Di seguito, per semplicità, mostreremo esempi in cui il termine di destra della (*) f è costante nel tempo. %%%%%%%

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1 Note su uso delle equazioni differenziali in eccanica Spesso la risoluzione delle equazioni del oto si ottiene attraverso la risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. L uso delle equazioni differenziali è rilevante in eccanica, a è spesso utile anche in altri capi perchè le stesse equazioni differenziali regolano l evoluzione teporale in sistei diversi. Per esepio, le equazioni differenziali del prio ordine regolano il oto in un fluido viscoso, la carica e scarica di un condensatore, la crescita della popolazione di una colonia di batteri che interagiscono con una quantità liitata di cibo, il decadiento radiattivo. Ancora esepi: le equazioni differenziali del secondo ordine regolano il oto di una assa legata ad una olla, il oto del pendolo, le oscillazioni delle cariche in un circuito risonante con capacità C e induttanza L. In generale si definisce una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti: n n 1 d x d x d x dx (*) an + a 1... a a1 ax f ( n n = n 1 associata a (*) c è sepre la euqazione oogenea associata: n n 1 d x d x d x dx (**) an + a a + a1 + ax = n n n 1 L equazione oogenea (**) ha proprietà interessanti: se x=u( è una funzione soluzione di (**), allora anche Au( è soluzione (dove A è una costante), se x=u( e x=v( sono funzioni soluzioni di (**), allora anche una qulunque cobinazione lineare w(=c1u(+cv( è soluzione di (**) (dove c 1 e c sono costanti). Inoltre, se u( è soluzione della equazione differenziale (*) e se v( è soluzione della equazione differenziale (*), allora w(=u(-v( è soluzione della equazione oogenea (**). Da tutto ciò si può diostrare che, se w( è una qualunque di tutte le possibili soluzioni della equazione oogenea (**) (che costituiscono l insiee V ) e u f ( è una soluzione particolare della equazione diffrenziale (*), allora, al variare di w( all interno dell insiee V, tutte le soluzioni di (*) si trovano con u(= u f (+w(. Quindi basta trovare una qualunque soluzione particolare di (*) e tutte le soluzioni di (**) (ipresa di solito più facile) per trovare tutte le soluzioni di (*). Di seguito, per seplicità, ostrereo esepi in cui il terine di destra della (*) f è costante nel tepo. %%%%%%% L esepio più seplice della dinaica è il oto uniforeente accelerato. L equazione differenziale è d x d x F (1.*) = = dove F è una forza costante. L oogenea associata è: d x (1.**) = Quali funzioni x( soddisfano la (1.**)? Tutti e solo i polinoi di grado uguale o inferiore al prio. E la soluzione particolare della (1.*)? Integrando si ottiene u f (=(F /)t. Quindi la soluzione generale della equazione differenziale (1.*) sarà:

2 F x ( = t + c1t + c c 1 e c sono costanti arbitrarie ( per le equazioni differenziali del secondo ordine, 1 per quelle del prio ordine) e si trovano iponendo le condizioni iniziali ( per le equazioni differenziali del secondo ordine, 1 per quelle del prio ordine) che dobbiao conoscere per risolvere il problea: Nell esepio sopra enzionato x()=c e v()=c 1. %%%%%%% Un altro esepio (equazione di prio grado) si ha per il oto in ezzo viscoso. Quando un corpo è in oto in un un fluido viscoso (per esepio un grave in aria) vi è una forza viscosa che si oppone al oto. Essa ha la direzione del oto, segno opposto e odulo del tipo: F(v)=γv+δv (.1) Per una sfera di raggio R il coefficiente γ=6πηr (legge di Stokes), dove η è la viscosità del ezzo. Per corpi di fora diversa, γ è proporzionale alla viscosità a i coefficienti che tengono conto di fora e diensione sono diversi. Il terine quadratico in velocità si può espriere coe δ=(1/)dρa, dove A è l area della sezione del corpo, ρ è la densità del ezzo, D è un nuero deterinato epiricaente (coefficiente di resistenza, D=.5 per sfere e può arrivare a per oggetti di fora irregolare). Di solito il terine quadratico prevale su quello lineare nella equazione (.1) per oggetti di grandi diensioni e/o che si uovono con velocità elevate. Per velocità corpi di diensioni più ridotte e più in generale lontani dal oto in regie vorticoso o turbolento, (quando il oto relativo del fluido intorno al corpo è di tipo lainare) allora prevale il terine lineare. Il caso che eseplifichiao di seguito è quindi quello di un oto in un ezzo viscoso che esercita na forza proporzionale alla velocità. Questo oto si risolve con una equazione differenziale di prio grado. Un esercizio classico è quello di una pallina che cade nell aria. Esepi di questo tipo si trovano nei copitini degli anni precedenti (si vedano II copitino 6-7 (1-); II copitino 7-8 (6-7)). Di solito vi è un corpo di assa che viene lasciato libero in condizioni di quiete nel capo gravitazionale terrestre. Il fluido esercita una una forza di attrito pari a γv. Di solito si chiede quanto valga la velocità liite e in quanto tepo vengono raggiunti valori di velocità interedi. Per capire quanto valga la velocità liite non iporta risolvere l equazione differenziale, basta scrivere la seconda legge della dinaica con tutte le forze in gioco e vedere quando la risultante delle forze è nulla. Il valore di velocità corrispondente è il valore liite, in quanto da quel punto in poi l accelerazione sarà nulla. Risolviao invece il problea nel caso più generale possibile. La pallina si trova in un fluido (per es. aria). Essa è soggetta alla forza peso, alla spinta di Archiede (che però è trascurabile nel caso in cui la densità del fluido sia olto inferiore a quella della pallina). Una volta in oto la pallina è sottoposta alla forza di attrito viscoso proporzionale alla velocità, F v =-γv Se vale la legge di Stokes allora γ=6πηr, dove R è il raggio della pallina. Ipostiao questo problea in odo più generale possibile, così la sua risoluzione può essere usata anche per problei analoghi. Il oto avviene tutto verticalente e quindi fissando l asse y delle coordinate orientato positivo verso l alto avreo, coe risultante delle forze:

