In questa equazione il primo membro è in generale funzione del tempo, della posizione e della velocità, ovvero: F t x v

Transcript

1 Capitolo Dinaica del punto ateriale La dinaica del punto ateriale studia il oto di punti ateriali partendo dalle forze che li originano. Pertanto il problea generale della dinaica è quello di deterinare la legge oraria, note le forze, la posizione e la velocità inziali, utilizzando il secondo principio di Newton, ovvero F In questa equazione il prio ebro è in generale funzione del tepo, della posizione e della velocità, ovvero: F t x v Il punto è che non conosciao la dipendenza esplicita dal tepo della posizione nè quella della velocità (sua derivata) che anzi è proprio quello che vogliao deterinare. In questa equazione, dunque, l incognita non è una variabile a una funzione, appunto x t. Tali equazioni prendono il noe di equazioni differenziali. In esse copaiono la funzione incognita e le sue derivate (da cui il terine differenziale) fino a un certo ordine. Nel nostro caso si tratta di equazioni differenziali di secondo grado perché la derivata di ordine più alto della legge oraria è data dall accelerazione. Lo studio e la risoluzione di equazioni differenziali è oggetto dell analisi e quindi esula dagli scopi di queste lezioni. Dareo indicazioni per la risoluzione delle equazioni differenziali di secondo grado più soventi nella risoluzione di problei di dinaica. Cerchiao di fare una casistica dividendo i problei in: 1. forze costanti;. forze dipendenti dal tepo; 37 a a

2 38 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE 3. forze dipendenti dalla posizione; 4. forze dipendenti dalla velocità. Per seplicità assuiao che il oto avvenga in una sola diensione, e quindi proiettiao su questa direzione l equazione del oto. Nel caso di forze costanti, coe per esepio quello della forza peso, si ha F g ẍ da cui si ricava che l accelerazione è costante e quindi il oto è rettilineo unifore. Nel caso in cui la forza dipenda dal tepo, si ha: F f t ẍ che quindi fornisce l espressione dell accelerazione in funzione del tepo. Il problea, coe nel caso di forza costante, diventa un problea di cineatica in cui, integrando nel tepo l accelerazione, ricavo pria la velocità e poi, da una successiva integrazione, la legge oraria, note la posizione e la velocità iniziale. Il caso di forza dipendente dalla posizione è il prio caso non banale di utilizzo del principio di Newton per deterinare la legge oraria. Partiao quindi dall analisi della forza elastica che origina una equazione del tipo: F x la cui soluzione x t deve quindi essere proporzionale alla sua derivata seconda, con coefficiente di proporzionalità negativo pari a. Le funzioni trigonoetriche, senωt e cosωt sono soluzioni di questa equazione se ω. Pertanto una cobinazione delle due funzioni trigonoetriche è la soluzione più generale che si possa scrive. In base alle forule di addizione e sottrazione per il seno, ẍ sen ωt φ senωtcosφ cosωtsenφ e quindi la funzione più generale che risolve quell equazione può essere considerata la funzione x t Asen ωt φ Infatti la sua derivata seconda è ẍ Aω sen ωt φ x coe volevasi. La presenza di due costanti arbitrarie A e φ è legata all arbitrarietà delle condizioni iniziali, x 0 e ẋ 0, che dipendono dallo specifico problea assegnato. Vediao dunque coe si deterinano le costanti A e φ a partire dalla condizioni iniziali assegnate. Sia x 0 x 0 e ẋ 0 v 0 e quindi x 0 Asenφ ẋ 0 Aωcosφ v 0

