione, ci sono due tipi di analisi che possono interessare: l analisi nel doinio del tepo consiste nel deterinare la fora d onda delle tensioni di diafonia in presenza di una fora d onda generica V (t) applicata dal generatore; l analisi nel doinio della frequenza consiste sepre nel deterinare la fora d onda delle tensioni di diafonia, a questa volta in presenza di una fora d onda sinusoidale V (t)cos(ωtϕ) applicata dal generatore e nell ipotesi che nella struttura si sia instaurato un regie sinusoidale peranente 4 : si tratta quindi sostanzialente di andare a calcolare i fasori V (jω) e V (jω) delle tensioni di diafonia. 4 itenere che, nella struttura, si sia instaurato un ben preciso regie (quale che esso sia) di correnti e di tensioni significa presupporre che sia trascorso un tepo sufficienteente lungo dall inizio del funzionaento del generatore, in odo che ogni eventuale fenoeno transitorio possa ritenersi esaurito. Autore: andro Petrizzelli 4

5 a diafonia (parte I) TIPICHE CONFIUAZIONI DI IE A TE CONDUTTOI Pria di scendere nei dettagli dello studio della diafonia, diao dei cenni ad alcune strutture fisiche nei quali il fenoeno della diafonia tipicaente si anifesta. Consideriao in particolare linee di trasissione a 3 conduttori, del tipo scheatizzato pria. Il caso più seplice da iaginare è quello di una linea a 3 conduttori forata banalente da 3 fili cilindrici paralleli, di cui la figura seguente propone una sezione trasversale: Così coe detto pria, abbiao i due conduttori del circuito sorgente e del circuito ricevitore e poi il conduttore di riferiento, coune ai due circuiti. In alternativa, è possibile pensare a soli conduttori (entrabi di andata) e ad un piano di assa (infinitaente esteso) che funga da conduttore di ritorno: Una configurazione leggerente più coplessa è quella di due fili posti all interno di uno schero etallico che li avvolge copletaente e funge da conduttore di ritorno: 5 Autore: andro Petrizzelli

6 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 In tutti e 3 i casi appena riportati, si suppone che il ezzo che circonda i conduttori sia oogeneo, il che significa sostanzialente ignorare l eventuale isolante che ricopre i fili. Al contrario, la presenza di questo isolante è generalente inevitabile e contribuisce non poco all andaento dei capi elettroagnetici, ossia alla coplicazione ateatica dell analisi della struttura. Allora, volendo trascurare la presenza dell isolante (al fine di seplificare l analisi ateatica) e, allo stesso tepo, volendo pervenire a risultati in buon accordo con la realtà, è necessario supporre che i fili siano sufficienteente distanti tra loro, nel qual caso i risultati teorici e quelli sperientali risultano abbastanza congruenti. analisi delle tre strutture appena proposte è assolutaente identica; ciò che cabia, di volta in volta, sono i paraetri per unità di lunghezza, così coe accade nello studio delle linee di trasissione a due conduttori. Passando nell abito dei circuiti stapati, si possono incontrare altri tipi di linee di trasissioni a 3 conduttori, soggette perciò alla diafonia. Una possibilità è quella della figura seguente, dove sono raffigurate due piste parallele (costituenti i due conduttori di andata) poste sulla superficie superiore di una piastra dielettrica, con il piano di assa (che funge da conduttore di ritorno) sulla superficie opposta: Questa configurazione è spesso indicata coe quella della icrostrisce accoppiate. Un altra possibilità consiste invece di 3 piste parallele poste su un substrato coune: Autore: andro Petrizzelli 6

7 a diafonia (parte I) i parla in questo caso di configurazione a strisce co-planari accoppiate. In entrabi i casi appena illustrati, il ezzo circostante è tutt altro che oogeneo, dato che i capi attraversano in parte il substrato elettrico ed in parte l aria circostante. iao dunque in una situazione diversa da quella delle tre configurazioni illustrate pria e soprattutto più coplicata. Quindi, entre l analisi delle varie strutture è assolutaente la stessa, ciò che cabia profondaente è la deterinazione dei paraetri per unità di lunghezza: nel caso di un ezzo oogeneo o approssiativaente tale (prie tre configurazioni), si riescono ad ottenere espressioni anche seplici, se pur approssiate, entre invece, nel caso di un ezzo non oogeneo (ultie due configurazioni), la cosa risulta decisaente più coplicata ed è infatti questo l aspetto cruciale dello studio di questo tipo di strutture. EQUAZIONI DEE IE DI TAMIIO A TE CONDUTTOI Così coe si fa per lo studio delle linee di trasissione a due conduttori, anche per le linee ulticonduttore è possibile realizzare il circuito equivalente per unità di lunghezza, ossia il circuito elettrico che odella un tratto infinitesio z della linea. Questo circuito è caratterizzato da una serie di paraetri per unità di lunghezza (resistenze, induttanze e capacità), che odellano i fenoeni fisici che si verificano sulla linea. Nel caso di una linea a tre conduttori con perdite, soggetta al fenoeno della diafonia in base alle considerazioni dei paragrafi precedenti, i fenoeni di cui tenere conto sono i seguenti: in prio luogo, ciascun conduttore della linea è caratterizzano da perdite e quindi da una resistenza di conduzione per unità di lunghezza: indichiao tali resistenze con r, r ed r rispettivaente per il conduttore di andata del circuito generatore, per il conduttore di andata del circuito ricevitore e per il conduttore di riferiento; in secondo luogo, le correnti che fluiscono nei conduttori creano un flusso agnetico e quindi dei fenoeni induttivi: tali fenoeni saranno perciò caratterizzati da due induttanze per unità di lunghezza (l per il conduttore di andata del circuito generatore e l per il conduttore di andata del circuito generatore) più una terza induttanza (l ) che tiene conto dell accoppiaento dei due circuiti; 7 Autore: andro Petrizzelli

