Elettronica dello Stato Solido Lezione 9: Moto di un elettrone in un cristallo. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

Transcript

1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 9: Moto di un elettrone in un cristallo Daniele Ielini DEI Politecnico di Milano

2 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 Outline Modello di oto seiclassico Massa efficace Approssiazione parabolica Concetto di lacuna Tepo di rilassaento del oento Mobilità Conclusioni

3 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 3 Introduzione Il teorea di Bloch descrive gli stati dell elettrone, in terini di autofunzioni, energia e relazione di dispersione Disponibile una approssiazione parabolica della E () in base alla assa efficace * Riane da capire: Coe descrivere il oto degli elettroni Coe descrivere l occupazione degli stati nelle bande

4 Modello seiclassico Velocità della particella: velocità di gruppo: 1 de vg d de de F dx Fvg dt de d F de d F d dt d dt Effetto di una forza F: È l analogo della legge di Newton classica dp/dt = F, dove p (oento della particella) viene sostituito da ħ (oento del cristallo) D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 4

5 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 5 Descrizione del oto (F = cost) E F t 4b 0 -p/a v g 1 de d +p/a

6 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 6 Massa efficace Posso espriere classicaente la variazione del oento cristallino d/dt in terini della velocità spaziale v g? dvg 1 d de 1 d E d 1 d E dt dt d d dt d F F * dv g * de E quindi: dt dove Siao autorizzati a trattare l elettrone coe una particella classica, dove tutta l interazione con il potenziale cristallino risiede nella assa efficace *= 0 1 d 1

7 Energia, velocità e assa efficace D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 7 E E 4b 4b v g 1 de d v g 1 de d de d de d

8 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 8 Massii e inii di energia E E 4b 4b v g 1 de d v g 1 de d de d de d

9 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 9 Approssiazione parabolica La assa efficace è in generale funzione dell energia Tuttavia, stando sufficienteente prossii al inio dell energia (dove gli elettroni noralente stanno), la banda si può ragionevolente approssiare ad una parabola assa efficace costante Analogaente, il assio dell energia (iportante per il oto di elettroni di valenza o lacune) può essere approssiato parabolicaente con assa efficace (negativa) costante

10 Popolaento delle bande (T = 0 K) n= E Banda di conduzione -p/a +p/a n=1 Banda di valenza N elettroni nella banda n=1, 0 elettroni nella banda n= tipico di seiconduttori D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 10

11 Calcolo della corrente: T = 0 K n= E I q vi 0 L i, pieni -p/a +p/a n=1 I q 1 vi 0 L i, pieni Banda piena: per ogni +v i, esiste una v i che ne copensa gli effetti sulla corrente D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 11

12 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 1 Corrente di banda piena Una banda copletaente piena non può condurre corrente elettrica: p / q a de q el i p / a i, tutti d p / a I q v d E p / a 0 E neppure terica (corrente di calore): p / a q1 de q1 p / a th i i / a i, tutti d p p / a I q E v E d E 0

13 Corrente a T > 0 K n= E I q L vi i, pieni -p/a +p/a n=1 I 1 q L vi i, pieni Eccitazione terica sposta elettroni da banda 1 a banda generazione terica D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 13

14 Effetto del capo elettrico n= E d dt F I q L vi i, pieni -p/a +p/a n=1 I 1 q L vi i, pieni A causa dello shift degli stati popolati, ci sono stati con v i non più copensate I 1, 0 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 14

15 Velocità coerenti n= E I q L vi i, pieni -p/a +p/a n=1 I 1 q L vi i, pieni Sebbene * 1 < 0, gli elettroni in banda 1 che contribuiscono alla corrente hanno velocità > 0 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 15

16 Quasi-particelle con carica positiva n= E I q L vi i, pieni -p/a +p/a n=1 q q q I1 v v v v L L L 0 i i i i i, pieni i, tutti i, pieni i, vuoti D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 16

17 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido Il concetto di lacuna Dovreo considerare una banda quasi piena di elettroni con Carica negativa Massa (efficace) negativa Invece consideriao una banda quasi vuota di particelle fittizie (lacune o buche) con: Carica positiva Massa (efficace) positiva Il oto collettivo degli elettroni di valenza si spiega agevolente introducendo questa particella fittizia, analogaente al oto di bolle in un liquido

18 Corrente in banda di conduzione D. Ielini Elettronica dello Stato Solido La densità di corrente è data da j=-qnv, con q = carica dell elettrone, n = densità di elettroni in banda di conduzione, v = velocità edia degli elettroni Approssiazione seiclassica: 0 la velocità avrebbe un andaento t oscillante. Ad esepio nella banda di tight binding: E( ) E b cosa 0 1 de ba ba ( ) sin sin F v a 0 t a d F

19 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido Oscillazioni di Bloch E -p/a +p/a Un pacchetto in una banda si uove di oto unifore nello spazio e di oto oscillatorio nello spazio reale oscillazioni di Bloch Il pacchetto è distrutto da dispersione e scattering non è osservabile per tepi lunghi

20 Tepo di rilassaento del oento D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 0 Le oscillazioni di Bloch non vengono noralente osservate in etalli/seiconduttori: perché? Il oto dell elettrone è disturbato da scattering, cioè urti con ipurezze (droganti, difetti di punto) e vibrazioni reticolari (fononi) Il odello noralente adottato è di un elettrone che azzera il suo oento ogni volta che incorre in una collisione introduciao il tepo di rilassaento del oento t s

21 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 1 Libero caino edio Libero caino edio (ean free path) l = vt Stia di l: velocità di agitazione terica degli elettroni v th : 1 * 3 3T 5 1 evth T vth 10 s * e Quindi l = v th t = 10 5 *10-14 = 1 n In generale l elettrone vola attraverso parecchi siti atoici pria di scatterare

22 Modello di Drude Lo scattering è trattato coe una resistenza al oto della particella, coe un proiettile in un fluido viscoso (e.g. acqua o aria). Il edio soddisfa: d qf dt t Con capo costante, dopo un prio transitorio che dura t s, raggiunge un valore asintotico dato da: qft qt ve F e e t D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 t

23 Mobilità di elettrone e di lacuna Si può ripetere il discorso per la lacuna, ottenendo una velocità: Definizione di obilità: Tipici valori nei seiconduttori n,p = c V -1 s -1 (dipende dal ateriale, drogaggio, teperatura) D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 3 h h h q v F t e n e h p h v q F v q F t t

24 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 4 Resistività r Definita coe r = F/j = (nq n ) -1 per conduzione da soli elettroni (e.g. etalli) Tipica resistività in etalli r = 10 Wc Infatti assuendo n = 3x10 1 c -3, q = 1.6 x C e n = qt /* e con t = s e * e = 0 = 9.1 x g si ottiene: h 7 10 W qnn q nt ( ) * 310 * 10

25 D. Ielini Elettronica dello Stato Solido 09 5 Conclusioni L effetto dell applicazione di una forza ad una particella nel reticolo si può descrivere coe uno spostaento nello spazio (approssiazione seiclassica) e una resistenza viscosa dovuta allo scattering e descritta da un tepo di rilassaento del oento t Bande copletaente piene/vuote non conducono Una banda quasi piena (e.g. valenza) può essere trattata coe banda quasi vuota di portatori di carica positiva (lacune) Introduzione di nuovi concetti: obilità, resistività