Equazioni delle curve di Lissajous

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1 Equazioni delle curve di Lissajous Danilo Berta aprile 203 Indice Introduzione 2 2 Sistea oscillante canonico 5 3 Soluzione del sistea canonico per = ω Casi particolari Soluzione del sistea canonico per ω 2 = n con n intero 0 4. Casi particolari Soluzione del sistea canonico per ω 2 = n con n ed interi 2 5. Casi particolari Proprietà di continuità delle funzioni y k 8 7 Cenno al caso in cui il rapporto ω 2 è irrazionale 22 8 Definizione e proprietà della pseudo-funzione di Lissajous 23 9 Appendice - Classi di soluzioni dell equazione T N cos θ = cosθ 26

2 Introduzione Le figure piane di Lissajous sono delle curve bidiensionali ottenute dalla coposizione di due oti aronici aventi due distinte frequenze di oscillazione su due assi cartesiani ortogonali. Ad esepio, il vettore risultante dalla soa vettoriale di due capi elettrici ortogonali E t e E y t oscillanti con differenti frequenze sui due assi: Et = E t + E y t produce una curva che è appunto una figura di Lissajous. Consideriao ora un sistea coposto da due olle che oscillano con frequenza differente sui due assi cartesiani ed y. Ponendo k, k y le costanti elastiche e, y le asse delle olle che si uovono rispettivaente sull asse e sull asse y. Le equazioni del oto sono: ẍt = k t ÿt = ky y yt Sia le equazioni del oto, soluzioni della : k t = A sin k 2 t + B cos t ky ky yt = C sin y t + D cos y t che la curva odografa del oto descritta dal vettore velocità vt = ẋt, ẏt le cui coponenti sono espriibili coe: k ẋt = k 3 A cos k t B sin t ky ky ky ẏt = y C cos y t D sin y t danno origine a delle figure di Lissajous. Gli esepi ostrano coe, nel caso più generale, un oto aronico sia espriibile coe soa di funzioni seni e coseni del tipo: 4 ft = A, sinω t + ϕ + A 2, sinω t + ϕ A n, sinω t + ϕ n + B, cosω t + θ + B 2, cosω t + θ B, cosω t + θ Un sistea aronico è quindi rappresentabile coe: t = A, sinω t + ϕ + A 2, sinω t + ϕ A n, sinω t + ϕ n + B, cosω t + θ + B 2, cosω t + θ B, cosω t + θ 5 yt = A,y sinω y t + ϕ + A 2,y sinω y t + ϕ A r,y sinω y t + ϕ n + B,y cosω y t + θ + B 2,y cosω y t + θ B s,y cosω y t + θ 2

3 Figura : Un esepio di curva di Bowditch, una generalizzazione della curva di Lissajous. L equazione paraetrica della curva è: t = 2.00 cos0.99 t; yt = 0.70 sin3.0 t +.00 cos5.05 t Caso più generale della 5 sono le cosiddette curve di Bowditch che possono essere scritte nella fora: t = A cosω t + ϕ 6 yt = A,y sin,y t + ϕ + A 2,y cosω 2,y t + ϕ 2 essendo ω,,y, ω 2,y, ϕ, ϕ, ϕ 2, A, A,y e A 2,y delle costanti arbitrarie. Le equazioni 6 sono una generalizzazione delle 4 che trattereo nella parte finale del presente articolo. Le 6 sono riconducibili alle 4, che danno origine alle curve di Lissajou, nel caso in cui,y = ω 2,y. Nel grafico di Figura è rappresentata la curva di Bowditch definita dalla Nella letteratura le curve di Lissajous sono chiaate anche curve di Lissajous-Bowditch, senza fare esplicitaente la differenza tra sistea 5 e 6. Abbiao arbitrariaente deciso in questa sede di distinguere i due sistei per aggior chiarezza espositiva. Ricordiao che Nathaniel Bowditch, 26/03/773 Sale, Massachusetts; 6/03/838 Boston, Massachusetts fu il prio a studiare queste tipologie di curve per descrivere il oto apparente della Terra vista dalla Luna. Jules Antoine Lissajous 04/03/822 Versailles ; 24/06/880 Plobières-les-Bains ha poi ripreso l argoento nel saggio Méoire sur l étude optique des ouveents vibratoires nel