8 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 ancora, il capo elettrico prodotto dalle tensioni di linea genera delle correnti tra i due conduttori; si tratta di correnti (attraverso il dielettrico) sia di conduzione sia di spostaento: allora, le correnti di conduzione saranno odellate da conduttanze per unità di lunghezza (g e g, rispettivaente per il circuito generatore e per il circuito ricevitore, e poi g tra i due circuiti, cioè tra i due conduttori di andata), entre le correnti di spostaento saranno odellate da capacità per unità di lunghezza (c e c, rispettivaente per il circuito generatore e per il circuito ricevitore, e poi c tra i due conduttori di andata). Abbiao dunque un totale di paraetri per unità di lunghezza, che danno origine al seguente circuito equivalente per unità di lunghezza: A questo punto, dobbiao sepliceente applicare le leggi di Kirchoff delle tensioni e delle correnti al fine di trovare le equazioni (differenziali) che regolano l andaento teporale e spaziale delle tensioni e delle correnti in questo circuito (ossia nel generico tratto z della linea). Applichiao per pria cosa la KT al fine di calcolare la tensione V (z,t) tra il conduttore di andata del circuito generatore ed il conduttore di riferiento e, analogaente, la tensione V (z,t) tra il conduttore di andata del circuito ricevitore ed il conduttore di riferiento: abbiao che V r z I V r z I Autore: andro Petrizzelli l l I z l I z l I z V (z z, t) r z I z V (z z, t) r z 8 ( I I ) ( I I ) Portando tutte le tensioni ai prii ebri e ettendo insiee i terini che dipendono dalle stesse correnti, possiao riscrivere queste equazioni (che appaiono evidenteente foralente identiche) nel odo seguente: V V (z z, t) V V (z z, t) ( r r ) z I l I z l I I z r z I I ( r r ) z I l z l z r z I

9 a diafonia (parte I) e adesso portiao anche il terine z a prio ebro, otteniao V (z,t) V (z z,t) z V V (z z, t) z ( r r ) I l I l I (z,t) I (z,t) ri I ( r r ) I (z,t) l l r I A questo punto, i prii ebri di questa equazione, se li cabiao di segno e li calcoliao per z, coincidono con le derivate spaziali (rispetto a z) delle tensioni V e V, per cui concludiao che V (z,t) I (z,t) I (z,t) ( r r ) I l l ri V I (z,t) I (z,t) ( r r ) I (z,t) l l ri Adesso dobbiao seguire un discorso del tutto analogo per le correnti I ed I. enza scendere nei dettagli, riportiao direttaente le due equazioni, che scoprireo essere analoghe alle precedenti: I (z,t) I g ( g g ) V (z,t) g V ( c c ) V (z,t) ( g g ) V (z,t) c ( c c ) V (z,t) V c V (z,t) V In definitiva, abbiao ottenuto un sistea di 4 equazioni differenziali (alle derivate parziali) nelle 4 incognite rappresentative dell andaento spaziale e teporale delle tensioni e delle correnti lungo la linea. Conviene scrivere le due coppie di equazioni in fora atriciale: a tal fine, se poniao V V [ V(z,t) ] [ I ] la coppia di equazioni sulle tensioni assue l espressione I I [ V ] [ ] [ I ] [ ] [ I ] entre la coppia di equazioni sulle correnti assue l espressione [ I ] [ ] [ V ] [ C] [ V ] Ovviaente, abbiao qui riportato le cosiddette atrici per unità di lunghezza, che sono così definite: (z,t) 9 Autore: andro Petrizzelli

10 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 [ ] [ ] [ ] r r r r r r l l l l g g g g g g c c c c c c (in Ω/) (in (in H/) /) [ C] (in F/) o scopo della notazione atriciale, oltre quello di una più cooda rappresentazione forale, è quello di ottenere equazioni (sia pure atriciali) assolutaente analoghe a quelle (scalari) delle linee di trasissione a due conduttori. Quindi, questa osservazione ostra che la fora delle equazioni delle linee di trasissione ulticonduttore è sepre la stessa. Per risolvere il nostro sistea di equazioni in odo univoco, pria ancora di pensare a coe trovare praticaente le soluzioni dobbiao individuare le condizioni al contorno, che garantiscono l univocità della soluzione. Queste condizioni al contorno possono essere rappresentate dai valori di tensione e corrente in una qualsiasi sezione della linea, a è ovvio che conviene scegliere le due sezioni terinali (sorgente e carico). In corrispondenza del carico (quindi z), dove le resistenze sono per il circuito generatore ed per il circuito ricevitore, la legge di Oh ci dice che deve risultare V () I () V () I () Analogaente, in corrispondenza della sorgente (quindi z), dove le resistenze sono per il circuito generatore ed per il circuito ricevitore e dove è presente, nel circuito generatore, la fora d onda V, la legge di Oh ci dice che deve risultare V V () V () (dove si è tenuto conto che la corrente I () è uscente, da cui il segno negativo per il terine di tensione legato ad ). Adesso siao veraente in grado di risolvere il sistea. Coe già detto in precedenza, possiao interessarci sia ad una soluzione nel doinio del tepo, per V generica, sia ad una soluzione nel doinio della frequenza, quindi per una V sinusoidale ed in condizioni di regie peranente. Non ci interessa la soluzione nel doinio del tepo, per cui passiao direttaente a quella nel doinio della frequenza, di cui ci occupiao nel prossio paragrafo. I I () () Autore: andro Petrizzelli