3 Fy = g + FA γv dove =ρ S V e V è il volue della pallina, entre ρ s è la densità della pallina. La forza di Archiede è F A =ρ fl Vg, dove ρ fl è la densità del fluido. Per la seconda legge della dinaica possiao scrivere dv a = = g + FA γv e dividendo per la assa dv F = g + A γ v (.) i due terini costituiti dal capo gravitazionale g e dalla spinta di Archiede sono due terini costanti e possono essere espressi da un singolo paraetro che possiao definire capo gravitazionale efficace g e, che sarà uguale a g nel caso che la spinta di Archiede sia trascurabile, a che, nel caso la spinta di Archiede sia non trascurabile i definirà una costante da oltiplicare per la assa della pallina per avere il valore della forza costante che agisce su di essa. F ρ = A fl g = e g g 1 ρs Da qua si vede per esepio che se ρ fl > ρ S la forza efficace sarà diretta verso l alto. Un corpo di densità inferiore a quella del fluido viene spinto verso l alto. Invece se ρ S > ρ fl la forza costante g e sarà diretta verso il basso. Inoltre, siccoe /γ ha le diensioni di un tepo, posso scrivere /γ=τ nell equazione del oto, dove τ è un tepo caratteristico che si ottiene a partire dai due dati del problea γ e. In particolare, se abbiao a che fare con una sfera e vale la relazione di Stokes γ=6πηr, avreo 3 4πR ρ S R ρ S che il tepo caratteristico τ = = = γ 3( 6πηR) 9η Si ricorda che la viscosità dell aria (in condizioni di pressione e teperatura norali) è di η= kg -1 s -1, entre quella dell acqua è di η=1 1-3 kg -1 s -1. Quella della glicerina è di η=1.49 kg -1 s -1 Quindi, dato un corpo, il suo tepo caratteristico potrebbe variare olto a seconda della viscosità del ezzo in cui è inserito. Maggiore è la viscosità, inore è il tepo caratteristico. Oppure, a parità di ezzo, si vede che i tepi più corti sono associati a corpi di diensioni inferiori. L equazione del oto (.) si può quindi scrivere coe dv v + = g e τ (.3) Per risolverla copletaente, dobbiao applicare il etodo delle equazioni differenziali. Una soluzione particolare della (.3), una soluzione olto seplice la si trova pensando alla velocità liite che il corpo raggiunge a tepi lunghi: infatti da (.) eerge che se il corpo parte da fero (v=), all inizio la sua velocità auenta, a non così la sua derivata che tende a diinuire. Via via la derivata diinuisce fino a raggiungere lo zero. v γv Questa condizione la si raggiunge quando = + ge = + ge τ E quindi per v = v li = g e = τg e γ La velocità liite ha segno negativo (se g e >) perché il corpo è diretto verso il basso.

