Richiami su conduttivita, bande di energia, portatori, etc

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1 Richiami su conduttivita, bande di energia, portatori, etc Elettronica: Tecnologia alla base di molte altre tecnologie Meta-tecnologia Dispositivi elettronici: passivi, attivi ( generazione di potenza) Basati su uso intelligente del trasporto di carica elettrica Corrente Interesse per proprieta' dei materiali rispetto al trasporto di carica Materiale piu' semplice: vuoto Elettroni in moto sotto l'azione di campi elettrici e magnetici Tecnologia tubi a vuoto ( anni '0 - anni '50) Obsoleta tranne che per applicazioni particolari radar, acceleratori,...

2 Moto di elettroni e ioni positivi in un gas Formazione di coppie elettrone-ione a temperatura T: agenti ionizzanti Moto elettroni ioni spontaneo: casuale, libero + collisioni Volo libero fra le collisioni + Applicazione di un campo elettrico Portatore j esimo: mu = mu + qet f j j j Sommando su tutti i portatori: j m u = mu + qet f j j j j incremento q. di m. fra due collisioni f m 1 mu = u j + qet j q. di moto media N N 1 N j mu j j = 0 direzioni casuali j Azzeramento della vel. media dopo ogni collisione j f j m q q u = E = Eτ τ N t tempo medio fra collisioni Densita' di corrente: Eqτ Nqτ J = Nqu = Nq = E m m J = σe Due tipi di portatori: + N qτ N ( q) τ + + J = ( J + J ) = q ( q) + E = σe m m σ q N τ Nτ m m + + = conduttivita' del gas Tecnologia tubi a gas, obsoleta anche lei

3 Material ρ (Ω m) at 0 C Resistivity σ (S/m) at 0 C Conductivity Silver Copper Annealed copper Gold Aluminum Calcium Tungsten Zinc Nickel Lithium Iron Platinum Tin Carbon steel (10 10 ) Lead Titanium Grain oriented electrical steel Manganin Constantan Stainless steel Mercury Nichrome GaAs to to 10 3 Carbon (amorphous) to to 10 3 Carbon (graphite) to //basal plane basal plane to //basal plane basal plane Carbon (diamond) ~10 13 Germanium Sea water Drinking water 10 1 to to 5 10 Silicon Wood (damp) to to 10-3 Deionized water Glass to to Hard rubber Wood (oven dry) to to Sulfur Air to to Paraffin wax Fused quartz PET Teflon to to 10 3

4 Isolanti, conduttori, semiconduttori Andamento con T della resistivita dei metalli

5 Materiale: conduttore Modello di Drude: gas di elettroni liberi, ma confinati entro il cristallo Ioni positivi fissi nei siti reticolari Solo corrente di e 1 e libero/atomo N = e cm = e m Tempo di rilassamento = Intervallo medio fra due collisioni 7 31 σm τ = = s 8 38 Ne Rame s Vel. a T ambiente : Usiamo statistica di Maxwell-Boltzmann Equipartizione dell'energia 1 3 3kT mv = kt v = 10 cms m vτ cm cammino libero medio fra due collisioni Passo reticolare cm < vτ OK resistivita' originata da collisioni, ma questione non ben chiarita [ Ma: Perche' il cammino libero medio e' cosi' grande? ] OK con ipotesi di 'elettroni liberi' OK per giustificare legge di Ohm KO: Assumendo il cammino libero medio l indipendente da v 3 1 m m l m l 1 1 τ sper ρ = = = = σ Ne Ne v Ne 3kT T T imentale

6 Modello di Sommerfeld Elettroni liberi nel metallo: eq. di Schrodinger ħ ψ = Eψ m 1 ik r 1 ikxx ik y y ikzz Sol. a onda piana: ψ ( r) = e = e e e V V Cond. al contorno: Periodiche ( Consentono di costruire un insieme completo di stati base) π k = n,simile per k, k L x x y z ik ( x+ L) ikxx x ikxl ψ x = ψ x + L e = e e = 1 k L = nπ Vettori nello spazio dei numeri d'onda: Discreti, su un reticolo regolare x x π L k = n n = k, simile per n, n L π x x x x y z 3 L n = n n n = k k k, n. stati disponibili con n. d'onda fra 0 e k, k, k π n quasi funzione continua di k 3 3 L L dn = dkxdk ydk z π π x y z x y z x y z densita' degli stati nello spazio dei n. d'onda