4 Figura 2: Curva di Lissajous, la cui equazione paraetrica è t = 0 cos45 t; yt = 0 cos46 t + π 5 6 avendo posto: 7 A = A,y = 0.70 A 2,y = +.00 ω = +0.99,y = +3.0 ω 2,y = ϕ = ϕ = ϕ 2 = 0 Mostrereo nel prossio paragrafo coe un sistea del tipo rappresentato in 5 sia sepre riconducibile ad un altro sistea del tipo: t = A cos t 8 yt = A y cosω 2 t + ϕ che chiaereo sistea oscillante canonico. La 8 rappresenta una o più funzioni y i = f i dove i =, 2,... scritte in fora paraetrica, essendo t il paraetro, interpretato in genere coe tepo. Nel seguito chiaereo soluzione dei sistea canonico le funzioni scritte in fora esplicita y i = f i con i =, 2,... che si ottengono dalla 8 eliinando il paraetro t. E abbastanza iediato ricavare la seguente rappresentazione esplicita della 8: 9 y = A y cos ω2 arccos 4 A + ϕ

5 Figura 3: Curva di Lissajous, con equazione paraetrica è t = 0 cos5 t; yt = 0 cos20 t + π 5 ; la fora esplicita yt = 0 cos4 arccos 0 e la fora paraetrica coincidono perfettaente La 9, seppur corretta, non è sufficiente a giustificare curve coplesse coe quelle ostrate in Figura 2. Si possono trovare dei casi di particolari curve di Lissajous per le quali la 9 dà piena giustificazione della curva prodotta. Ad esepio: t = 0 cos5 t 0 yt = 0 cos20 t è perfettaente rappresentata dall equazione: yt = 0 cos4 arccos 0 coe ostrato dalla Figura 3 in cui i due grafici a linea continua e a linea spezzata si sovrappongono. Tuttavia, la 9, definita nell intervallo A A rappresenta una singola curva, entre appare evidente che una generica curva di Lissajous è forata dalla concatenazione di olteplici curve nello stesso intervallo. L obiettivo del presente articolo sarà proprio quello di ricavare le equazioni di tali olteplici curve. 2 Sistea oscillante canonico Mostriao coe un qualsiasi sistea oscillante del tipo: t = r i= 2 a,i cos t + ϕ i + s j= b,j sin t + ϕ j yt = t h= a y,h cosω 2 t + ϕ h + u k= b y,k sinω 2 t + ϕ k 5

6 possa essere ridotto ad un sistea oscillante canonico, rappresentato da: t = A cos t 3 yt = A y cosω 2 t + ϕ Nella 2 si considera che: a,i b,j a y,h b y,k e che ϕ i ϕ j ϕ h ϕ k per qualunque valore degli indici i, j, h e k e che ω 2. Entrabe le equazioni della 2 sono della fora: r s 4 ft = a i cosω t + ϕ i + b j sinω t + ϕ j i= Applichiao le forule di addizione e sottrazione delle funzioni trigonoetriche: sinα ± β = sinα cosβ ± cosα sinβ 5 cosα ± β = cosα cosβ sinα sinβ. alla 4, che diventa: j= 6 ft = r s a i cos ωt cos ϕ i sin ωt sin ϕ i + b j sin ωt cos ϕ j +cos ωt sin ϕ j i= j= L ultia equazione, riscritta raccogliendo a fattore coune le funzioni cosωt e sinωt diventa: r s s r 7 ft = cos ωt a i cos ϕ i + b j sin ϕ j +sin ωt b j cos ϕ j a i sin ϕ i i= j= j= i= Poniao: 8 A = r i= a i cos ϕ i + s j= b j sin ϕ j B = s j= b j cos ϕ j r i= a i sin ϕ i Essendo a i, b j, ϕ i, ϕ j delle costanti, anche A e B sono delle costanti. riscrivere coe: La 4 si può 9 ft = A cos ωt + B sin ωt Ora, è sepre possibile trovare una costante C ed un angolo ϕ tale che la 9 si possa scrivere coe: 20 ft = C cos ωt cos ϕ C sin ωt sin ϕ avendo posto: 2 A = C cos ϕ B = C sin ϕ 6