3 .1. MOTI IN SISTEMI INERZIALI 39 da cui A φ v 0 x 0 ω arctan x 0ω v 0.1 Moti in sistei inerziali 1. Un filo inestensibile passa sopra una carrucola fissata al soffitto da un asta rigida coe ostrato in figura.1. A un estreità del filo è attaccato un corpo di assa 40 g entre all altra estreità è applicata una forza F costante nel tepo. Le asse della carrucola, dell asta e del filo sono trascurabili rispetto a. Si calcolino le intensità della forza F e della reazione R nei seguenti casi: a) il corpo di assa resta fero; b) il corpo sale verso l alto con velocità costante di odulo v 0 /s; c) il corpo sale verso l alto con accelerazione costante di odulo a 0 1 g.. Due corpi di asse 1 4 g e g, soggetti rispettivaente alle forze esterne F 1 e F, di oduli 6N e 3N rispettivaente, dirette coe in figura., sono collegati da un filo inestensibile di assa trascurabile. Si calcoli la tensione del filo. 3. Si calcoli il odulo delle accelerazioni dei corpi, le tensioni dei fili e il odulo della reazione R nei tre casi considerati in figura: si suppongano le carrucole liscie e i fili inestensibili e di asse trascurabili. Scriviao l equazione di Newton per tutti i corpi coinvolti, proiettandola nell unica direzione di oto, quella verticale, avendo orientato verso l alto l asse: B g τ B a B 1 g τ 1 a 1 a B a 1 a da cui a B 1 g B 1 τ 1 B g 1 B R τ

4 40 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE R F Figura.1: Illustrazione dell esercizio 1. 1 Figura.: Illustrazione dell esercizio. R R R!!!!!!! """""" 1 B 1 B 1 B Figura.3: Illustrazione dell esercizio 3. B # 1 $ in tutti e tre i casi.

5 .1. MOTI IN SISTEMI INERZIALI 41 Analogaente nel secondo caso: % B g & τ 1 & B a B % 1 g & τ 1 % τ ' 1 a 1 % g & τ ' a a 1 ' a ' a ' % a B da cui Infine nel terzo caso B % 1 % a ' g 1 & & B τ B( 1 & ) 1 ' g 1 & & B B τ ' g 1 & & B R ' τ 1 % B g & τ 1 ' B a B % 1 g & τ 1 % τ ' 1 a 1 τ ' a a 1 ' a ' a ' % a B da cui si ha: B % 1 a ' g 1 & & B τ ' a τ B( & 1) 1 ' g 1 & & B R ' τ 1 4. Sia dato il sistea in figura.4. Supponendo che le carrucole e le funi abbiano asse trascurabili, che le funi siano inestensibili e che il piano sia liscio, si deterini l accelerazione del corpo 3 e la tensione della fune che lega i corpi 1 e. 5. Un cubetto assiilabile ad un punto ateriale di assa = 0.14 g è appoggiato su un paviento orizzontale. In un certo istante il punto si trova a contatto con l estreo libero di una olla di costante elastica = 0.8 N/ che ha l altro estreo fissato in odo che l asse della olla sia orizzontale. Nell istante considerato la olla non è deforata e il punto ha una velocità v 0 ' 65 c/s diretta coe l asse della olla e con verso tale da portare il punto a copriere la olla. Calcolare il assio valore dell accorciaento della olla durante il oto, assuendo che non ci sia attrito sul paviento.

6 / / / / / 4 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE *+*+*+*+*+*+*,+,+,+,+,+,+, 1 α α = π/3 = 0.1 g = = Figura.4: Illustrazione dell esercizio Si consideri lo stesso cubetto e olla dell esercizio 5 nel caso in cui c è attruto tra la base del cubetto e il paviento. Se si lascia il cubetto in quiete appoggiato alla olla copressa e se l accorciaento iniziale della olla è L = 30 c, il cubetto inizia a uoversi (sia assua il coefficiente di attrito statico uguale a quello dinaico, µ ). Calcolare lo spostaento coplessivo del cubetto. Questo esercizio ci dà lo spunto per vedere coe si risolve l equazione F - a nel caso in cui, oltre alla forza elastica, c è anche una forza costante, visto che c è attrito dinaico lungo il piano di oto. La forza di attrito statico assia è in odulo gµ e quindi, data l accorciaento L della olla, non è in grado di tener fero il punto che quindi inizia a uoversi. A questo punto la forza di attrito è di tipo dinaico e l equazione della dinaca è: / x gµ - ẍ /... gµ x - x 1 0 da cui effettuando il cabio di variabile z - x 1 gµ3 si ha l equazione che sappiao risolvere: z - z la cui soluzione è z t - Asenωt 1 φ da cui / 0 gµ gµ x t - z t - Asenωt 1 φ 0 0. Per ricavare i valori di A e φ iponiao le condizioni iniziali: x 0 = -L e v 0 = 0 da cui 0 0 gµ gµ x t -54 L6 cosωt 0. Il cubetto risente della forza elastica fino a quando l elongazione non si annulla. A quel punto avverte solo la resistenza della forza di attrito. Dobbiao quindi valutare con che velocità arriva nella posizione di elongazione