7 Energia di un dato stato: ħ ħ E = k = ( kx + ky + kz ) m m elettroni/stato (Principio di Pauli) N elettroni riempiono ' a cipolla' tutti gli stati a partire da quello con E Sfera di Fermi nello spazio dei n.d'onda ( o degli impulsi) Raggio sfera di Fermi per N elettroni: x y z π F L L L N = dn dk dk dk k dkd = = Ω = k π π π 3 ( π) N π 3N F π 3 k = 3 n, n densit 8π L = = a' volumetrica di elettroni πl k = F ( 3π n) ħ EF = m 1 3 ( 3π n) 3 ħk 1 3 F ħ 3kT vf = = ( 3π n) m m m k F 0 piu' bassa Effetto di un campo elettrico E sulla sfera di Fermi: Offset

8 Perdita di energia per collisioni: dkm e km = E dt ħ τ incremento decremento Equilibrio: e km eeτ E = 0 km = ħ τ ħ pm ħkm eeτ vd = = = vel. di drift m m m NeτE j = Nevd = = σe dens. di corrente m Neτ σ = conduttivita' m Simile a modello di Drude: τ τ, v Somm Drude F Boltzmann F v vτ a in questo caso Effetto molto piu' marcato rispetto al modello di Drude Tuttavia, nel contesto quantistico il problema resistivita' cambia: Originata non da urti con il reticolo (assenti; funzione d'onda periodica: periodo = passo reticolare, v.dopo) ma da collisioni con fononi (vibrazioni reticolari quantizzate), impurita ' Moto elettroni = propagazione della funzione d'onda Approssimazione di Sommerfeld: Potenziale costante Inadeguata Necessita' di migliore approssimazione nell'eq. di Schrodinger Potenziale periodico ψ non perturbata dagli ioni nei siti reticolari uguale periodicita' In un reticolo perfetto τ σ Perturbata da irregolarita' nel reticolo, originate da: vibrazioni reticolari, densita' T Spiegata ρ = ρ impurita', difetti, indipendenti da T ( T )

9 Modello di Bloch: Potenziale periodico Potenziale singolo ione nel reticolo Potenziale periodico Teorema di Bloch: Caso 1D ika ψ ψ V periodico V x + a = V x x + a = e x Infatti: [ H D] λψ D operatore spostamento a: D f x = f x + a V periodico, = 0 Autostati di H sono autostati di D: Dψ = λψ ψ x + a = x ika D in generale non hermitiano λ numero complesso λ = e, k opportuno ( x a) ( x) ψ + = λ ψ λ pura fase Per determinare k : Cond. al contorno periodiche [Come se il reticolo 1D fosse infinito...] ( x Na) ψ( x) ψ + = = inka e ψ x ψ x inka e = 1 Nka = nπ nπ k =, n = 0, ± 1, ±,... k reale Na Estensione: Caso 3D ik R ψ ψ r + R = e r, R = n a + n a + n a, k = k eˆ + k eˆ + k eˆ x x y y z z x x x y z z

10 Teorema di Bloch in forma equivalente: ψ ik r ( r) = e u ( r) u ( r + R) = u ( r) Infatti: ψ, essendo periodica sul reticolo k k k k ik ( r+ R) ik R ik r ik R k + = e uk + = e e uk = e ψk r R r R r r ψ ( r) k Funzione d'onda: Onda piana modulata da funzione periodica sul reticolo, etichettata da k Esempi di modulazione

11 Consente di considerare gli elettroni di conduzione non soggetti a campi esterni come ' elettroni di Bloch ': Particelle quasi libere Possibili valori dell'impulso: Quantizzati, molto ravvicinati N siti reticolari N valori di impulso N stati ħk: impulso cristallino Non e' l'impulso dell'elettrone, ma lo e' quasi dove la modulazione periodica dell'onda piana e' modesta Problema generale: Trovare autofunzioni e autovalori dell'energia per un elettrone in un potenziale periodico Di fatto,problema ricondotto alla determinazione della relazione fra E Possibile restringere k alla prima zona di Brillouin Infatti, se k e' nella prima zona di Brillouin: G = k b + k b + k b vettore del reticolo reciproco 3 con b1 = π +... cicliche a1 ( a a3 ) passando a k' in un'altra zona: a a ik R ik ' R i( k+ G) R ik R ig R k ' = k + G : e e = e = e e = e ik ' R ik R ( r R) e ( r) e ( r) ψ + = ψ = ψ = 1 ik R e k In sintesi: Funzioni d'onda di Bloch corrispondenti a impulsi cristallini che differiscono da quelli della I zona di Brillouin per un vettore del reticolo reciproco sono identiche Descrivono lo stesso stato, con energia diversa