7 Dall ultia equazione è possibile ricavare C e ϕ in funzione di A e B: B A = tan ϕ 22 A 2 + B 2 = C 2 Essendo entrabe le funzioni t ed yt del tipo 4, le equazioni del sistea oscillante 2 possono riscriversi coe: t = A cos t + ϕ 23 yt = A y cosω 2 t + ϕ 2 con ω 2 e ϕ ϕ 2. E possibile ora eliinare ϕ dal sistea 23 con una seplice trasforazione della variabile t t δ deterinando la costante δ di odo che: 24 t δ + ϕ = t da cui ne discende che δ = ϕ ossia δ = ϕ. In questo odo il sistea 2 è stato ridotto al un sistea canonico coe espresso dalla 3. 3 Soluzione del sistea canonico per = ω 2 Proporreo due distinti etodi di soluzione nel caso particolare in cui = ω 2. Nel prio etodo si parte dal sistea canonico scritto in fora paraetrica; la 3, nel caso in cui = ω 2 ω, diventa: t = A cosωt 25 yt = A y cosωt + ϕ Nel secondo etodo si parte dalla fora cartesiana del sistea canonico. In questo caso, ponendo = ω 2 ω, la 9 diventa: 26 y = A y cos arccos + ϕ Prio etodo Utilizzando le forule di addizione delle funzioni trigonoetriche 5, la 25 diventa: t = A cosωt 27 yt = A y cos ωt cos ϕ sin ωt sin ϕ Nella 27 oltiplichiao la pria equazione per A cos ϕ e la seconda equazione per A y. Otteniao: A cos ϕ = cos ωt cos ϕ 28 y A y = cos ωt cos ϕ sin ωt sin ϕ 7 A

8 Soando le due equazioni, si ottiene: 29 sin ωt = cos ϕ y sin ϕ A A y Considerando poi che dalla 27 si ha: 30 cos ωt = A si può calcolare: 3 sin 2 ωt + cos 2 ωt = cos ϕ sin 2 y ϕ A A y A 2 Sviluppando la 3 si ha: 32 cos 2 ϕ 2 A 2 + y2 A 2 2 y cos ϕ + sin 2 ϕ 2 y A A y A 2 = = sin 2 ϕ che si può seplificare tenendo conto che sin 2 ϕ + cos 2 ϕ =, ottenendo: 33 2 A 2 + y2 A 2 2 y cos ϕ = sin 2 ϕ y A A y quest ultia equazione può essere scritta esplicitando la variabile y, ottenendo: 34 y = A y A cos ϕ ± A y 2 Secondo etodo Sviluppando la 26 utilizzando le solite forule 5 si ha: 35 y = A y cosarccos A cos ϕ A y sinarccos A sin ϕ Tenendo conto che, per un generico angolo α: 36 sinarccos α = ± α 2 Considerando al posto di α, sostituiao la 36 nella 35 e portiao la radice quadrata alla destra: 37 y Ay A cos ϕ = A y 2 Quadrando entrabi i ebri dell ultia equazione, si ottiene: 38 y A2 y A 2 cos 2 ϕ 2 y cos ϕ Ay = A 2 y A2 y A A 2 2 sin 2 ϕ 8

