Trasporto dei portatori

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1 Trasporto dei portatori all equilibrio termico gli elettroni in banda di conduzione (le lacune in banda di valenza) si muovono per agitazione termica 3 energia termica = (k costante di Boltzmann) 2 kt mnvth= kt vth= velocità termica 10 cm sec a 300K 2 2 in equilibrio termico il moto è casuale e la corrente totale è nulla gli eventi di diffusione (scattering) hanno diversa origine

2 Meccanismi di scattering scattering da fononi: gli atomi vibrano intorno alle posizioni reticolari. In meccanica quantistica le vibrazioni sono quantizzate (fononi). Il trasferimento di energia dagli elettroni al reticolo è chiamato scattering fononico. scattering da impurezze ionizzate (importante ad elevate concentrazioni di drogaggio) scattering da impurezze neutre (trascurabile) scattering elettrone-elettrone e elettrone-lacuna (importante ad elevate concentrazioni di portatori) scattering da difetti cristallini (importante in materiali policristallini) scattering di superficie (importante in dispositivi tipo MOS, molto sottili).

3 Libero cammino medio distanza media tra le collisioni = libero cammino medio l m l da10nm a 1μm in Si m 7 vth = velocità termica 10 cm sec a 300K 4 6 da 10 cm a 10 cm c da a psec τ 10 cm sec La maggior parte dei processi di ricombinazione e trasporto avvengono su tempi liberi medi (o liberi cammini medi) molto più lunghi di 1 psec permette di trattare le situazioni di non-equilibrio come perturbazioni dell equilibrio termico

4 Moto di trascinamento applicando un campo elettrico Є, una forza -qє agirà sull elettrone (+qє sulla lacuna) nell intervallo di tempo che intercorre tra due urti eguagliando l impulso (forza x tempo), acquisito dall elettrone tra due urti, alla sua quantità di moto qτ c qєτ c = mnvn vn= da cui vn = μnє mn 2 qτ c cm μn = mobilità dell ' elettrone mn Visec analogamente v = μ Є p p moto microscopico moto macroscopico

5 Moto di trascinamento la mobilità è legata direttamente al tempo libero medio tra collisioni τ c, che è determinato dai vari meccanismi di scattering il moto degli elettroni, in media, avviene lungo una direzione opposta ad Є (moto di trascinamento drift )

6 Mobilità La relazione lineare tra μ ed Є, vale solo per campi relativamente deboli Per campi elevati v d v th e v d satura al valore vsat = velocità limitata dallo scattering cm sec per elettroni in Si 6 cm sec per lacune in Si Il campo critico a cui avviene la saturazione vale Є c 4 = 2 10 V cm = 2 V μm

7 Velocità di saturazione questo fatto diventa importante con la progressiva diminuzione di dimensioni dei dispositivi!

8 Velocità di saturazione μ dipende anche da altri fattori come temperatura e drogaggio (scattering)

9 Effetto Hall prova sperimentale dell esistenza delle lacune forza di Lorentz x z y y x z H y ( ) qv B= qv B = qє Є = v B V = Є spessore tensione di Hall J p 1 poichè vp = J p qp Є = Bz = RHJ pbz con RH = qp qp 1 1 JpBz I A Bz IBzW analogamente RH =, inoltre p = = = = qn qr qє q V W qv A ( ) ( ) H y H H

10 Moto dei portatori per diffusione in presenza di gradienti di concentrazione, i portatori diffondono da regioni ad alta concentrazione verso quelle a bassa concentrazione Modello microscopico di diffusione 2-D

11 Trasporto per diffusione All equilibrio termico, in una rappresentazione semplificata 2-D, ciascun portatore ha eguale probabilità di muoversi in direzione x o x. Se esiste un gradiente di concentrazione ci sarà un flusso netto di portatori verso le zone a concentrazione più bassa flusso di portatori dovuto a diffusione di elettroni e lacune

12 I legge di Fick il gradiente di concentrazione riportato in figura genera un flusso di elettroni (lacune) che può essere così calcolato:

13 I legge di Fick (1) 1 1 dn dn Fn = vth ( m) ( m) th ( 0) m ( 0) m 2 n l n l = v n l n l 2 dx + dx = dn dn = vl th m = vv th thτ m dx dx qτ m essendo mvth = kt ( caso unidim. ) e μn = si ha 2 2 m F D n n n n n n n kt m μ dn kt dn dn = = μ = D m q dx q dx dx kt = μn coefficiente di diffusione ( relazione di Einstein) q dp Analogamente Fp = Dp dx n

14 I legge di Fick (2) F n e F p = flusso di elettroni e lacune D n = coefficiente di diffusione per elettroni nel Si a RT D n 38 cm 2 /sec D p = coefficiente di diffusione per lacune nel Si a RT D p 13 cm 2 /sec Combinando i flussi si ricava il contributo della corrente di diffusione dn I = AqDn AqD dx p dp dx

15 Equazioni del trasporto Se entrambi i fenomeni si trascinamento e diffusione sono presenti, si ha trascinamento In = qa μnnє + Dn dx Ip = qa μ ppє Dp dx I = I + I tot n p dn dp diffusione

16 Condizioni di Non-Equilibrio In equilibrio termico np = n i 2 in queste condizioni si possono calcolare n, p, E f... tuttavia molti dispositivi operano in condizioni di non-equilibrio iniezione portatori aggiuntivi generati otticamente o elettricamente: np > n i 2 estrazione portatori rimossi elettricamente: np < n i 2

