Elettronica dello Stato Solido Lezione 9: Moto di un elettrone in. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

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1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 9: Moto di un elettrone in un cristallo Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

2 Outline Modello di moto semiclassico Massa efficace Approssimazione parabolica Concetto di lacuna Tempo di rilassamento del momento Mobilità Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09

3 Introduzione Il teorema di Bloch descrive gli stati dell elettrone, in termini di autofunzioni, energia e relazione di dispersione Rimane da capire: Come descrivere il moto degli elettroni Come descrivere l occupazione degli stati nelle bande Riguardo al moto, abbiamo già notato nel caso dell elettrone libero che il giusto approccio per la descrizione di una particella sia non il singolo stato stazionario, ma il pacchetto d onda D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 3

4 Modello semiclassico Velocità del pacchetto/particella: velocità di gruppo: 1 de vg = ħ d de de = F dx = Fvg dt de d F de d = ħ = F d dt ħ d dt Effetto di una forza F: È l analogo della legge di Newton classica dp/dt = F, dove p (momento della particella) viene sostituito da ħ (momento del cristallo) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 4

5 Descrizione del moto (F = cost) E F t 0 4β = + ħ -π/a v g 1 = ħ de d +π/a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 5

6 Massa efficace Posso esprimere classicamente la variazione del momento cristallino d/dt in termini della velocità spaziale v g? dvg 1 d de 1 d E d 1 d E = = = dt ħ dt d ħ d dt ħ d F dv 1 g 1 d E F = m* m* = E quindi: dt dove ħ Siamo autorizzati a trattare l elettrone come una particella classica, dove tutta l interazione con il potenziale cristallino risiede nella massa efficace m*=m 0 d D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 6

7 Energia, velocità e massa efficace E 4β E 4β v g 1 = ħ de d v g 1 = ħ de d m = ħ d E d m = ħ d E d D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 7

8 Massimi e minimi di energia E 4β E 4β v g 1 = ħ de d v g 1 = ħ de d m = ħ d E d m = ħ d E d D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 8

9 Approssimazione parabolica La massa efficace è in generale funzione dell energia Tuttavia, stando sufficientemente prossimi al minimo dell energia (dove gli elettroni normalmente stanno), la banda si può ragionevolmente approssimare ad una parabola massa efficace costante Analogamente, il massimo dell energia (importante per il moto di elettroni di valenza o lacune) può essere approssimato parabolicamente con massa efficace costante D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 9

10 Popolamento delle bande (T = 0 K) n= E Banda di conduzione -π/a +π/a n=1 Banda di valenza N elettroni nella banda n=1, 0 elettroni nella banda n= tipico di semiconduttori D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 10

11 Calcolo della corrente: T = 0 K n= E I q = vi = 0 L i, pieni -π/a +π/a n=1 I q 1 = vi = 0 L i, pieni Banda piena: per ogni +v i, esiste una v i che ne compensa gli effetti sulla corrente D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 11

12 Corrente di banda piena Una banda completamente piena non può condurre corrente elettrica: + π / a q de q el i = = π / a i, tutti ħ d ħ π / a I q v d E + π / a [ ] 0 E neppure termica (corrente di calore): + π / a q de q + π / a I = th q Eivi E d = ħ ħ E d π / a i, tutti π / a 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 1

13 n= Corrente a T > 0 K E I q = vi L i, pieni -π/a +π/a n=1 I 1 q = vi L i, pieni Eccitazione termica sposta elettroni da banda 1 a banda generazione termica D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 13

14 n= Effetto del campo elettrico E d dt F = ħ I q = vi L i, pieni -π/a +π/a n=1 I 1 q = vi L i, pieni A causa dello shift degli stati popolati, ci sono stati con v i non più compensate I 1, 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 14

15 n= Velocità coerenti E I q = vi L i, pieni -π/a +π/a n=1 I 1 q = vi L i, pieni Sebbene m* 1 < 0, gli elettroni in banda 1 che contribuiscono alla corrente hanno velocità > 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 15