12 Esempio: Potenziale di Kronig-Penney Soluzioni nelle due zone: ψ ψ I II ikx ikx x = Ae + Be Raccordo in x = 0 : ( ) = ( ) Teorema di Bloch: ( b) = ψ Quindi: Qx Qx x = Ce + De A + B = C + D ik A B Q C D ψ dψ dψ = dx dx b a e a e ik( a+ b) ik( a+ b) Qb Qb ika ika ik( a+ b) + = ( + ) Qb Qb ika ika ( ) = ( ) Ce De Ae Be e Q Ce De ik Ae Be e k numero d'onda K ik( a+ b) K, Q determinano energia dell'elettrone: ħ K E = m, E < U 0 ħ Q U 0 E = m 4 equazioni, soluz. se det. coefficienti = 0 Eq. per K, Q: ( Q K )/ QK πn sinh Qbsin Ka + cosh Qbcos Ka = cos k ( a + b) = cos N

13 Q ab Se b 0, U0 con P = finito Successione periodica di potenziali a δ ('pettine di Dirac' ) Q K, Qb 1 P πn sin Ka + cos Ka = cos ka = cos Eq. per K; n = 0,..., N 1 Ka N Insieme di N valori ravvicinati di k Banda continua di energia per l'elettrone Ka ammissibili: funzione compresa fra -1 e +1 ( cos ka) ħ k E = solo in certi intervalli bande permesse/proibite m π π 3π Discontinuita' per k = ±, ±, ±,...: Gap a a a

14 Origine fisica della struttura a bande di energia: Doppia buca di potenziale Separazione fra le buche Larghezza buche: Ogni buca indipedente Autofunzioni localizzate in una delle due, ψ e ψ Stessa energia Ogni livello ha degenerazione Separazione fra le buche < Larghezza buche: Tunneling fra le buche Autofunzioni delocalizzate ψ e ψ, combinazioni lineari di ψ e ψ con parita' opposta + Splitting dei livelli prima degeneri (effetto diverso di V su ψ e ψ ) L R L R + Estensione a N 1 buche ( pot. periodico): Splitting dei livelli N-volte degeneri in bande

15 Origine fisica delle gap: Riflessione di Bragg delle onde elettroniche dai piani cristallini Origine di onda regressiva sovrapposta a quella progressiva Onda stazionaria ψ ± i( kx ωt ) i( kx+ ωt) 1 = C e ± e = A e ± e e ω ikx ikx i t nπ : k = ± soluzioni a ψ± = C e e A e e ± = ± e 1 ikx ikx iωt 1 iωt ψ+ = A e e e Acos( kx) e + = 1 ikx ikx iωt 1 iωt ψ = A e e e iasin( kx) e = πx ψψ = A cos + + ψψ i( kx ωt ) i( kx+ ωt) 1 ikx ikx iωt = A sin ( a a πx a a x= 0 x= 0 ) + E = E E = V ( x)[ ψ ψ ] dx g + a E E V x dx + πx cos ( a )

16 Intepretazione delle due energie differenti agli estremi delle gap: ψ ψ : in media piu' lontano dagli ioni E piu' alta : in media piu' vicino agli ioni E piu' bassa + + Prima zona di Brillouin

17 Rel. di dispersione fra energia e impulso Elettrone libero: p ħ k E ( k ) = = rel. parabolica m m Elettrone quasi-libero (interazione debole con il reticolo): = E1, E doppio valore per k = G (Gap) E ( k ) = E ' valore singolo distorto per k G ħ k valore singolo parabolico per k m G Rappresentazione a zona ridotta della relazione di dispersione E = E k e delle bande : Tutto riportato alla I zona di Brillouin Relazione fra bande permesse e proibite: In ogni banda permessa: N stati distinti (energia & spin) Ogni elettrone atomico (non solo quelli di valenza) occupa uno stato di una banda permessa Il n. di bande riempite dipende da Z

18 Atomi con elettroni di valenza: Ultima banda permessa completamente riempita Atomi con 1 elettrone di valenza: Ultima banda riempita a meta' Isolanti & Semiconduttori: Ultima banda completamente riempita (B. valenza) Banda successiva completamente vuota (B. conduzione) a T = 0; separazione E g Metalli: Ultima banda completamente riempita (B. valenza) a T = 0 Banda successiva parzialmente vuota (B. conduzione) Semimetalli: Ultima banda completamente riempita (B. valenza) Banda successiva parzialmente vuota (B. conduzione) a T = 0 & B.di valenza sovrapposta in parte a B. conduzione (Puo' avvenire in certe condizioni) Isolanti & Semiconduttori: A T = 0 nessuna conduzione: elettroni non hanno stati liberi in cui situarsi acquistando energia dal c. elettrico esterno A T > 0 attivazione termica, minima per gli isolanti ( E kt ), piu' sostanziale per i semiconduttori ( E > kt ) σր per Tր causa aumento termico concentrazione Metalli: A T = 0 conduzione: elettroni trovano stati liberi σց per Tր causa aumento termico scattering da fononi Semimetalli: Come metalli, anche se riempimento bande come isolanti g g