11 a diafonia (parte I) oluzione nel doinio della frequenza OUZIO EAE Vogliao dunque analizzare la soluzione delle equazioni delle linee di trasissione a 3 conduttori nel caso di eccitazione della linea in regie sinusoidale. Questa perette di deterinare la diafonia nel doinio della frequenza. Nel paragrafo precedente abbiao trovato che il sistea delle equazioni da risolvere è il seguente: V V (z,t) I I (z,t) g V ( r r ) I ( r r ) I ( g g ) V (z,t) g V ( c c ) (z,t) l l I I l l I (z,t) ri I (z,t) ri (z,t) V V (z,t) c V V ( g g ) V (z,t) c ( c c ) Passando in regie sinusoidale e quindi nel doinio della frequenza, dobbiao sostanzialente copiere due passaggi: sostituire l operazione di derivata teporale con l operatore jω e sostituire i fasori (contrassegnati da un apice ^ al di sopra delle rispettive lettere) alle corrispondenti funzioni spazio-teporali: (z) (z) (z) (z) g ( r r ) ( r r ) ( g g ) (z) g (z) jω( c c ) (z) (z) jωl (z) jωl (z) jωl (z) jωl (z), r (z) r (z) jωc ( g g ) (z) jωc (z) jω( c c ) Questo sistea coprende evidenteente equazioni differenziali accoppiate del prio ordine, a è counque possibile ottenere equazioni disaccoppiate del secondo ordine. In particolare, dobbiao per pria cosa raggruppare le prie due equazioni e le seconde due in fora atriciale, così coe abbiao fatto nel paragrafo precedente nel doinio dei tepi: [ (z)] [ Ẑ] [ (z) ] [ (z) ] [ Ŷ] [ (z)] (z) (z) (z) (z) Autore: andro Petrizzelli

12 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 dove abbiao posto r r r g g g r r g atrice delle ipedenze: [ Ẑ] [ ] jω[ ] jω atrice delle aettenze: [ Ŷ] [ ] jω[ C] jω Differenziando adesso ciascuna equazione rispetto a z, otteniao r g g l l l l c c c c c c [ (z)] [ Ẑ] [ (z) ] [ (z) ] [ Ŷ] [ (z)] Possiao adesso sostituire l espressione [ (z)] [ Ẑ] [ (z) ] l espressione [ (z) ] [ Ŷ] [ (z)] nella pria equazione: otteniao nella seconda equazione e [ (z)] [ Ẑ] [ Ŷ] [ (z)] [ (z) ] [ Ŷ] [ Ẑ] [ (z) ] Coe anticipato pria, abbiao ottenuto di disaccoppiare le due equazioni (entrabe di secondo grado), che quindi possono adesso essere risolte. isolviao ad esepio l equazione delle correnti. Per farlo, dobbiao necessariaente definire una trasforazione per passare alle cosiddette correnti odali: dobbiao cioè definire una atrice [ Tˆ ] tale che risulti soddisfatta la condizione dove il vettore delle correnti odali è appunto [ (z) ] [ Tˆ ] [ (z)] [ (z)] Dato che [ (z)] è un vettore a due eleenti e vogliao che lo sia anche [ (z)] atrice di trasforazione [ Tˆ ] deve essere una atrice *. ostituendo l espressione appena riportata nell equazione differenziale delle correnti, otteniao (z) (z) [ Tˆ ] [ (z)] [ Ŷ] [ Ẑ] [ Tˆ ] [ (z)], deduciao che la Autore: andro Petrizzelli

13 a diafonia (parte I) Portando la atrice [ Tˆ ] dal prio al secondo ebro, otteniao [ (z)] [ Tˆ ] [ Ŷ] [ Ẑ] [ Tˆ ] [ (z)] dove abbiao iplicitaente ritenuto che la atrice [ Tˆ ] sia invertibile in quanto si tratta di una atrice di trasforazione e, coe tale, aette deterinante diverso da zero. Adesso, il nostro obbiettivo è quello di definire quella particolare atrice di trasforazione [ Tˆ ] che rende il prodotto [ Ŷ] [ Ẑ] una atrice diagonalizzabile: ciò significa che deve risultare verificata una relazione del tipo γˆ [ Tˆ ] [ Ŷ] [ Ẑ] [ Tˆ ] [ γˆ ] e così fosse, infatti, l equazione differenziale da risolvere si potrebbe ulteriorente disaccoppiare nelle seguenti due equazioni odali: (z) γˆ (z) γˆ e costanti ˆγ e ˆγ, che copaiono nelle ultie equazioni, sono evidenteente gli autovalori. e calcoliao le rispettive radici quadrate, otteniao le costanti ˆγ e ˆγ che prendono il noe di costanti di propagazione nei due circuiti (generatore e ricevitore). Possiao dunque risolvere le due equazioni differenziali scalari cui siao pervenuti e, tra l altro, notiao che ciascuna di esse è nella fora classica valida per le linee di trasissione a due conduttori: deduciao che la fora delle loro soluzioni è la stessa delle linee a due conduttori, ossia che ciascuna corrente odale è la soa di un onda progressiva e di un onda regressiva, secondo le espressioni della atrice [ Ŷ] [ Ẑ] (z) e (z) e γˆ γˆ z z e e (z) (z) γˆ γˆ γˆ z z dove sappiao che le costanti riangono indeterinate fin quando non applichiao le condizioni al contorno del problea. Possiao anche scrivere le due soluzioni appena trovate in fora più copatta, con la solita rappresentazione atriciale: ponendo scriviao le due soluzioni nella fora ±γˆ z ±γ ˆz e ± [ e ] [ ] ± γˆ z e γˆz γˆz [ (z)] [ e ] [ ] [ e ] [ ] ± ± 3 Autore: andro Petrizzelli

