Elettronica dello Stato Solido Lezione 13: Trasporto elettrico nei. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

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1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 13: Trasporto elettrico nei semiconduttori Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

2 Outline Introduzione Diagramma a bande Corrente di drift Corrente di diffusione Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 2

3 Introduzione Siamo ora in grado di calcolare la densità di corrente La densità di corrente contiene normalmente due contributi, di drift (trasporto guidato dal campo elettrico) e di diffusione (trasporto guidato da sbilanciamento di concentrazioni) Per ottenere informazioni riguardo la distribuzione dei campi elettrici e dei portatori, è utile far ricorso al diagramma a bande D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 3

4 Diagramma a bande E E E E C E F E V g(e) f(e) Il diagramma a bande viene usato estensivamente per la discussione del funzionamento di dispositivi elettronici (e.g. diodi, MOSFET) Si riporta il minimo della banda di conduzione E C ed il massimo della banda di valenza E V In genere si riporta anche E F ed E i D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 4 x

5 Portatori e loro deriva Cerchi pieni indicano elettroni, vuoti le lacune Elettroni e lacune si muovono in senso opposto in risposta ad un campo elettrico, e.g. se il campo F è diretto verso gli x positivi il moto delle lacune è in x, degli elettroni in x F D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 5

6 Portatori e loro energia cinetica L energia cinetica degli elettroni in banda di conduzione è data da EE C, infatti: ħ k mev e E = EC = E C 2me 2 L energia cinetica delle lacune in banda di valenza è data da E V E infatti: ħ k mhv h E = EV = E V 2mh 2 Quindi l energia cinetica degli elettroni si misura verso l alto, delle lacune verso il basso Energia cinetica elettroni Energia cinetica lacune D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 6

7 Portatori e loro energia potenziale Elettroni in banda di conduzione: l energia potenziale è data da qv = en. totale en. cinetica = E(EE C ) = E C (a parte una costante arbitraria) Lacune in banda di valenza: l opposto dell elettrone = qv Potenziale elettrostatico: Campo elettrico: Densità di carica: V F E = q df ρ = ε dx D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 7 C dv 1 de = = dx q dx C

8 Esempio: potenziale lineare V F x x ρ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 8 x

9 Esempio: potenziale quadratico V F x x ρ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 9 x

10 Esempio: cariche contrapposte V F x x ρ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido x

11 Outline Introduzione Diagramma a bande Corrente di drift Corrente di diffusione Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 11

12 Deriva (drift) Deriva = moto dei portatori in risposta all applicazione di un campo elettrico In assenza di campo elettrico, l elettrone è agitato da solo moto browniano (spostamento netto = 0 Il campo elettrico comporta una componente di deriva (c è spostamento netto 0) F D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 12

13 Corrente di deriva F L qn qnh v = = = qpv AL h Densità di corrente di lacune: j Atf q = carica della lacuna N h = numero di lacune nel volume t f = tempo per percorrere una distanza L v h = velocità di deriva della lacuna Considerando anche gli elettroni: j = q( pv nv ) h e D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 13

14 Mobilità Introducendo il concetto di mobilità: La mobilità è data da: j = q( pµ nµ ) F Valori tipici per semiconduttori intrinseci: µ p qτ = m m* µ n [cm 2 V 1 s 1 ] µ p [cm 2 V 1 s 1 ] Si GaAs n D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 14

15 Scattering I principali effetti di scattering sono: fononi µ fm, µ fp impurezze ionizzate µ in, µ ip difetti (e.g. stati interfacciali e rugosità nel canale del MOSFET) Generalmente i vari contributi si sommano come se fossero resistenze in serie regola di Matthiessen: =... µ µ µ n fn in =... µ µ µ p fp ip D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 15

16 Dipendenza dalla temperatura La teoria prevede che: 3 2 µ f T la mobilità limitata da fononi diminuisce all aumentare della T, a causa della maggiore densità di fononi (agitazione termica del reticolo) 3 2 / µ i T Ni la mobilità limitata da impurezze ionizzate aumenta all aumentare di T, perché il portatore spende meno tempo vicino all impurezza e il moto ne risente di meno Nota N i = N D N A D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 16

17 µ n in Si intrinseco Si N D = cm 3 N D = cm 3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 17

18 Mobilità di elettroni e lacune cm 3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 18

19 Resistività F j = q( pvh nve ) = q( pµ p nµ n) F = σf = ρ σ = q pµ p nµ n 1 ρ = q pµ nµ Con σ = conducibilità e ρ = resistività 100 ( ) ( ) p n Resistivity [Ωcm] ,1 0,01 ρn= cost. psi Si 300K nsi 0,001 1E14 1E15 1E16 1E17 1E18 1E19 1E20 N A,D [cm 3 ] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 19

20 Effetto Hall Metodo di misura della mobilità: V L L v h j qp F = µ p W D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 20

21 Effetto Hall v h B V L F = qv B h V H V H >0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 21

22 Effetto Hall v h V L B F = qv B h V H V H <0: il segno di V H indica il tipo di semiconduttore D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 22

23 Effetto Hall v h V H V H >0 B V L F = qv B h h qv B = qf VL µ p L µ p = H H VH B = W V L L 1 V W B D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 23

24 Effetto Hall v h B V L µ p V L = H L 1 V W B j qp µ F = p V H V H >0 È possibile ricavare la concentrazione di drogante N A p D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 24