4 Nel caso della sferetta (se vale la relazione di Stokes) si ha: R ρ R ( ρs ρ fl ) S v = vli = ge = ge = g γ 9η 9η da cui si evince che basse velocità liite si ottengono quanto i tepi caratteristici τ sono corti e quindi quando la viscosità è alta, la sferetta ha diensioni ridotte e la differenza di densità fra la sferetta e il fluido è piccola. Se vogliao trovare la legge che descrive v(, risolviao la (.3), equazione del oto dv v + = g e, con /γ=τ. τ Per risolvere la (.3), pria troviao tutte le soluzioni dell oogenea: dv v + = (.4) τ l unica funzione la cui derivata è proporzionale a sé stessa cabiata di segno è l esponenziale: t v() t = Aexp con τ= /γ e A costante arbitraria. Tutte le soluzioni dell equazione differenziale (.3) si trovano con la soa fra le soluzioni dell oogenea e una soluzione particolare ( per es. v(=v li ). t v() t = vli + Aexp (.5) La costante arbitraria A si trova iponendo la condizione iniziale (v(t=)=): = v li + Aexp = vli + A da cui A=- v li e quindi: t v() t = vli 1 exp (.6) Se invece la condizione iniziale fosse stata v()=v con v aggiore di v li allora v = vli + Aexp = vli + A da cui A=v - v li e quindi: t v() t = vli + ( v vli ) exp (.7)

5 In un diagraa tepo-velocità, le funzioni (.6) e (.7) hanno questo andaento, entrabe tendenti a v li per tepi grandi: v/v li Eq..7 Eq..6 v=.63 v li.4. t=τ t/τ Per trovare dopo quanto tepo t* si raggiunge un certo valore di velocità, per es. la velocità pari a v li /3, si risponde cercando il tepo t* per il quale t * vli t * v ( t *) = vli 1 exp = da cui / 3 = exp e t * = τ ln(3 / ) = τ

6 %%%%%%% Un esepio di equazione differenziale di secondo grado che rappresenta olti sistei dinaici è quello dell oscillatore aronico. Si può scheatizzare un oscillatore aronico coe una olla di costante elastica k con attaccato un corpo di assa. La olla può essere orizzontale e il corpo trovarsi su un piano orizzontale privo di attrito (caso A) oppure (per es.) essere verticale con il corpo di assa appeso (caso B). Nel secondo caso la forza peso (costante) si aggiunge alla forza della olla. I casi A e B sono esaustivi dell oscillatore aronico e sono: caso B, l equazione differenziale dell oscillatore aronico con forza costante applicata F e (caso A), la sua equazione oogenea associata. Abbiao quindi d x d x k F d x F = kx + F + x = + + ω x = + (Caso B) (3.1) d x d x k d x = kx + x = + ω x = (caso A) (3.) Dove ho posto ω =k/, visto che i terini a sinistra della equazione (3.) hanno le diensioni di una lunghezza diviso un tepo al quadrato. Bisogna notare che il nuero ω =k/ è ricavabile a partire da k e, costanti note del problea. Risolvendo la (3.) (oogenea) si otterranno tutte le possibili soluzioni a eno di due costanti arbitrarie deterinate dalle condizioni iniziali su posizione e velocità. La x( soluzione della (3.) deve essere tale che la sua derivata seconda sia uguale a sé stessa cabiata di segno. Le uniche funzioni capaci di ciò sono le trigonoetriche seno e coseno. Infatti d cos( ω ω cos( ω d sin( ω ω sin( ω Quindi tutte le possibili soluzioni della equazione (3.) sono delle cobinazioni lineari delle due: x( c1 cos( ω + c sin( ω x( = Acos( ω t + φ) con c = Acos( φ ); c = Asin( φ) ; ( φ) =, oppure passando attraverso le forule di addizione: 1 tan Per la velocità abbiao: dx v = = c ω sin ωt E per la accelerazione: dv a( = = c ω cos ωt ( 1 + ( ) c ω cos( ω c = c ( ) c ω sin( ω = ω x( ) 1 t 1 Le coppie di costanti arbitrarie (c 1, c ) o (A,φ) si deterinano a partire dalle condizioni iniziali x(t=) e v(t=): x()=c 1 v()=c ω