14 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 D altra parte, le correnti odali che copaiono in questa relazione non sono le correnti effettive che scorrono nei conduttori. Queste correnti si ricavano invece applicando la atrice di trasforazione precedenteente introdotta, per cui scriviao che γˆz γˆz [ (z) ] [ Tˆ ] [ e ] [ ] [ Tˆ ] [ e ] [ ] A questo punto, per ricavare l espressione delle tensioni lungo i conduttori, basta ricordare che una delle due equazioni differenziali del ordine da cui eravao partiti era [ (z) ] [ Ŷ] [ (z)] Invertendo la atrice [ Ŷ ], possiao perciò scrivere che [ (z)] [ Ŷ] [ (z) ] Dobbiao adesso sostituire il vettore delle correnti e effettuare la derivazione rispetto a z; osservando che, nell espressione di [ (z)], gli unici terini dipendenti da z sono le atrici * contenenti i terini esponenziali, concludiao facilente che il vettore delle tensioni lungo i conduttori è γˆz γˆz (z) Ŷ Tˆ γˆ e Ŷ Tˆ γˆ e [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] In conclusione, riscrivendo in fora copatta le soluzioni (atriciali) trovate, scriviao quanto segue: γˆz γˆz (z) Tˆ e e [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ]) γˆz γˆz [ (z)] [ Ŷ] [ Tˆ ] [ γˆ ] ([ e ] [ ] [ e ] [ ]) Possiao adesso fare qualche seplice passaggio algebrico per giungere al concetto di atrice di ipedenza caratteristica, assolutaente analogo al concetto di ipedenza caratteristica che siao abituati ad usare con le linee a due conduttori. In prio luogo, ricordiao che la atrice di trasforazione [ Tˆ ] è stata definita in odo che risultasse verificata la condizione [ Tˆ ] [ Ŷ] [ Ẑ] [ Tˆ ] [ γˆ ] Eseguendo le opportune oltiplicazioni ed inversioni di atrici, questa relazione equivale anche a [ Ẑ] [ Tˆ ] [ γˆ ] [ Ŷ] [ Tˆ ] [ γˆ ] Il terine che qui copare a secondo ebro è esattaente lo stesso che copare nell espressione del vettore delle tensioni trovato pria. Mettendo allora insiee le due relazioni, otteniao che γˆz γˆz (z) Ẑ Tˆ γˆ e e [ ] [ ] [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ]) Autore: andro Petrizzelli 4

15 a diafonia (parte I) e adesso oltiplichiao e dividiao per [ Tˆ ], otteniao γˆz γˆz ( ) [ Tˆ ] [ e ] [ ] [ e ] [ ] [ (z)] [ Ẑ] [ Tˆ ] [ γˆ ] [ Tˆ ] ( ) e adesso confrontiao questa espressione con quella del vettore delle correnti, notiao evidenteente che risulta (z) Ẑ Tˆ γˆ Tˆ (z) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] fruttando allora l analogia con quanto si fa per le linee di trasissione a due soli conduttori, quest ultia relazione suggerisce di definire la atrice di ipedenza caratteristica nel odo seguente: Ẑ Ẑ Tˆ γˆ Tˆ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] C E anche possibile trovare una espressione di questa atrice che ci sia più failiare: infatti, Tˆ Ŷ Ẑ Tˆ γˆ usata per definire la atrice di trasforazione sfruttando ancora la relazione [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Tˆ ], si vede facilente che [ Ẑ ] [ ] [ ] [ ˆ C Ẑ Tˆ ] [ Tˆ ] [ Ẑ] γ [ Ŷ] [ Ẑ] [ Ŷ] [ Ŷ] [ Ẑ] e allora ci ricordiao che, nel caso delle linee di trasissione a due conduttori, l ipedenza z caratteristica viene definita traite la relazione z C, deduciao l analogia con quanto trovato y adesso per le linee a tre conduttori. A questo punto, l ultia cosa che ci resta da fare è trovare i valori delle costanti indeterinate che copaiono nelle espressioni delle tensioni e delle correnti. Avendo a che fare con 4 costanti, dovreo trovare due ulteriori equazioni vettoriali a due coponenti ciascuna. Coe già detto in precedenza, queste equazioni sono fornite dalle condizioni sui carichi terinali (z e z). E conveniente, per visualizzare il problea, considerare la linea di trasissione a tre fili coe una rete a quattro porte, coe illustrato nella figura seguente: 5 Autore: andro Petrizzelli

16 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 In corrispondenza del carico (z), dove le resistenze sono per il circuito generatore ed per il circuito ricevitore, la legge di Oh ci dice che deve risultare V V () () Considerando che siao in regie sinusoidale peranente, possiao dunque scrivere queste due condizioni al contorno nella fora atriciale I I () () [ ()] [ Ẑ ] [ () ] dove [ ] Ẑ Analogaente, in corrispondenza della sorgente (z), dove le resistenze sono per il circuito generatore ed per il circuito ricevitore e dove è presente, nel circuito generatore, la fora d onda V, la legge di Oh ci dice che deve risultare V V () V () (dove si è tenuto conto che la corrente I () è uscente, da cui il segno negativo per il terine di tensione legato ad ). In regie sinusoidale peranente, scriviao queste due equazioni nella fora copatta I I () () [ ()] [ ] [ Ẑ ] [ () ] dove [ Ẑ ] e [ ] Quindi, le condizioni al contorno sono [ ()] [ Ẑ ] [ () ] [ ()] [ ] [ Ẑ ] [ () ] Dobbiao adesso applicare tali condizioni al fine di deterinare le costanti ancora incognite. Considerando allora i vettori della correnti e delle tensioni, coinciao a calcolarli in corrispondenza della sorgente, ossia per z: otteniao [ () ] [ Tˆ ] ([ ] [ ]) [ ()] [ ẐC ] [ Tˆ ] ([ ] [ ]) ostituendo queste due espressioni nella condizione al contorno relativa alla sorgente, otteniao [ Ẑ ] [ Tˆ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ Ẑ ] [ Tˆ ] ( [ ] [ ]) C Autore: andro Petrizzelli 6