7 .1. MOTI IN SISTEMI INERZIALI 43 nulla della olla, ovvero v7 t8:9 se x7 t8:9; 0. L equazione x ; 0 fornisce: cosωt 8 ; gµ gµ < L L < gµ ω v7 t8 9; ω senωt 8 ; = L < gµl> A questo punto il oto è uniforeente decelerato con accelerazione a ; < gµ e la relazione tra spazio percorso e velocità, coe ricavato in cineatica è, v ; v 0? ax. Iponendo che la velocità si annulli, ricaviao lo spazio percorso: v x ; 0 gµ ; L L < gµ A da cui lo spazio totale è x? L ; L gµ ; 65> 6 c. 7. Un attone è appoggiato con attrito su una scanalatura rettilinea, inclinata di un angolo α ; 35B rispetto all orizzontale, raccordata in basso con un paviento orizzontale che presenta, rispetto al attone, lo stesso tipo di attrito della scanalatura, con coefficiente µ ; 0> 4. Il raccordo, di lunghezza trascurabile, è arrotondato e si consideri l attrito statico uguale a quello dinaico. Nell istante iniziale il attone viene abbandonato in quiete sulla scanalatura, ad un altezza h ; 3 dal paviento e coincia a uoversi. Calcolare il assio valore del odulo della velocità e la lunghezza coplessiva del percorso copiuto. 8. Un cubetto pesante, assiilabile ad un punto ateriale, si uove strisciando con attrito lungo una guida rettilinea inclinata di un angolo α ; 15B rispetto all orizzontale. Nell istante iniziale la velocità ha odulo v ; 4> 5 /s e si annulla dopo aver percorso un tratto in saluto da lunghezza l ; 1> 7. Calcolare il coefficiente di attrito dinaico. 9. Dato il sistea in figura.5, deterinare l accelerazione con la quale si uovono i corpi di assa 1 ; 0> g e ; 0> 15 g e le tensioni dei fili. I corpi scivolano con coefficiente di attrito µ 1 ; 0> 01 e µ ; 0> 0, entre l inclinazione dei due piani è α ; πc 6 e β ; πc Una cassa di assa ; 10 g si uove sopra una superficie orizzontale scabra e all istante t ; 0 il odulo della sua velocità è v 0 ; 3 /s; il coefficiente di attrito dinaico tra la cassa e la superficie è µ d ; 0>. La cassa è soggetta, oltre che al suo peso e alla reazione della superficie, ad una forza verticale f che la spinge contro la superficie. Si calcoli lo spazio d percorso dalla cassa pria di arrestarsi nei due casi seguenti:

8 D D 44 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE 1 α β Figura.5: Illustrazione dell esercizio 9. l intensità f cresce linearente col tepo, cioè f E 100 N/s; bt dove b E l intensità f cresce linearente con lo spazio percorso a partire dall istante iniziale, cioè f E cx dove c E 1F 5 N/. Nel prio caso la reazione vincolare è R E g G bt e quindi la forza è F EH µ d R EH µ d I g G da cui si ricava, dividendo per la assa l accelerazione in funzione del tepo. Integrando l accelerazione con la condizione che la velocità iniziale sia v 0 e la posizione iniziale sia xi 0JE 0 si ha: vi tje btj v 0 H µ d gt H µ d b t 1 xi tje v 0 t H gµ dt bµ H d 6 t3 F (.1) Calcoliao l istante tk in cui la velocià si annulla: tk EH g b G L g b M G v 0 bµ d che sostituito nell Eq..1 fornisce lo spazio totale percorso xi t K JNE 1F 69. Nel secondo caso l equazione della dinaica è: ẍ EH µ d I g G cxjeh µ d c O x G da cui definendo la variabile z E x G gq c si ha: z EH µ d cz g c P

