Elementi di fisica dello stato solido

Transcript

1 Elementi di fisica dello stato solido Perché alcuni materiali sono buoni conduttori di elettroni ed altri no? Quali sono i meccanismi con cui la corrente fluisce nei solidi? Perché nei semiconduttori la conduttività varia con la T, con la presenza di impurezze o con l esposizione alla luce? Modello a bande di energia

2 Concetti di meccanica quantistica Energia di un fotone è E=h con h costante di Planck E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 La massa di un fotone è nulla Il momento p relativo può essere scritto come: p=e/c = h /c = h/ (eq. De Broglie) questa vale anche per particelle (elettroni, protoni e neutroni). Ad ogni particella è associata una onda (dualismo onda particella) L ampiezza d onda è legata alla probabilità di trovare la particella in una certa regione di spazio.

3 è la funzione d onda che è definita in modo tale che la probabilità di trovare una particella in una regione tra x e x+dx, y e y+dy e z e z+dz è data da * dxdydz con * complessa coniugata. * dxdydz 1 Una particella reale localizzata in una certa regione di spazio non può essere descritta da una funzione d onda tipo E(x,t) = E 0 cos( t-kx+ ) che ha estensione infinita. Si usa invece il concetto di pacchetto d onda che è una somma di onde con ampiezze e frequenze diverse che interferiscono distruttivamente tranne che nella regione dove la particella è localizzata (probabilità di trovare la particella è alta) v = v g = k

4 Esiste una probabilità non nulla di trovare la particella ovunque nell intervallo x x p>ħ/2 Principio di indeterminazione di Heisenberg. Impossibile descrivere con assoluta certezza le proprietà di una particella Maggiore è la conoscenza della posizione minore è la conoscenza precisa della lunghezza d onda ( ) o del momento p della particella.

5 Il comportamento di una particella di massa m in un potenziale V(x,y,z) è governata dalla funzione complessa (x,y,z,t,) che soddisfa l equazione di Schroedinger Trovare soluzioni per potenziali reali è estremamente complesso tanto più quanto sono il numero di atomi e molecole come nei solidi e nei liquidi. Se siamo interessati ai livelli energetici consentiti senza considerare variazioni temporali (V non dipende da t) l equazione si semplifica (unidimensionale): Con (x) funzione d onda indipendente dal tempo ed E Energia totale della particella. Le soluzioni forniranno i livelli energetici consentiti del sistema. Atomi Particelle libere Solidi Livelli discreti Livelli continui Bande (livelli discreti fittissimi)

6 Buca di Potenziale V(x) = 0 per 0<x<L V(x) = per x<0 e x>l Dentro la buca si ha: Possibile soluzione equazione Schroedinger: (x) = A sin kx + B cos kx con A e B costanti e k 2 = 2mE/ħ 2 (parabola) Soluzioni: E n = n 2 h 2 /8mL 2 Energia è quantizzata e n numero quantico

7 Con le funzioni d onda normalizzate: n (x) = (2/L) 1/2 sin (n x/l) dette autofunzioni

8 Cosa succede se si uniscono più atomi isolati insieme? Principio di Pauli Funzioni d onda dei singoli atomi interagiscono e quindi si ha uno splitting dei livelli di energia discreti in nuovi livelli caratteristici dell insieme di atomi Nei solidi si ha la formazione di bande di energia costituite da livelli discreti vicinissimi alternati con zone proibite (gap) Elettroni in bande di energia non completamente occupate determinano le proprietà del solido. Si ha la formazione di bande di valenza e di conduzione separate da una zona di energia proibita (gap di energia)

9 In un cristallo il potenziale è di tipo periodico V(x) = V(x+a) = V(x+2a) =. con a periodicità del reticolo (passo reticolare). Singolo elettrone che si muove lungo una linea di atomi assimilabili ad una serie di buche di potenziale (modello Kronig-Penney). Discontinuità tra valori di energia consentiti e proibiti si hanno per valori di vettore d onda k = ±n /a con n intero. La zona - /a< k < /a si chiama prima zona di Brillouin

10 Si usa spesso la rappresentazion e ridotta in cui l andamento E-k è riportato alla sola prima zona di Brillouin

11 In un cristallo reale la relazione E-k è chiaramente più complicata: Forme delle bande dipendono dall orientazione del vettore d onda rispetto agli assi cristallografici Si può parlare di semiconduttori a gap diretta e indiretta se il massimo della banda di valenza e il minimo della banda di conduzione hanno lo stesso valore k

12 Conduttività elettrica nei solidi Conduttività elettrica nei solidi dipende da come i livelli energetici nelle bande di valenza e conduzione sono riempiti dagli elettroni. Gli elettroni riempiono gli stati disponibili da quelli a minore energia fino a quelli più alta energia. In presenza di un campo elettrico esterno gli elettroni acquisteranno energia e saranno promossi a livelli energetici più alti, se disponibili, dentro la stessa banda energetica o in quella immediatamente più alta in energia (se la gap proibita è piccola a sufficienza).