17 a diafonia (parte I) Questa è la pria equazione vettoriale che ci interessava. Con procediento assolutaente analogo, calcoliao i vettori delle correnti e delle tensioni in corrispondenza del carico, ossia per z: γˆ γˆ () Tˆ e e [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ]) γˆ γˆ [ ()] [ ẐC ] [ Tˆ ] ([ e ] [ ] [ e ] [ ]) ostituendo nell espressione della condizione al contorno relativa al carico, otteniao la seconda equazione atriciale di nostro interesse: γˆ γˆ γˆ γˆ [ Ẑ ] [ Tˆ ] ([ e ] [ ] [ e ] [ ]) [ Ẑ ] [ Tˆ ] ([ e ] [ ] [ e ] [ ]) C Dovreo adesso cobinare insiee questa e la precedente equazione per ottenere l insiee delle equazioni siultanee da risolvere per ottenere le coponenti dei vettori [ ] e [ ]. Evitiao counque i dettagli analitici, in quanto ci interessava essenzialente evidenziare il concetto: il sistea ottenuto, coposto da 4 equazioni scalari del prio ordine in altrettante incognite, si può risolvere con qualsiasi algorito nuerico di eliinazione di auss. Una volta note le costanti contenute nei vettori [ ] e [ ], siao in grado di calcolare i fasori delle tensioni e delle correnti in qualunque punto della linea, traite le equazioni γˆz γˆz [ (z) ] [ Tˆ ] ([ e ] [ ] [ e ] [ ]) γˆz γˆz [ (z)] [ Ẑ ] [ Tˆ ] ([ e ] [ ] [ e ] [ ]) C appresentazione della linea traite i paraetri alle porte Nel precedente paragrafo abbiao considerato la linea di trasissione a tre conduttori coe una rete a quattro porte, al fine di evidenziare i valori di tensione e corrente in corrispondenza delle sezioni terinali, di carico (z) e di sorgente (z). Questa rappresentazione suggerisce un altro odo di odellare la linea e cioè quello di usare i paraetri alle porte: si tratta cioè sostanzialente di espriere i fasori di tensione e di corrente ad una sezione terinale (per esepio quella di carico) in funzione dei fasori di tensione e di corrente all altra sezione terinale (per esepio quella di sorgente). E utile procedere in questo odo in quanto ci sono delle applicazioni, coe proprio la diafonia, nelle quali iportante conoscere le tensioni e le correnti non tanto lungo tutta linea, quanto alle estreità: nel caso particolare della diafonia, noi siao interessati, in particolare, alle tensioni di diafonia, ossia alle tensioni () e () sulle terinazioni del circuito ricevitore. Andiao allora a ricavare la suddetta rappresentazione della linea in funzione dei paraetri della linea. Per esepio, si definisce atrice dei paraetri catena della linea quella atrice [ ˆΦ() ] che consente di legare le tensioni e le correnti al carico a quelle alla sorgente: [ ()] [ () ] [ ] [ ] [ ] Φˆ () () () 7 Autore: andro Petrizzelli

18 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 dove evidenteente risulta [ ] [ Φˆ ] [ Φˆ ] [ ] [ ] Φˆ () Φˆ Φˆ Per non appesantire troppo le nostre notazioni, ci conviene scrivere le atrici * ed i vettori di ordine, coe quelli che copaiono in queste relazioni, senza le parentesi quadre deliitatrici: da questo punto in poi, poniao perciò [ (z)] (z) (z) [ (z) ] Φˆ Φˆ [ Φˆ ()] Φ ˆ Φˆ (z) (z) per cui la rappresentazione della linea traite i paraetri catena è () () Φˆ Φ ˆ Φˆ Φˆ () () Per trovare l espressione esplicita dei paraetri catena, basta scrivere le equazioni atriciali corrispondenti a quest ultia equazione (sepre atriciale), sostituire le espressioni delle condizioni al contorno precedenteente ottenute, esplicitare i paraetri catena e risolvere il sistea (di 4 equazioni in 4 incognite) che si è così ottenuto. enza scendere anche qui in eccessivi dettaglio, riportiao direttaente i legai tra le correnti e le tensioni terinali: dove ricordiao che rispettivaente con [ ] ( Φˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ΦẐ ẐΦ Ẑ ΦẐ () ẐΦ Φ) () Φ ˆ ( Φˆ Φˆ Ẑ ) (), Ẑ e, [ Ẑ ] e [ Ẑ ] Ẑ sono ciò che nei precedenti discorsi avevao indicato, vale dire Ẑ [ Ẑ ] Autore: andro Petrizzelli 8

19 a diafonia (parte I) OUZIO EATTA PE IE ENZA PEDITE IN MEZZI OMOEI analisi dei precedenti paragrafi ci ha portato alla soluzione esatta generale di quanto accade in una linea di trasissione a tre conduttori. Tuttavia, essa non consente una coprensione quanto eno intuitiva dei eccanisi della diafonia. Per riediare a questo, ci conviene allora condurre la nostra analisi in un caso abbastanza particolare: in prio luogo, consideriao privi di perdite sia i conduttori della linea (che quindi sono da ritenersi conduttori perfetti) sia i dielettrici interposti; in secondo luogo, supponiao che i conduttori siano iersi in ezzi oogenei. I risultati che otterreo da queste ipotesi, pur rappresentando solo una approssiazione delle situazioni reali, sono counque in buon accordo con la realtà, a soprattutto consentono di coprendere a pieno in cosa si traduca praticaente il fenoeno della diafonia. Coinciao col dire che il fatto di ritenere nulle le perdite iplica le seguenti condizioni: r r atrice delle resistenze: [ ] atrice delle ipedenze: [ Ẑ] [ ] jω[ ] jω[ ] jω atrice delle conduttanze: [ ] g r g g r r r g g g l l l l c c jω c atrice delle aettenze: [ Ŷ] [ ] jω[ C] jω[ C] ono dunque nulli tutti gli eleenti dissipativi (resistenze e conduttanze). In secondo luogo, il fatto di ritenere oogeneo il ezzo in cui è iersa la linea coporta che esista un preciso legate tra la atrice [] delle induttanze per unità di lunghezza e la atrice [C] delle capacità per unità di lunghezza: questa relazione è [ ] [ C] µε dove naturalente µ ed ε sono la pereabilità e la perettività del ezzo considerato. Questa relazione ha una conseguenza iediata: infatti, se calcoliao il prodotto tra la atrice delle aettenze e quella delle ipedenze, otteniao [ Ŷ] [ Ẑ] jω[c] jω]] ω µε β dove naturalente β ω µε è la costante di fase del ezzo in questione (funzione della pulsazione ω di lavoro), che si può anche scrivere propagazione dei segnali sulla linea. ω β se con v v µε c c c. indichiao la velocità di 9 Autore: andro Petrizzelli