9 .1. MOTI IN SISTEMI INERZIALI 45 la cui soluzione è quella di un oto aronico. Pertanto xr tst z U g c T AsenR ωt V φswu g c dove le costanti A e φ si ottengono dalle condizioni iniziali, vr 0SXT xr 0ST 0: g v A TZY [ V][ 0 c \ ω \ φ T arctan gω v 0 c ^ v 0 e La condizione che si feri viene da vr t_:s`t 0, da cui senr ωt_av φsbt 1 e quindi xr t_ ST A U g c TZY [ g c \ V [ v 0 ω \ U g c T ^ 03^ T T T T T c c c 11. Un blocco di assa 1 g si uove con velocità v 10 /s su un piano orizzontale liscio. Dall istante t 0 0 in poi il blocco si viene a trovare su un altro blocco di assa M 10 g, inizialente fero, che a sua volta può scorrere su un piano orizzontale liscio. Tra i due blocchi c è attrito e il coefficiente di attrito dinaico fra le superfici è µ d 1. Il blocco di assa M ha una lunghezza sufficienteente grande da 0^ contenere tutto il oto di. Deterinare: la velocità coune dei due blocchi dopo che la loro velocità relativa si è annullata; la lunghezza percorso dal blocco di assa sul blocco M pria di ferarsi; il tepo necessario perché questo accada. 1. Un alpinista di assa = 80 g, assicurato a una corda di lunghezza l 0 = 4, cade liberaente lungo la verticale da una quota h = sopra il punto in cui la corda è ancorata a una parete rocciosa. Considerando la corda coe una olla di costante elastica T 4^ 9 d 10 3 N/, si calcoli di quanto si allunga la corda entre arresta la caduta dell alpinista, la forza assia che la corda esercita sull alpinista e l intervallo di tepo tra l entrata in tensione della corda e l arresto dell alpinista. L alpinista, assiilabile ad un punto ateriale, cade liberaente fino a quando la corda non si srotola copletaente, ovvero per un tratto pari a l 0 V h e quindi, acquista la velocità di odulo v 0 Te gr l 0 V hs. A questo

10 h 46 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE punto la corda entra in tensione coportandosi coe una olla. L equazione della dinaica, avendo orientato il sistea di riferiento verso l alto e presa l origine nel punto in cui la corda entra in tensione, è: ẍ fg x g g fg h x i g j ovvero ponendo z f x i g si ha z flg z che ha coe soluzione z tnof Asen ωt i φn e quindi x t nf Asen ωt i φnpg che deve soddisfare alle condizioni iniziali x 0nf A fg tgφ fg g j gω v 0 i v 0 ω g 0 e v 0nfg v 0 e quindi pertanto il punto più basso raggiunto dall alpinista, che coincide con il punto in cui viene arrestata la sua discesa, si ha quando il seno vale 1 ovvero quando ωtqri φ f π e quindi tq f 0s 1 s. In questo istante la coordinata x vale x tq ntf A g g fug 1s 56, il che indica un allungaento di 1s 56 della corda. In tale punto la forza esercitata è assia essendo assia l elongazione e vale in odulo v x tq nwvxf 7s 64 y 10 3 N. 13. Un blocco di assa M 1 = 10 g è fero, appoggiato su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µ s = 0.8. Un blocco di assa = 1 g va incontro ad 1 uovendosi con coefficiente di attrito dinaico µ d = 0.. Fra i due blocchi è interposta una olla di assa trascurabile, lunghezza a riposo l 0 = 1 e costante elastica = 100 N/. All istante t = 0 la distanza fra i due blocchi è pari a l 0 e il blocco si uove con velocità v 0. Deterinare il assio valore di v 0 per cui 1 resta fero e a che distanza da 1. Il blocco 1 riane fero a causa dell attrito fino a quando la forza esterna non raggiunge la forza di attrito statico assia, ovvero µ s 1 g. La forza esterna è quella elastica dovuta alla copressione della olla e quindi affinché rianga fero la copressione non deve superare il valore x f µ s 1 g.