7 Una volta deterinate c 1 e c, la soluzione generale della (3.) è quindi ottenuta. Il oto è quindi di tipo oscillatorio sinusoidale in t con pulsazione ω. k Poiché ω =, la pulsazione ω e il periodo T (=π/ω) sono deterinati copletaentedai valori della costante elastica k della olla e della assa del corpo che sta attaccato alla olla. Che succede se è presente la forza costante F (eq.3.1)? La soluzione generale sarà la soa di tutte le possibili soluzioni dell oogenea (che abbiao già trovate) più una soluzione particolare della (3.1). La più seplice soluzione particolare della (3.1) è x(=x =F /k. k La soluzione generale sarà del tipo oscillante con pulsazione ω = rispetto ad un punto di equilibrio non nullo: ( ω + φ) x( = x + Acos t potreo ridefinire l asse x in odo tale che X=x-x e ritrovereo il caso dell oogenea. Considerazioni energetiche La frequenza di oscillazione dell oscillatore aronico è deterinata dalla costante elastica della olla e dalla assa: ω = k Non varia al variare dell apiezza di oscillazione, la quale invece è direttaente associata all energia del sistea. Bisogna ricordare che il sistea è conservativo (la forza elastica è conservativa). Consideriao il caso dell oscillatore aronico di eq. (3.) d x d x k d x = kx + x = + ω x = ; con ω = k Le soluzioni sono: x( = Acos( ω t + φ) Per la velocità abbiao: dx v( = = Aω sin( ωt + φ) E per la accelerazione: dv a( = = Aω cos ωt + φ ( ) = ω x( Le soluzioni sono sinusoidali. Le funzioni trigonoetriche oscillano fra -1 e 1. Ad ogni intervallo t=t otteniao la stessa posizione con la stessa velocità. In odulo, la assia estensione x ax si ha per x ax =A; la assia velocità v ax si ha per v ax =ωa; la assia accelerazione si ha per a ax =ω A.

8 Consideriao per esepio coe condizioni iniziali quelle in cui il corpo si trovi in x=x con velocità nulla (assia estensione della olla). Allora x()=x e v()=, x ( ) = Acos φ = x ; v ( ) = Aω sin( φ) = e quindi ( ) φ= e A=x x = x cos( ω ; v = x ω sin( ω ; a( = x ω cos( ω ( ( 1 1 Se scriviao l energia, otteniao per l energia potenziale U = kx = kx [ ( )] cos ωt e per la energia cinetica K = v = ω x [ ( )] [ ( )] sin ωt = kx sin ωt. La soa delle due deve essere una costante del oto: E = U + K = kx [ cos( ω ] + kx [ sin( ω ] = kx (3.3) dove l ultio passaggio è dovuto ad una identità trigonoetrica. L energia eccanica totale (3.3) è costante ed è uguale alla energia potenziale posseduta all istante iniziale. Dalla (3.3) si vede che c è un legae stretto fra l energia del sistea e l apiezza di oscillazione x (o assia apiezza) del sistea. L energia cinetica si annulla ogni qual volta la posizione x raggiunge la apiezza assia di oscillazione. D altra parte, quando il corpo passa per x= dove l energia potenziale è nulla (olla non estesa né copressa) l energia cinetica è assia. L energia eccanica passa da una fora all altra con un andaento periodico con periodo pari a π/ω (la età del periodo dello spostaento). Se le condizioni iniziali fossero state tali che il corpo si trovasse in x= (olla non estesa) con una certa velocità non nulla v, allora x()= e v()=v, e quindi: x ( ) = Acos( φ) = ; v ( ) = Aω sin( φ) = v φ=-π/ e A=v /ω v π π π x ( = cos ωt ; v ( = v sin ωt ; a ( = vω cos ωt ω Se scriviao l energia, otteniao per l energia potenziale 1 1 v π 1 π U = kx = k cos = cos ωt v ωt ω 1 1 π K = v = v sin ωt. e per l energia cinetica La soa delle due è una costante del oto ed è uguale alla energia cinetica posseduta all inizio: 1 E = U + K = v %%%%%%%%% Un altro esepio la cui soluzione della equazione del oto è del tipo visto per l oscillatore aronico è il pendolo seplice nel regie delle piccole oscillazioni. Data una assa legata ad una corda tesa inestensibile di assa trascurabile e lunghezza L, l equazione del oto si risolve considerando che il oto avviene lungo una circonferenza. Le forze in gioco sono: la tensione della

9 corda e la forza peso. Si scrive lo spostaento in coordinate polari, s=lθ, dove θ è l angolo che la corda fora con la verticale. Le equazioni del oto, nella coponente radiale e tangenziale sono: v coponente radiale: T + g cosθ = L d θ coponente tangenziale: g sinθ = L Per la coponente tangenziale, posso scrivere: d θ g + sinθ = L per piccoli angoli per cui vale l espansione in serie di Taylor 3 5 θ θ sinθ θ arrestata al prio terine: 3! 5! d θ g d θ + θ = + Ω θ =, dove L Ω = g L La soluzione per le piccole oscillazioni (cioè quando θ t = Acos Ωt + φ () ( ) con pulsazione Ω e periodo T del pendolo). La velocità angolare istante per istante vale: dθ = ω() t = ΩAsin ( Ωt + φ) sin θ Le costanti arbitrarie si deterinano dalle condizioni iniziali: dθ θ ( ) = Acos( ϕ) ( ) ; = ω( ) = ΩAsin( φ) θ ) sarà del tipo sinusoidale: l = π (NON dipendente dalla assa a solo dalla lunghezza g