19 Possibili strutture a bande: Isolanti Semiconduttori Metalli Semimetalli Distorsione della rel. parabolica fra E e k : Possibile descriverla introducendo una massa efficace per i portatori

20 Concetto di massa efficace: legato a proprieta' ondulatorie del moto dei portatori Elettrone: Pacchetto d'onde Vel. elettrone = Vel. di gruppo 1 v = kω = kε ħ dv dk m dε d ħk F = m a = m = m k v = dt dt ħd k dt dε dε dk dk dk i j v, v, v k x k y k z grandezza con 9 componenti: tensore di massa efficace p = ħk dp m d d m d d 1 dt = ε p ε p F = d dt d = dt ħ k ħ k 1 1 dε ( m ) =, m massa efficace ħ dk k v Significato: 1 ħ ai dε dk dk i j = F Caso generale: a F j In principio: m dipendente dalla direzione; nel caso piu' semplice scalare

21 Rel di dispersione in approssimazione parabolica : m Per semplicita', caso unidimensionale: indipendente da k de 1 d E ħ E ( k ) = E ( k ) + k k + k k E k + k k dk k dk m 0 k = 0 (minimo) ħ m = Segno di m legato a concavita' ±!! d E dk k Massa efficace negativa: concetto difficile da maneggiare Azione di un campo esterno: q F = q E + v B = m a a = E + v B m Ridefiniamo: m m Relazione fra F e a invariata q ± q secondo il segno ± di m q > 0 : lacuna = stato vuoto in una banda permessa

22 Moto portatori in un potenziale periodico: elettroni in BC lacune in BV Confronto fra osservabili in modelli alla Sommerfeld e alla Bloch

23 Complicazioni legate alla struttura 3D del cristallo: Dipendenza da direzione Presenza di piu' di una banda di valenza Es: Si nella direzione cristallina (1,0,0)

24 Massa efficace nei cristalli semiconduttori piu' usati GaAs Elettroni: indipendente dalla direzione Lacune: m m indipendente dalla direzione, dipendente dalla banda di valenza ( in tutto) m 0.08 me leggere 0.45 me pesanti m e Ge ml Elettroni: m dipendente dalla direzione mt Lacune: m indipendente dalla direzione, dipendente dalla banda di valenza ( in tutto) m 0.16 me leggere 0.48 me pesanti 1.59 m m e e Si ml Elettroni: m dipendente dalla direzione mt Lacune: m indipendente dalla direzione, dipendente dalla banda di valenza ( in tutto) m me leggere 0.8 me pesanti m m e e Dipendenza dalla direzione: E ( k) k + k k mt m l = ħ x y + z

25 Popolazione delle bande: T = 0 K N elettroni in b.valenza, 0 elettroni in b. conduzione Isolanti & Semiconduttori Corrente di banda piena: Esempio caso 1D: q I = ja = ρa vi = vi = 0 L Per ogni elettrone con i i + v i ce n'e' un altro con v i

26 Popolazione delle bande: T > 0 K Attivazione termica di elettroni da BV a BC Effetto di un campo elettrico: Shift verso stati a en. piu' alta Perdita della compensazione delle velocita' I, I 0 1

27 Elettroni mobili : Quelli in BV che contribuiscono a I hanno v de v = dk di segno uguale a quelli in BC Vel. banda di conduzione Vel. banda di valenza Lacune: quasi-particelle con carica positiva Elettroni Lacune

28 Origine dell'idea di lacuna: q q q I = v v v = + = + v V i i i i L stati L tutti stati L stati occupati gli stati occupati vuoti Infatti: v = 0 banda piena Tutti gli stati i Esempi piu' casalinghi di lacune: Movimento del 'buco' : opposto al movimento del 'pieno'

29 Concentrazioni di elettroni/lacune: Banda di conduzione o di valenza = g ( E) f ( E) n E g E f E densita' degli stati per intervallo unitario di energia probabilita' di occupazione di uno stato di energia E f ( E) g E, indipendenti

30 G k dk = V 4 k dk densita' degli stati per intervallo unitario di n. d'onda 3 ( π) π G k k g ( k ) dk = dk = dk come sopra, per unita' di volume V π ħ k de ħ k E = Ec + = m dk m Densita' degli stati per intervallo unitario di energia: ( m ) g k k m g ( E) de = g ( k ) dk g ( E) = = de π ħ k dk 1 k m 1 m k = m E E g E = = m E E ħ π ħ k πħ ħ ( c ) c 3 g E = E E 3 πħ c ( m ) ( m ) 3 gc E = E E 3 πħ 3 gv E = E 3 V E πħ C dens. stati nella banda di conduzione dens. stati nella banda di valenza

31 Probabilita' di occupazione: Distribuzione di Fermi-Dirac g f E =, g molteplicita', E livello di Fermi 1+ e E E F F kt