25 Saturazione della velocità Ad alti campi elettrici la legge v = µf non viene più rispettata: la velocità satura Il motivo sta nel fatto che l energia del portatore diventa confrontabile con quella del fonone ottico ħω = 37 mev (Ge) e 63 mev (Si) il portatore perde energia appena supera la soglia di generazione del f.o. e non ad un tempo medio fissato (τ m ) come a bassi campi Affligge il transistore MOS ad alti campi/canali corti: la velocità non è più proporzionale al campo trasversale e quindi il guadagno dipende solo linearmente (e non quadraticamente) dalla tensione di gate D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 25

26 Risultati a T = 300K Si: 10 7 cm/s Ge: 6x10 6 cm/s D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 26

27 Comportamento in Si, Ge Modello empirico: µ F v( F) = v F µ F 1 v Interpretazione: appena si raggiunge l energia per generare un fonone ottico ħω LO, lo si genera azzerando l energia cinetica: v sat 1 2 vmax max = = = ħ ω m v ħωlo vsat 2 2 2m LO sat D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido t v sat

28 Comportamento nel GaAs Si spiega considerando la sua struttura a bande: la valle in L è a solo 0.31 ev dalla valle Γ (m* Γ = 0.063m 0 ) scattering intervalle, i portatori energetici sono trasportati in Γ e qui sperimentano una maggiore massa efficace (m* L,l =1.9m 0, (m* L,t =0.075m 0 ) v µ Γ µ L L Γ X F D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 28

29 Trasporto balistico Finora abbiamo assunto che la lunghezza tipica del dispositivo (e.g. lunghezza del canale del MOS L) sia molto maggiore del libero cammino medio λ Tuttavia se L<λ o circa uguale, dobbiamo trarre diverse conclusioni: trasporto balistico (senza scattering) e overshoot di velocità v L<λ L>>λ D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido t

30 Outline Introduzione Diagramma a bande Corrente di drift Corrente di diffusione Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 30

31 Moto browniano A T 0 le particelle (e.g. atomi/molecole in un gas, portatori in un metallo/semiconduttore) sono agitati da moto termico Esisterà una distribuzione di velocità, tempi di scattering, cammini liberi medi: noi facciamo ricorso ai seguenti valori medi: v th = velocità media alla temperatura T τ = tempo medio di scattering λ = libero cammino medio (λ = v th τ) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 31

32 Concentrazione disuniforme n λ 0 λ x In presenza di una variazione spaziale di concentrazione (e.g. di elettroni), i flussi non sono uniformi corrente di diffusione Facciamo il bilancio dei flussi di diffusione attraverso la superficie a x = 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 32

33 Flusso di diffusione verso destra n λ 0 λ x Flusso φ (particelle che transitano in un tempo τ dal segmento λ di sinistra a quello di destra): φ 1 = 2 n λ 2 v cm s th 2 1 [ ] Solo metà delle particelle vanno a destra, le altre vanno a sinistra (in media) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 33

34 Flusso di diffusione verso sinistra n λ 0 λ x Flusso φ (particelle che transitano in un tempo τ dal segmento λ di destra a quello di sinistra): φ 1 = 2 n λ 2 v cm s th 2 1 [ ] Il flusso netto si ottiene dalla somma algebrica dei contributi D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 34

35 Prima legge di Fick n λ 0 λ x 1 λ λ φ = φ φ = vth 2 n 2 n 2 1 dn λ dn λ 1 dn dn φ v ( 0) ( 0) = = 2 th n n 2 2 v λ D dx dx 2 th dx n dx Con D n [cm 2 s 1 ] = diffusività, coefficiente di diffusione D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 35

36 Diffusività 1 Dn = vthλ 2 λ = vthτ 1 kt = m* v 2 2 th D 1 kt kt q τ τ τ kt µ 2 m* q m* q 2 n = vth = = = n Oppure in termini della tensione termica: D V µ D = V µ = n th n p th p Questa va sotto il nome di legge di Einstein la ricaveremo sulla base di altri argomenti più avanti D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 36

37 Seconda legge di Fick n λ 0 λ x Bilancio sul segmento λ centrato in 0: λ λ dn 2 1 φ = [ ] 2 φ 2 λ cm s dt 2 2 dn dn dn d n λ dn d n λ Dn Dn = Dn = 2 2 dx λ dx λ dx dx dx dx D n d n λ = dn λ dn = D d n dx dt dt dx 2 n 2 0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 37

38 Corrente di diffusione n φ n dn jn = qdn dx p φ p j p x dp = qd p dx x D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 38

39 Legge di Einstein E C E V E F n = N e C EC E kt F N D N A Si consideri un semiconduttore con drogaggio non omogeneo all equilibrio Drogaggio non omogeneo E C E F non uniforme All equilibrio E F = costante D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido x

40 Legge di Einstein E C φ diff φ drift E V E F dn jn = qnµ nf qdn = 0 dx dv 1 dec dec dn F = = jn = nµ n qdn = 0 dx q dx dx dx E E C F log kt n = NCe jn = nµ nkt d n qd dn n = µ dn nkt qd dn n = dx dx dx dx 0 D n kt = µ n q D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 40

41 Corrente totale Corrente di elettroni: Corrente di lacune: dn jn = qnµ nf qdn dx dp jp = qpµ pf qdp dx Corrente totale: 3D: dn j = j j = qnµ F qd qpµ F qd dx n p n n p p dp dx j = j j = qnµ F qd n qpµ F qd p n p n n p p D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 41

42 Conclusioni Il diagramma a bande ci aiuta nella comprensione e descrizione del trasporto nei semiconduttori Corrente di drift descritta dal concetto di mobilità, a parte effetti ad alti campi: saturazione e overshoot di velocità L effetto Hall offre la possibilità di misurare la mobilità e la concentrazione di drogante Corrente di diffusione, link con il drift mediante la legge di Einstein D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 13 42