16 Quasi-particelle con carica positiva n= E I q = vi L i, pieni -π/a +π/a n=1 q q q I1 = v = + v v = + v L L L 0 i i i i i, pieni i, tutti i, pieni i, vuoti D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 16

17 Il concetto di lacuna Dovremmo considerare una banda quasi piena di elettroni con Carica negativa Massa (efficace) negativa Invece consideriamo una banda quasi vuota di particelle fittizie (lacune o buche) con: Carica positiva Massa (efficace) positiva Il moto collettivo degli elettroni di valenza si spiega agevolmente introducendo questa particella fittizia, analogamente al moto di bolle in un liquido D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 17

18 Corrente in banda di conduzione La densità di corrente è data da j=-qnv, con q = carica dell elettrone, n = densità di elettroni in banda di conduzione, v = velocità media degli elettroni F Approssimazione semiclassica: = 0 + t ħ la velocità avrebbe un andamento oscillante. Ad esempio nella banda di tight binding: β E( ) = E cos a 0 1 de βa βa ( ) = = sin = sin F v a 0 + t ħ ħ ħ a d ħ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 18

19 Oscillazioni di Bloch E -π/a +π/a Un pacchetto in una banda si muove di moto uniforme nello spazio e di moto oscillatorio nello spazio reale oscillazioni di Bloch Il pacchetto è distrutto da dispersione e scattering non è osservabile per tempi lunghi D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 19

20 Tempo di rilassamento del momento Le oscillazioni di Bloch non vengono normalmente osservate in metalli/semiconduttori: perché? Il moto dell elettrone è disturbato da scattering, cioè urti con impurezze (droganti, difetti di punto) e vibrazioni reticolari (fononi) Il modello normalmente adottato è di un elettrone che azzera il suo momento ogni volta che incorre in una collisione introduciamo il tempo di rilassamento del momento τ m s D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 0

21 Libero cammino medio Libero cammino medio (mean free path) λ = vτ m Stima di λ: velocità di agitazione termica degli elettroni v th : 1 * 3 3T 5 1 mev th = T vth = 10 ms * me Quindi λ = v th τ m = 10 5 *10-14 m = 1 nm In generale l elettrone vola attraverso parecchi siti atomici prima di scatterare D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 1

22 Modello di Drude Lo scattering è trattato come una resistenza al moto della particella, come un proiettile in un fluido viscoso (e.g. acqua o aria). Il medio soddisfa: d qf + = dt τ m ħ Con campo costante, dopo un primo transitorio che dura τ m s, raggiunge un valore asintotico dato da: qfτ m ħ qτ = ve = = F ħ m m e m e τ m D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 t

23 Mobilità di elettrone e di lacuna Si può ripetere il discorso per la lacuna, ottenendo una velocità: ħ qτ m vh = = F mh mh Definizione di mobilità: ve qτ m µ n = = F m vh qτ m µ p = = F mh Tipici valori nei semiconduttori µ n,p = cm V -1 s -1 (dipende dal materiale, drogaggio, temperatura) e D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 3

24 Resistività ρ Definita come ρ = F/j = (nqµ n ) -1 per conduzione da soli elettroni (e.g. metalli) Tipica resistività in metalli ρ = 10 µwcm Infatti assumendo n = 3x10 1 cm -3, q = 1.6 x C e µ n = qτ m /m* e con τ m = s e m* e = m 0 = 9.1 x g si ottiene: 1 m h 7 = = = 10 Ω qnµ n q nτ m ( ) * 3 10 * 10 m D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 4

25 Conclusioni L effetto dell applicazione di una forza ad una particella nel reticolo si può descrivere come uno spostamento nello spazio (approssimazione semiclassica) e una resistenza viscosa dovuta allo scattering e descritta da un tempo di rilassamento del momento τ m Bande completamente piene/vuote non conducono Una banda quasi piena (e.g. valenza) può essere trattata come banda quasi vuota di portatori di carica positiva (lacune) Introduzione di nuovi concetti: mobilità, resistività D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 09 5