9 Sviluppando il terine a destra e raccogliendo il terine A2 y A 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = la equazione 38 diventa: 39 y A2 y A 2 2 y cos ϕ Ay = A 2 y sin 2 ϕ A Dividendo quest ultia equazione per A 2 y si ottiene: 2, tenuto conto che 40 2 A 2 + y2 A 2 2 y cos ϕ = sin 2 ϕ y A A y Quest ultia equazione coincide con la Casi particolari La 40 rappresenta l equazione di una ellisse ruotata rispetto all asse di un angolo δ dato da: A A y 4 tan2δ = 2 cos ϕ A 2 A 2 y e seiassi α e β espriibili ediante le forule: α 2 = cos 2 sin 2 ϕ δ 42 A 2 2 cos δ sin δ β 2 = sin 2 sin 2 ϕ δ cos δ sin δ A 2 cos ϕ + sin2 δ A A y A 2 y cos ϕ + cos2 δ A A y A 2 y La verifica delle 4, 42 può essere svolta applicando una trasforazione di coordinate rotazione degli assi di un angolo δ: = X cosδ Y sinδ 44 y = X sinδ + Y cosδ alla equazione: 45 a 2 + b y + c y 2 + d = 0 che è della fora 40 dove: 46 a = A 2 b = 2 A A y cos ϕ c = A 2 y d = sin 2 ϕ 9

10 Consideriao ora alcuni casi interessanti, che si deducono dalla 40 per particolari valori dell angolo di fase ϕ. Caso ϕ = 0 e ϕ = π In questi casi si ha sin ϕ = 0 e cos ϕ = ±. L equazione 40 diventa: 47 2 A 2 + y2 A 2 2 y = 0 y A A y Il segno vale nel caso ϕ = 0; il segno + vale nel caso ϕ = π. La 47 si può scrivere nella fora: 48 A y A y 2 = 0 Esplicitando y in funzione di, otteniao le equazioni della retta: 49 y = ± A y A Caso ϕ = π 2 e ϕ = 3π 2 In questi casi si ha sin ϕ = ± e cos ϕ = 0. L equazione 40 diventa: 50 2 A 2 + y2 A 2 y = che rappresenta l equazione di una ellisse nella fora canonica, di seiassi A e A y. Nel caso in cui A = A y A, la 50 si trasfora nell equazione di una circonfrenza di centro nell origine degli assi e raggio A y 2 = A 2 4 Soluzione del sistea canonico per ω 2 La 9 quando ω 2 = n si riscrive coe: 52 y = A y cosn arccos A + ϕ Sviluppando l equazione utilizzando le 5 si ha: = n con n intero 53 y = A y cosn arccos A cos ϕ A y sinn arccos A sin ϕ Si definiscono i Polinoi di Chebyshev di pria specie: 54 T n cos θ = cosn θ 0

11 e si definiscono i Polinoi di Chebyshev di seconda specie: 55 U n cos θ = Tra i due polinoi esiste la seguente relazione: 56 d d T n = n U n sinn θ sin θ = cos θ Coe si può verificando calcolando la derivata della 54 e confrontando il risultato ottenuto con la 55. La 53 diventa: 57 y = A y T n cos ϕ A y U n sin arccos sin ϕ A A A Tenendo conto della 36, l equazione precedente diventa: 58 y = A y T n cos ϕ A y U n 2 A A che rappresenta l equazione cercata scritta in fora esplicita. Per riscriverla in fora iplicita, poniao per seplicità T n = T n A e U n = U n A e portiao il terine A y T n A cos ϕ a prio ebro, quadriao e dividiao tutto per A 2 y; si ottiene la seguente equazione: y y T n cos ϕ + Tn 2 cos 2 ϕ + Un 2 2 sin 2 ϕ = 0 A y A 2 y Volendo far coparire solo il polinoio di Chebishev di pria specie T n, possiao utilizzare la relazione 56. In questo caso, la 58 diventa: 60 y = A y T n cos ϕ A y n dt n d entre la 59 diventa: 6 y 2 A 2 y 4. Casi particolari 2y A y T n cos ϕ + T 2 n cos 2 ϕ + n 2 2 A 2 A 2 sin ϕ 2 dtn 2 d A 2 sin 2 ϕ = 0 Consideriao ora alcuni casi interessanti, che si deducono dalla 58 per particolari valori dell angolo di fase ϕ.