17 Generazione/Ricombinazione se la densità di portatori è più elevata di quella all equilibrio termico, appena rimossa la sorgente di eccitazione, la densità di portatori tende nel tempo a ritornare alla concentrazione di equilibrio (meccanismo di ricombinazione e-h) analogamente farà nel caso di densità bassa attraverso il meccanismo della generazione di coppie elettrone/lacuna R = tasso di ricombinazione (#/cm 3 sec) G = tasso di generazione (#/cm 3 sec) all equilibrio G th = R th n = p = n i

18 Disequilibrio Iniezione in semiconduttore intrinseco (non drogato) n = n +Δn i p = n +Δp i n, p > n i

19 Disequilibrio iniezione in semiconduttore estrinseco (drogato) p.es. N d =10 15 cm -3 n N +Δn d 2 n p i +Δp N d bassi livelli di iniezione Δn N alti livelli di iniezione Δn N d d

20 Ricombinazione Diversi sono i meccanismi di ricombinazione che agiscono contemporaneamente. Tuttavia il più veloce è quello che determina il tasso totale di ricombinazione Ricombinazione radiativa un elettrone in CB si ricombina direttamente con una lacuna in VB, con emissione di un fotone hυ si realizza in presenza di gap diretta in questi casi rappresenta il più importante canali di ricombinazione Ricombinazione Auger (non-radiativa) come sopra, ma invece dell emissione di un fotone l energia viene trasferita ad un altro elettrone in CB, la cui energia in eccesso si dissipa termicamente (termalizzazione) processo inverso alla ionizzazione da impatto processo importante in materiali fortemente drogati

21 Ricombinazione attraverso difetti La ricombinazione attraverso difetti avviene in due fasi ed è detta ricombinazione SRH (Shockley-Read-Hall) un elettrone in CB viene intrappolato in un livello energetico nel gap proibito (difetto o drogaggio) l elettrone si può ricombinare con una lacuna in VB se non viene prima riemesso in CB se il livello energetico è prossimo ad una soglia di banda la ricombinazione è meno probabile sono efficaci i livelli posizionati a metà del gap la ricombinazione SRH è tipica nei semiconduttori a gap indiretta

22 Velocità di Ricombinazione la velocità di ricombinazione è in generale data da dn dp = cnnpt ovvero = cppnt dt dt c n, c p coefficiente di probabilità del processo p T, n T numero di stati vuoti disponibili n, p concentrazione portatori che si ricombinano il tempo di vita τ di un portatore soggetto a ricombinazione SRH è dato da 1 1 τn = ovvero τ p = cn n T cn p T con N T concentrazione stati di difetto

23 Velocità di Ricombinazione SRH tenendo conto della probabilità di occupazione della trappola si ottiene dalle relazioni precedenti 2 dn dp np ni R = = = dt dt τn( n + n1) + τ p( p + p1) n, p = concentrazioni totali di elettroni e lacune n i = concentrazione intrinseca di portatori τ n, τ p = tempi di vita dei portatori n 1, p 1 = numero di portatori nei livelli trappola ( E E ) ( E E ) T C V T n1 = NCexp e p1 = NV exp kt kt in condizioni di bassi livelli di iniezione Δn = n n 0 per cui Δn Δp R = ( tipo n) e R = ( tipo p) τ τ n p

24 Velocità di Ricombinazione Riassumendo, la velocità di ricombinazione totale è data da = + + τ τ τ τ rad SRH Auger in condizioni di di equilibrio termico ed allo stato stazionario le velocità di ricombinazione di elettroni e lacune devono essere eguali altrimenti non avremmo mai delle concentrazioni di equilibrio (cioè che non variano nel tempo), in contraddizione con la definizione stessa di equilibrio

25 Equazioni di continuità (della corrente) Combiniamo insieme i risultati dei meccanismi di trasporto = Є + dn dp In qa μnn Dn dx = Є Ip qa μ pp Dp dx con quelli dei fenomeni di ricombinazione e generazione Il meccanismo che tiene conto di entrambi è la condizione di continuità della corrente (ovvero, la conservazione della carica)

26 Equazioni di continuità (della corrente) variazione numero generazione flusso = + lacune in Δx lacune in Δx lacune in Δx dp 1 1 A Δ x = G U A Δ x + I p x I p x +Δ x dt q q ( ) ( ) ( )

27 Equazioni di continuità p dp 0 p A Δ x = G A Δ x Δ x dt dp p p 0 1 di p = G dt τ p qa dx analogamente per gli elettroni dn dt G τ n n 1 di τ n qa dx 0 = p p n 1 di q dx

28 Equazione di Poisson oltre alle eq. di continuità, deve essere soddisfatta l eq. di Poisson dє dx = ρs ε 2 dv q = 2 n p + N N dx ε s ( + ) A D s ( + ) densità di carica spaziale : ρ = q p n + N N s D A con ε s permittività dielettrica del semiconduttore dv inoltre essendo Є =- si ha dx

29 Equazioni generali le seguenti relazioni costituiscono un insieme completo di equazioni che descrivono le concentrazioni di portatori e la distribuzione del campo elettrico. Fissate le opportune condizioni al contorno, si possono risolvere per una qualunque struttura (dispositivo) n n n n n 2 p Є p p p p0 = npμn + μnє + Dn + G 2 n τ n t x x x p Є p p p p t x x x 2 n n n n n0 = pnμp + μpє + Dp + G 2 p τ p 2 dv q = 2 n p + N N dx ε s ( + ) A D

30 Modello matematico dei semiconduttori Equazioni di continuità n 1 J = n + n t q x ( G R ) p 1 J = p + t q x n ( Gp Rp) Equazioni di trasporto = + n Jn qμnnє qdn x = μ Є p Jp q pp qdp x Equazione di Poisson Φ ( ) 2 = + D A + Є = x 2 d q N N p n dx ε s Φ