20 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 Quindi, abbiao trovato che la atrice [ ] [ Ẑ] Ŷ è una atrice diagonale. Tornando allora ad esainare il ragionaento fatto in precedenza per risolvere le equazioni della linea a tre fili, è evidente che la atrice di trasforazione [ T ], che serviva appunto a diagonalizzare [ Ŷ] [ Ẑ], è sepliceente la atrice identità (in questo caso di ordine ): [ T] Non solo, a ricordandoci che la suddetta atrice di trasforazione era stata definita ediante la Tˆ Ŷ Ẑ Tˆ γˆ, è evidente che, sotto le ipotesi che stiao facendo, risulta relazione [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Ŷ] [ Ẑ] β [ γˆ ] Facendo la radice quadrata di abo i ebri, deduciao che [ γˆ ] jβ j ω In base a questi risultati, è facile andare a ricavare le espressioni dei 4 paraetri catena, che risultano essere le seguenti: v Φˆ Φˆ Φˆ Φˆ cos cos ( β) j v sin j v sin ( β) [ ] j v sin( β) ( β) [ C] j v sin( β) ( β) l l l l c c c c c c A questo punto, possiao andare a sostituire queste espressioni nelle relazioni generali, trovate nel paragrafo precedente, che legano le correnti e le tensioni alle sezioni terinali della linea, ossia le relazioni ( Φˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ΦẐ ẐΦ Ẑ ΦẐ () ẐΦ Φ ) () Φ ˆ Φˆ Φˆ Ẑ ( ( ) ) Per esepio, esplicitiao la pria relazione, che lega la corrente e la tensione nella sezione di sorgente: otteniao ( j v sin( β) [ ] ( Ẑ Ẑ ) cos( β) Ẑ j v sin( β) [ C] Ẑ ) () ( Ẑ j v sin( β) [ C] cos( β) [ I ]) Autore: andro Petrizzelli

21 a diafonia (parte I) dove abbiao indicato con [ I ] la atrice identità di ordine. Possiao anche fare qualche anipolazione algebrica in più, ettendo insiee i terini siili e ricordando inoltre che la velocità di propagazione sulla linea e la pulsazione di lavoro sono legate dalla relazione βω/v. Con tali passaggi, otteniao l espressione finale jω jω ( Ẑ Ẑ ) cos( β) sin( β) ( Ẑ [ C] Ẑ [ ] ) () Ẑ sin( β) [ C] cos( β) [ I ] β Con analogo procediento, possiao esplicitare la relazione che lega la corrente nella sezione di carico alla corrente nella sezione di generatore: () j v sin β ( Ẑ ) () ( β) [ C] cos( β) [ I ] j v sin( β) [ C] A questo punto, le due equazioni ricavate rappresentano un sistea di 4 equazioni scalari nelle incognite (), (), (), (). Possiao allora andare a risolvere il sistea (in fora letterale), in odo da ricavare l espressione delle correnti () e () che ci servono a deterinare le tensioni di diafonia, ossia () () () i diostra (a noi non lo facciao) che tali tensioni di diafonia hanno le seguenti espressioni: () Den Den jωl jωl jπ / λ C α k DC DC jωc DC jωc C jπ / λ k α DC Copaiono in questa espressione i seguenti paraetri (che non abbiao esplicitato al fine di rendere più leggibili le due espressioni): copare in prio luogo il denoinatore della atrice dei coefficienti del sistea appena risolto: la sua espressione esplicita è Den C ω τ τ k ( αα )( α α ) ( α α )( α α ) jωc ( τ τ ) copaiono poi i seguenti due terini, la cui presenza è tipica delle linee di trasissione del tipo da noi esainato: C cos β sin β ( ) ( β) Autore: andro Petrizzelli

22 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 copare inoltre il cosiddetto coefficiente di accoppiaento tra circuito generatore e circuito ricevitore (analogo al coefficiente di accoppiaento tra due induttori accoppiati): k l l l Questo coefficiente è sepre inore di ; in particolare, quando è olto inore di, si dice che i due circuiti sono debolente accoppiati; ancora, copaiono le cosiddette costanti di tepo, rispettivaente del circuito generatore e del circuito ricevitore: l τ ( c c ) τ l ( c c ) copaiono poi una tensione ed una corrente che rappresentano, rispettivaente, la tensione e la corrente sul circuito generatore nel caso di un segnale di eccitazione continuo (DC), ossia quando non vi è accoppiaento con il circuito ricevitore DC DC infine, copaiono dei terini rappresentativi del rapporto tra resistenze di terinazione dei due circuiti e le rispettive ipedenze caratteristiche: α α α α Ẑ Ẑ Ẑ Ẑ C C C C dove dove Ẑ Ẑ C C c c l c l c vl vl k k In particolare, Ẑ C è l ipedenza caratteristica del circuito generatore in presenza di quello ricevitore, entre invece Ẑ C è l ipedenza caratteristica del circuito ricevitore in presenza di quello generatore. Questi rapporti consentono di definire i cosiddetti carichi ad alta o bassa ipedenza: un carico generico è a bassa ipedenza (risp. alta ipedenza) se il suo valore è inore (risp. aggiore) dell ipedenza caratteristica della linea a cui è collegata, ossia se il suo corrispondente paraetro α è inore di (risp. aggiore di ). Di conseguenza, direo ad Autore: andro Petrizzelli

