Elettronica dello Stato Solido Esercitazione di Laboratorio 3: Teoria a bande e statistica di portatori

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1 Elettronica dello Stato Solido Esercitazione di Laboratorio 3: Teoria a bande e statistica di portatori Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it

2 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 2 Outline Modello di Kronig-Penney Struttura a bande: Si Ge GaAs Concentrazione di portatori all equilibrio

3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 3 Outline Modello di Kronig-Penney Struttura a bande: Si Ge GaAs Concentrazione di portatori all equilibrio

4 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 4 Modello di Kronig-Penney Obiettivo: risolvere l equazione di Schrödinger per un potenziale periodico cristallo monodimensionale E>V E<V

5 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 5 Autofunzioni ( x) A sin x B cos x w w w ( x) A sin x B cos x b b b Nota: quando = immaginario, le funzioni diventano iperboliche Condizioni al contorno: d b dx ( 0) ( 0) b 0 w d dx w 0 B b A b B w A w -b 0 w

6 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 6 Condizioni di periodicità Dal teorema di Bloch, imponiamo: d w dx ( w) ( b) e ik w b w w d b dx b b e ( ) ik( w b) -b 0 w a Definiamo a = w+b = passo reticolare A sin w B cos w A sin b B cos b e w w b b A cos w B sin w A cos b B sin b e w w b b ika ika

7 Sistema caratteristico CC CP B Sostituendo le condizioni al contorno alle condizioni di periodicità, si ottiene: ika ika A sin w e sin b B cos w e cos b w b A b B w A w A sin w B cos w A sin b B cos b e w w b b A cos w B sin w A cos b B sin b e w w b b w ika ika 0 ika ika A cos w e cos b B sin w e sin b w Si calcolano gli autovalori annullando il determinante, per ottenere: w 2 2 coska cos w cos b sin w sin b 2 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 7 0

8 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 8 Soluzione del sistema Definiamo ora: 0 2mV 0 E V 0 in modo da avere: E sostituendo si ha, ricordando cos(ix)=cosh(x) e sin(ix)=isinh(x): 0< <1 coska cos w cosh b > sin w sinh coska cos 0w cos 0b 1 sin 0 sin w b b 1 1

9 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 9 Soluzione grafica E=V cos(ka) - /a 0 + /a k

10 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 10 Esercizio 1 Studiare la struttura a bande per un reticolo periodico a = 1 Å, b = 4 Å Porre V = 0.1 ev (Nfin = 250, Nde = 10). Che relazione di dispersione ci aspettiamo? Che aspetto hanno le funzioni di Bloch u k (x) in prima banda? Che aspetto assume la funzione d onda? Discutere l andamento della funzione di Bloch in seconda banda, confrontandolo con la prima (ESS08, p. 21) Codice = kronig_penney.m

11 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 11 Esercizio 1 Banda 1 E V V real( ) real(u,env) imag( ) imag(u,env) u 2, env 2 k x x

12 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 12 Esercizio 1 Banda 2 E V V real( ) real(u,env) imag( ) imag(u,env) u 2, env 2 k x x

13 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 13 Esercizio 2 Porre un forte potenziale V = 5 ev (Nfin = 5, Nde = 1000) Confrontarlo con il caso di debole potenziale Studiare le autofunzioni, le funzioni di Bloch e di inviluppo per le prime due bande Osservare la forma delle autofunzioni in corrispondenza del bordo zona e discuterla in base alla teoria del weak binding Codice = kronig_penney.m

14 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 14 Esercizio 2 Banda 1 E V V real( ) real(u,env) imag( ) imag(u,env) u 2, env 2 k x x

15 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 15 Esercizio 2 Banda 2 E V V real( ) real(u,env) imag( ) imag(u,env) u 2, env 2 k x x

16 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 16 Outline Modello di Kronig-Penney Struttura a bande: Si Ge GaAs Concentrazione di portatori all equilibrio

17 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 17 Esercizio 3 Studiare le bande ed il relativo popolamento per: Si, Ge: spiegare la dipendenza dalla temperatura e dal livello di Fermi. Spiegare la diversa collocazione degli elettroni in Si e Ge (blu, azzurro). Spiegare la diversa collocazione di lacune pesanti (rosso) e leggere (rosa) nello spazio k per entrambi i materiali. GaAs: spiegare la distribuzione degli elettroni ad alta temperatura (qual è l origine degli elettroni in azzurro?).

18 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 18 Codici bs_si.m, bs_ge.m e bs_gaas.m raffigurano gli stati occupati nella prima ZB Approssimazioni: Bande paraboliche Maxwell-Boltzmann Si considerano solo gli stati in banda, non stati donori/accettori

19 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 19 Si estrinseco k z k z k y k x k y k x E F = E C -100meV E F = E V +100meV

20 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 20 Si intrinseco k z k z k y k x k y k x T=300K T=3000K

21 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 21 Ge - intrinseco k z k z k y k x k y k x T=300K T=600K

22 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 22 GaAs k z k z k y k x k y k x T=300K T=600K

23 Limiti approssimazione parabolica D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 23 Alle alte temperature si esplorano stati non parabolici La banda di valenza è warped (incurvata) per effetto dell anisotropia: E E Ak B k C ( k k k k k k ) V x y x z y z Dove A, B e C sono parametri ad hoc, k 2 =k x2 +k y2 +k z2, + e valgono per la lh e la hh rispettivamente A B C 2 Si Ge GaAs

24 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 24 Warped valence band E E k y k x k y k x Light hole Heavy hole

25 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 25 Nota: zona di Brillouin Si traccia facilmente in 3D congiungendo i punti W (vertici della zona) Coordinate punti ad alta simmetria (in unità 2 /a): k x k y k z X W 1/2 0 1 K 3/4 3/4 0 L 1/2 1/2 1/2

26 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 26 Outline Modello di Kronig-Penney Struttura a bande: Si Ge GaAs Concentrazione di portatori all equilibrio

27 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 27 Esercizio 4 Calcolare la concentrazione di portatori all equilibrio al variare della temperatura Si drogato n (e.g. N D = cm -3, N A = cm -3 ) Studiare il limite di E F per T 0 (freeze-out) Spiegare l andamento di N D0 (donori non ionizzati) al variare della temperatura Confrontare con N D = cm -3 (E F vs. T, intervallo estrinseco) Codice: cc.m (soluzioni analitiche per regioni I-II e II-III)

28 Silicio drogato n (N D = cm -3 ) N [cm -3 ] E F [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 28 n N D0ni p T [K] T [K]

29 Silicio drogato n (N D = cm -3 ) N [cm -3 ] E F [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 29 n N D0 n i p T [K]

30 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 30 Esercizio 5 Calcolare la concentrazione di portatori all equilibrio al variare della temperatura Si intrinseco (e.g. N D = 10 8 cm -3, N A = 10 2 cm - 3 ) Studiare il limite di E F per T 0 (freeze-out) Confrontare con N D = x10 18 cm -3 e N A = cm -3 (compensazione) Codice: cc.m (soluzioni analitiche per regioni I-II e II-III)

31 N [cm -3 ] E F [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 31 Si intrinseco n= p=n i T [K]

32 N [cm -3 ] E F [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido L3 32 Si compensato n= p=n i N D0 T [K]