11 {.1. MOTI IN SISTEMI INERZIALI 47 Ci aspettiao che la copressione della olla sia una funzione crescente della velocitá iniziale di v 0 e quindi alla copressione assia corrisponderà la velocità v 0 assia. Ricaviao dunque la copressione della olla in funzione della velocità iniziale. L equazione del oto di è z x z µ d g { ẍ da cui x t}{ z µ d g~ Asenωt φ. Iponendo le condizioni iniziali, x 0}{ 0 e v 0}{ v 0 si ha: tgφ { µ d gω v 0 A { µ d g v 0 ω da cui l accorciaento assio è x { x ax}{ z µ d g~ A. Utilizzando la relazione ricavata sopra, x { µ s 1 g~, si ha da cui µ d g µ s 1 g v 0 { A z µ d g che quadrata fornisce la assia velocità: da cui v 0 { v 0 { µ s 1 g 1 µ s g µ s 1 g µ d g 1 µ s µ d g 1 µ s ovvero v 0 { 8 /s. Assuendo questa coe velocità iniziale lo spazio percorso x da x è µ dƒ x ax}{ z µ d g~ A { { z e quindi la distanza tra i due blocchi è d l 0 x ax}w{ 1 9 c. Il tepo ipiegato è tale che il seno sia 1 ovvero ωt a φ { π~ t { 0 15s

12 48 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE 14. Due blocchi di assa 1 = g e = 3 g sono disposti coe in figura.6. Tra il blocco 1 e la parete l attrito è trascurabile così coe tra i due blocchi. C è invece attrito tra il blocco e il paviento in odo da assicurare l equilibrio del sistea: il valore µ s del coefficiente di attrito statico è quello inio affinché si realizzi l equilibrio. Calcolare tale valore. Inoltre, in queste condizioni, si applica su una forza costante di odulo F = 10 N diretta orizzontalente verso sinistra. Calcolare la reazione vincolare esercitata dalla parete sul blocco 1 e la forza di attrito statico (α = πˆ 6). 1 α Figura.6: Illustrazione dell esercizio 14.. Sistei non inerziali Coe visto nel prio capitolo, la relazione tra l accelerazione a in un sistea inerziale e quella aš in un sistea non inerziale è: a aš Œ a tr Œ a Co e a tr A 0 Œ d ω dt Ž rš Œ a Co ω Ž vš ω Ž ω Ž rš

13 .. SISTEMI NON INERZIALI 49 coe visto nell equazione Dal principio F a, si ha a a a tr a Coš F F f itt dove, aggiungendo il terine F f itt di forze fittizie a quelle reali F, possiao continuare a scrivere il principio di Newton anche nei sistei non inerziali. 15. Un autoobile percorre in pianura una curva ad angolo retto di fora circolare lunga 150 entre il tachietro segna costanteente 7 /h. Il guidatore percepisce una forza centrifuga. Calcolare il valore di questa forza centrifuga espriendola in terini della sua forza peso. 3 1 Figura.7: Illustrazione dell esercizio Un disco di graofono (chiaato long playing ) gira in un piano orizzontale alla velocità angolare costante di 33 giri al inuto. Si osserva che, disponendo sul disco una onetina ad una distanza dall asse di rotazione inferiore ai 10 c essa vi riane attaccata ruotando solidalente al disco. Calcolare il coefficiente di attrito statico. Sul punto agisce la forza peso equilibrata dalla reazione vincolare del disco e, se ci si ette nel sistea che ruota solidalente al disco, dobbiao

14 50 CAPITOLO. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE considerare la forza fittizia che in questo caso è F f itt œ ω ž Ÿ ω ž r œ ω r da cui l equazione della statica è ω r 0 œ µ s g avendo scritto la forza di attrito assio che corrisponde a r 0 = 10 c. Pertanto ω µ s œ g r 0 œ 0 1 dove abbiao usato la relazione ω œ πν. 17. Nel sistea di pulegge in figura.7 i valori delle asse sono 1 œ 0 1 g, œ 0 g e 3 œ 0 3 g. Trascurando l attrito, le asse delle pulegge e delle funi calcolare l accelerazione di 3.