23 a diafonia (parte I) esepio che la terinazione è a bassa ipedenza se risulta α <, così coe direo che è ad alta ipedenza se risulta α > ( 5 ). Accoppiaento induttivo e capacitivo A questo punto, una volta trovata la soluzione del nostro problea, andiao a vedere cosa essa ci dice. iportiao dunque nuovaente le espressioni delle tensioni di diafonia ricavate nel paragrafo precedente (nell ipotesi che non ci siano perdite e che il dielettrico attorno ai conduttori sia oogeneo): Den Den jωl jωl jπ / λ C α k DC DC jωc DC jωc C jπ / λ k α DC i tratta di espressioni esatte (sepre però relativaente alle ipotesi di partenza che abbiao fatto), che possono tuttavia essere seplificate traite le seguenti ipotesi: in prio luogo, supponiao che la linea sia elettricaente corta alla frequenza di interesse, il che significa che la sua lunghezza fisica è olto inore della lunghezza d onda λ di lavoro: sotto questa ipotesi, considerando le espressioni dei paraetri C ed e ricordando che, per piccoli argoenti, il eno può essere approssiato con il suo argoento ed il Coseno con l unità, abbiao che C cos β sin β ( ) ( β) β β in secondo luogo, supponiao che il circuito generatore ed il circuito ricevitore siano debolente accoppiati: coe già detto in precedenza, questo equivale a supporre che risulti k<<. Questa ipotesi, unita a quella di linea elettricaente corta, consente di approssiare l espressione del paraetro Den nel odo seguente: Den ( jωτ )( jωτ ) e consente inoltre di ritenere che jπ / λ k otto queste condizioni, le espressioni esatte delle tensioni di diafonia diventano le seguenti: 5 Da notare che, nonostante noi abbiao usato solo carichi resistivi, la definizione appena fornita vale ugualente nel caso di carichi coplessi (purché ovviaente si sia in regie sinusoidale peranente). 3 Autore: andro Petrizzelli

24 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 Den Den jωl jωl DC DC Queste due espressioni chiariscono olto bene il concetto della diafonia: esse infatti dicono che, per linee elettricaente corte e debolente accoppiate, l accoppiaento (cioè appunto la diafonia) risulta essere una cobinazione lineare dei contributi dovuti alla utua induttanza l tra i due circuiti (accoppiaento induttivo) e dei contributi dovuti alla capacità utua c tra i due circuiti (accoppiaento capacitivo). e facciao ora l ulteriore ipotesi che la frequenza del segnale sia sufficienteente piccola da poter ritenere che Den jωτ jωτ allora il risultato si seplifica ulteriorente: ( )( ) jωc jωc DC DC jωl jωl DC DC jωc jωc DC DC Queste due relazioni, sulle quali basereo gran parte dei discorsi successivi, suggeriscono di odellare il fenoeno della diafonia traite un particolare circuito equivalente del circuito ricevitore, che cioè subisce la diafonia. Infatti, esse ostrano che le tensioni sui carichi e sono prodotti da un generatore di tensione e da un generatore di corrente così coe disposti e caratterizzati nella figura seguente: Applicando sepliceente le leggi di Kirchhoff, si trova che le tensioni ai capi dei due carichi hanno esattaente le espressioni da noi ricavate. Quindi, il circuito appena proposto rappresenta un seplice odello di accoppiaento induttivo-capacitivo del circuito ricevitore (in presenza di una eccitazione sinusoidale): il generatore indipendente di tensione jω l rappresenta la forza elettrootrice DC indotta (legge di Faraday) nel circuito ricevitore, dovuta al flusso agnetico che attraversa il circuito ricevitore ed è prodotto dalla corrente del circuito generatore. Detto in altre parole, la Autore: andro Petrizzelli 4

25 a diafonia (parte I) corrente nel circuito generatore produce un capo agnetico, cui corrisponde un flusso che, attraversano il circuito ricevitore, induce in esso (accoppiaento induttivo) la forza elettrootrice jω l ; l è la utua induttanza per unità di lunghezza tra il circuito DC generatore e quello ricevitore, entre invece l è la corrispondente utua induttanza totale; analogaente, il generatore indipendente di corrente jω c rappresenta la carica DC indotta sul circuito ricevitore, dovuta alla tensione sul circuito generatore (accoppiaento capacitivo). In questo caso, c è la capacità utua per unità di lunghezza tra i due circuiti, entre invece C c è la corrispondente capacità utua totale. Introducendo dunque la capacità e l induttanza totale, riscriviao le tensioni di diafonia nella fora seguente: jω jωc DC DC jω DC Una interessante osservazione è la seguente: si nota che i terini dovuti all accoppiaento capacitivo sulle due terinazioni sono uguali, entre quelli dovuti all accoppiaento induttivo sono diversi in odulo ed opposti in verso; questo suggerisce un odo pratico iediato per capire se ci sia un contributo prevalente oppure no: se infatti, isurando le tensioni di diafonia sulle due terinazioni del circuito ricevitore, dovessio riscontrare che sono praticaente uguali, potreo sicuraente dire che l accoppiaento capacitivo è prevalente. Ad ogni odo, vedreo più avanti un odo ancora più iediato per stabilire quale tipo di accoppiaento risulti prevalente. jωc DC Osservazione: uso di un odello a paraetri concentrati per una soluzione approssiata E iportante notare che i discorsi appena seguiti si potevano fare anche pria di analizzare in odo analitico e copleto la linea di trasissione a tre conduttori. In altre parole, data la linea in questione, era facile prevedere l esistenza sia dell accoppiaento induttivo sia dell accoppiaento capacitivo tra i due circuiti. Allora, prevedendo questo accoppiaento, potevao provare a condurre una analisi approssiata ipotizzando di poter usare odelli a paraetri concentrati. Vediao allora coe si può procedere con questa strada. Il prio passo è quello di pensare ad un circuito equivalente del circuito ricevitore, a paraetri concentrati, fatto nel odo seguente: V' - V - I' V - 5 Autore: andro Petrizzelli

