Elettronica dello Stato Solido Esercitazione di Laboratorio 2: Stati non stazionari e teoria a

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Bernardo Graziano
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1 Elettronica dello Stato Solido Esercitazione di Laboratorio 2: Stati non stazionari e teoria a bande Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it

2 Outline Pacchetto d onde piane Matrice di trasferimento D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 2

3 Outline Pacchetto d onde piane Matrice di trasferimento D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 3

4 Esercizio 1 - Pacchetto d onde piane Utilizzando lo script free_packet_lab.m: a. Studiare la propagazione di tre componenti del pacchetto, confrontandola con quella del pacchetto d onde, per diverse relazioni di dispersione b. Verificare la legge v = dω dk c. Verificare la legge secondo cui la varianza del pacchetto aumenta come ove β = 1 d σ 2 ω 2 2 dk k g β t α = α + k 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 4

5 Risultati Relazione di dispersione elettrone libero Relazione di dispersione lineare Relazione di dispersione sub-lineare D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 5

6 Risultati t σ β t α = α + D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 6

7 Esercizio 2 Pacchetto vs. barriera Utilizzando lo script free_packet_barrier_lowe.m: a. Studiare la riflessione/trasmissione di pacchetto su una barriera di potenziale b. Valutare la dipendenza dall energia o dall altezza/spessore di barriera, confrontando il risultato con l approssimazione WKB D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 7

8 Risultati D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 8

9 Outline Pacchetto d onde piane Matrice di trasferimento D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 9

10 Matrice di trasferimento In alcuni casi il potenziale è costante a tratti e siamo esclusivamente interessati al coefficiente di trasmissione e ik x + Re ik x T e n ik x n 0 a 1 a 2 a 3 a n-2 a n-1 a n x D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 10

11 Esempio: tre intervalli ik1x ik1x ik2x 2 e + Re + 1 ik x ik3x T2e R2e T3e 0 a 1 a 2 a 3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 11

12 Condizione al contorno in a 1 ik1a 1 ik1a 1 ik2a1 ik2a1 e + Re 1 = T2e + R2e ik 1 e Re 1 ik2 T2e R2e ( ik ) ( ) 1a1 ik1a 1 ik2a1 ik2a1 = Oppure in forma matriciale: e ik a e ik a 1 e ik a e ik a T2 1 1 = k1e ik a k1e ik a R1 k ik a 2e k ik a 2e R2 Definendo: Otteniamo: M( k, a ) ikiaj ikiaj e e = i j i j i j ik a ik a kie kie 1 T2 M( k1, a1 ) = M( k2, a1 ) R1 R2 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 12

13 Matrice di trasferimento Analogamente al contorno a 2 (R 3 = 0): Esplicitando T 3 : T2 T3 M( k2, a2 ) = M( k3, a2 ) 2 0 R T T = ( 3, 2) ( 2, 2) = M k a M k a 0 R = M ( k3, a2) M( k2, a2 ) M ( k2, a1 ) M( k1, a1 ) R 1 T 1 3 T 3 = M11 + M12R 1 = 0 M R 1 0 = M21 + M22R1 M21 M21 det( M) R1 = T3 = M11 M12 = M M M D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 13

14 Esercizio 3 Doppia Barriera e Risonanza Utilizzando lo script tm.m ed in riferimento al profilo di potenziale riportato in figura: 1. Studiare il coefficiente di trasferimento attraverso una doppia barriera di potenziale, al variare dell energia. 2. Confrontare le risonanze con le posizioni degli autovalori usando la funzione per la risoluzione dell equzione di Schroedinger es.m (vd. Lab 01). V=0.705 ev 5nm 1nm 5nm 2nm 2nm D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 14

15 Risultati E2= ev E2 = ev E1 = ev E1 = ev D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 15

16 Esercizio 3 E=0.59 ev E=0.596 ev (risonanza) E=0.6 ev La risonanza non altera la probabilità di tunneling, ma solo la densità di probabilità nella buca D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 16

17 Esercizio 4 Pacchetto e Doppia barriera Con l ausilio dello script tm_packet.m: 1. Osservare e discutere il comportamento di un pacchetto d onde lanciato su una doppia barriera di potenziale (altezza di barriera di 80 mev ed energia del pacchetto incidente pari a 90 mev) per diverse σ. 100nm 100nm 100nm 5nm 5nm D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 17

18 Risultati V=80meV, E=90 mev, σ k =k 0 / 200 V=80meV, E=90 mev σ k =k 0 / 2000 V=80meV, E=90 mev σ k =k 0 / 20 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 18

19 Esercizio 5 Reticolo di sei buche Si consideri lo script tm_wb.m. 1. Studiare la trasmissione di un reticolo di 7 barriere e 6 buche periodiche 2. Confrontare le risonanze con la posizione degli autovalori di una singola buca con es.m 3. Discutere la posizione delle risonanze per E>V (altezza di barriera), ricollegando il risultato alla teoria del weak binding. D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 19

20 Risultati 0.1 ev 2nm 3nm 2nm 3nm 76.4 mev 20.7 mev D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 20

21 Risultati B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 T G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 E [ev] lambda n G1 0,037 6,38E-09 0, G2 0,1003 3,88E-09 1, G3 0,1773 2,92E-09 1, G4 0,2835 2,31E-09 2, G5 0,4159 1,90E-09 2, G6 0,5848 1,61E-09 3, G7 0,778 1,39E-09 3, G8 1,1 1,17E-09 4, Energy [ev] B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 R G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 Energy [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 21

22 Risultati Funzione d onda in B2 (E=0.077 ev) Funzione d onda in G4 (E= ev) Funzione d onda in B6 (E=0.5 ev) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L2 22

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