13 Conduttori: La banda energetica più alta è solo parzialmente riempita o c è una sovrapposizione tra bande Isolanti: La banda energetica più alta (banda valenza) è completamente occupata da elettroni gli stati disponibili più vicini (banda conduzione)sono Separati da una gap grande (alcuni ev) comparata con energia kt a RT (1/40 ev) Semiconduttori: La banda di valenza è piena e quella di conduzione è ad una gap di energia piccola (di circa 1 ev). Alcuni elettroni possono essere promossi per solo effetto termico.

14 Conduttività elettrica è dovuta ad elettroni in banda di conduzione o lacune in banda di valenza (come elettroni ma aventi carica positiva). A T>0 K si formeranno coppie elettrone-lacuna. Se si applica un campo elettrico elettroni e lacune andranno in direzioni opposte (velocità di deriva) ma entrambe le specie contribuiranno alla corrente nel solido.

15 Conduttività elettrica In assenza di campo elettrico moto random dei portatori Se si applica un campo elettrico (lungo x) elettroni subiranno forza ee x. In generale si avrà un movimento netto di elettroni -nee x =dp x /dt con p x momento totale del gruppo di elett. lungo la direzione x e n densità elettroni. A causa collisioni (impurezze, difetti, atomi reticoli) si giunge ad uno stato stazionario (bilanciamento accelerazione/decelerazione). Elettroni acquisteranno quindi una velocità di deriva (drift) v d. Collisioni sono random e quindi probabilità che un elettrone collida ad un certo istante è costante.

16 Se consideriamo un gruppo di n elettroni al tempo t=0 e ad un certo tempo t il numero di elettroni che non hanno subito collisioni è n(t) si può scrivere: Con costante di proporzionalità detta tempo di rilassamento o tempo libero medio che sta ad indicare il tempo medio tra collisioni. La soluzione è: n(t) =n 0 exp(-t/ ) dt/ indica la probabilità che un elettrone subisca una collisione nell intervallo dt. La variazione di momento (dovuta a collisioni) nello stesso tempo dt è dp x = -p x dt/. Possiamo allora scrivere il rate di perdita di momento a causa collisioni (forza di decelerazione) come dp x /dt= -p x /. Nello stato stazionario (acc + dec.) si ha: Il momento medio per elettrone p x /n sarà : Che indica che gli elettroni avranno una velocità netta di deriva data da: Con m e* massa efficace dell elettrone

17 Il movimento degli elettroni in un cristallo quando è applicato un campo elettrico è influenzato oltre che dal campo esterno anche dal campo interno dovuto agli altri elettroni e dal potenziale periodico del reticolo cristallino. Si può comunque usare la legge di Newton purchè si introduca il concetto di massa efficace m e * che è diversa dalla massa dell elettrone libero di muoversi nel vuoto. Il valore della massa efficace dipende dall energia dell elettrone all interno della banda di energia del cristallo e vale: La massa efficace può essere negativa (top banda di energia) e anisotropa (di solito si prende media e questa è isotropa)

18 La densità di corrente è J = -nev d con n concentrazione di elettroni, quindi possiamo scrivere: d o più in generale: Legge di Ohm generalizzata tv D i= q/ t q=nedv J=i/d con la conduttività elettrica data da: mobilità elettronica I due processi di scattering di base che influenzano la mobilità sono quello dovuto al reticolo (atomi non in posizione normale) e quello dovuto alle impurezze: - Scattering da reticolo aumenta con T - Scattering da impurezze e difetti è indipendente da T Per cui ad alta T domina lo scattering reticolare e a bassa T quello da Impurezze.

19 La densità di corrente può essere scritta usando la mobilità elettronica come: Più in generale la densità di corrente sarà dovuta sia agli elettroni che alle buche e quindi si ha: Con h mobilità delle lacune: e m h * massa efficace delle lacune.