26 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 In assenza della diafonia, il circuito ricevitore non possederebbe generatori. Al contrario, a causa della diafonia e cioè dell accoppiaento induttivo e di quello capacitivo con il circuito generatore, dobbiao includere, rispettivaente, un generatore indipendente di tensione V ed un generatore indipendente di corrente I. obbiettivo è allora quello di andare a calcolare V e I, in odo da pervenire all espressione delle tensioni di diafonia: l analisi del circuito, eseguita traite il principio di sovrapposizione degli effetti, porta infatti a dire che le tensioni di diafonia valgono V V V' V' I' I' Nell ipotesi di un regie sinusoidale peranente, le espressioni esatte dei paraetri V (accoppiaento induttivo) e I (accoppiaento capacitivo) sono quelle ricavate pria con l analisi a paraetri distribuiti. Possiao del resto provare a ricavare questi stessi paraetri in odo più approssiato, usando l ipotesi dei paraetri concentrati. Questo significa, sostanzialente, studiare il circuito coposto dai tre conduttori senza usare il odello delle linee di trasissione, a solo le leggi di Kirchoff. Il circuito in questione è ovviaente il seguente: V - Consideriao, ad esepio, l accoppiaento capacitivo e supponiao che esso sia l unico a anifestarsi (ossia ignoriao l accoppiaento induttivo). Possiao odellare tale accoppiaento sepliceente traite un condensatore, di capacità pari alla capacità utua totale C tra i due circuiti, che abbia l effetto di drenare nel circuito ricevitore parte della corrente I che scorre nel circuito generatore: I I' C V - Autore: andro Petrizzelli 6

27 a diafonia (parte I) a corrente I drenata dal condensatore corrisponde proprio al generatore equivalente di corrente considerato pria. Il suo calcolo è iediato: infatti, tenendo conto che l ipedenza incontrata da I è data evidenteente da Ẑ in ( // ) jωc deduciao che la corrente I vale Ẑ in e quindi che la tensione ai capi della serie tra C e // vale Ẑ in Ẑ in Ẑ in Ẑin ( // ) jωc Dividendo ora questa tensione per l ipedenza del rao con la serie tra C e //, otteniao finalente la corrente di nostro interesse: ' jωc jωc ( // ) ( // ) Adesso possiao fare un discorso siile per quantificare l accoppiaento induttivo, ossia sostanzialente per deterinare l espressione di V. In questo caso, il discorso è più seplice rispetto a pria: infatti, supponendo che non ci sia accoppiaento capacitivo, il circuito ricevitore e quello generatore sono fisicaente separati, nel senso che non ci sono partizioni di correnti e/o tensioni; di conseguenza, possiao facilente calcolare la corrente I nel circuito generatore: in regie sinusoidale peranente, risulta banalente Questa corrente deterina un flusso di capo agnetico che attraversa il circuito ricevitore e induce in esso una tensione ' : in generale, tale flusso concatenato vale notoriaente φ I e la sua derivata teporale corrisponde alla tensione indotta nel circuito ricevitore; in regie sinusoidale peranente, abbiao perciò che ' jω jω 7 Autore: andro Petrizzelli

28 Appunti di Copatibilità Elettroagnetica - Capitolo 8 Concludiao quindi che la corrente di disturbo (accoppiaento capacitivo) e la tensione di disturbo (accoppiaento induttivo) indotte nel circuito ricevitore dal circuito generatore sono le seguenti: ' ' jω ( // ) jωc Andando a sostituire nelle espressioni delle tensioni di diafonia ricavate sul odello a paraetri concentrati, otteniao una approssiazione counque abbastanza buona delle tensioni di diafonia 6. Prevalenza dell uno o dell altro accoppiaento Il concetto che è eerso nei precedenti paragrafi è dunque che la diafonia, intesa coe la presenza di tensioni indesiderate ai capi delle terinazioni e del circuito ricevitore, sia sostanzialente la sovrapposizione di due contributi, uno dovuto alla utua induttanza tra i due circuiti (accoppiaento induttivo) e l altra dovuta alla utua capacità tra i due circuiti (accoppiaento capacitivo). Vogliao adesso vedere se ed in quali condizioni uno dei due accoppiaenti prevale sull altro. A livello intuitivo, possiao già aspettarci le seguenti conclusioni: l accoppiaento induttivo sarà doinante per carichi a bassa ipedenza (correnti elevate, tensioni basse); l accoppiaento capacitivo sarà invece doinante per carichi a alta ipedenza (correnti basse, tensioni elevate). Vediao allora qualche dettaglio. A tale scopo, riprendiao ancora una volta le espressioni esatte delle tensioni di diafonia, ricavate sotto le ipotesi seplificative dei precedenti paragrafi: jω jω DC DC jωc jωc DC DC Per copletezza, sostituiao le espressioni dei paraetri e DC DC : jω jω jωc jωc 6 Per rendersi conto di quanto l approssiazione sia buona, basta confrontare le espressione ricavate con il etodo appena esposto con quelle ricavate pria con il etodo esatto (sia pure nelle ipotesi di linea elettricaente corta, circuiti debolente accoppiati e frequenza di segnale bassa) e verificare la congruenza. Autore: andro Petrizzelli 8