12 Caso ϕ = 0 e ϕ = π In questi casi si ha sin ϕ = 0 e cos ϕ = ±. L equazione 58 diventa: 62 y = ±A y T n A La 62 nel caso n =, tenendo conto che T = si riduce alla 49. Per n = 2, tenendo conto che T 2 = 2 2 otteniao due parabole: 63 y = ±2 Ay A 2 2 A y Caso ϕ = π 2 e ϕ = 3π 2 In questi casi si ha sin ϕ = ± e cos ϕ = 0. L equazione 59 diventa: 64 y 2 A 2 y + U 2 n A 2 A 2 = U 2 n A Nel caso n =, tenendo conto che U 0 = la 64 si riduce alla 50. Nel caso n = 2, tenendo conto che U = 2 la 64 diventa: 65 y = ±2 Ay A 2 A 2 All auentare di n otteniao due funzioni una con il segno + e l altra con il segno - nelle quali la variabile copare a potenze di grado sepre più elevato. 5 Soluzione del sistea canonico per ω 2 = n con n ed interi La 9 quando ω 2 = n/ si riscrive coe: 66 y = A y cos n arccos A + ϕ Ponendo per coodità: 67 θ = arccos A La 66 diventa: 68 y = A y cosn θ + ϕ Sviluppando l ultia equazione, tenendo conto delle 5, si ha: 69 y = A y cosn θ cos ϕ A y sinn θ sin ϕ 2

13 Tenendo conto delle equazioni di definizione dei polinoi di Chebyshev 54 e 55, l ultia equazione si può riscrivere coe: 70 y = A y T n cos θ cos ϕ A y U n cos θ sin θ sin ϕ Ora, considerando che: 7 sinθ sin θ = U cos θ θ sin Ricavando sin θ dall ultia equazione si ha: θ sinθ 72 sin = U cos θ e sostituendo nella 70 si ottiene: 73 y = A y T n cos θ cos ϕ A y Un cos θ U cos θ sin θ sin ϕ Considerando la definizione di θ data dalla 67 e tenendo presente la 36, l ultia equazione si riscrive: 74 y = A y T n cos θ cos ϕ A y Un cos θ 2 U cos θ La funzione cos θ, che copare quale argoento dei polinoi di Chebyshev di pria e seconda specie, può essere espressa coe funzione di cos θ risolvendo l equazione algebrica: 75 cosθ = T cos θ che deriva dalla 54 considerando al posto di n ed effettuando la sostituzione θ θ. La 75 è da considerarsi una equazione algebrica di ordine nella variabile cos θ che - una volta risolta - perette di espriere cos θ in funzione di cos θ. Tali equazioni algebriche possono essere risolte per via analitica solo nel caso = 2, 3, 4. Nell Appendice ostrereo altre classi di soluzioni di tale equazione. Per > 4 sappiao in ogni caso, per il teorea fondaentale dell Algebra, che esistono soluzioni. Per = 2 si ha: 76 cosθ = 2 cos 2 θ 2 Per = 3 si ha: 77 cosθ = 3 cos θ cos3 θ 3 3

14 Per = 4 si ha: 78 cosθ = 8 cos 4 θ 4 8 cos2 θ 4 + La soluzione della equazione 75 può porsi nella fora generica: 79 cos θ = f cos θ, f 2 cos θ,..., f cos θ} volendo in questo odo ettere esplicitaente in evidenza il fatto che esistono soluzioni della 75. Tenendo conto della 79 la 74 rappresenta un insiee di 2 equazioni; ci sono infatti soluzioni che espriono cos θ in funzione di cos θ, a essendoci nella 74 il segno, il nuero totale di equazioni raddoppia, diventando 2. La 74 si può riscrivere quindi coe: 80 y i = A y T n f i cos θ cos ϕ A y Un f i cos θ U f i cos θ 2 A 2 sin ϕ i =, 2,..., Considerando che, per la 67, si ha cos θ = A, l ultia equazione si riscrive in fora esplicita: 8 y i = A y T n f i cos ϕ A y Un f i U f i 2 Avendo posto per brevità: f i A = f i ed i =, 2,...,. Il lettore, volendo, potrà ricavare l equivalente della 8 scritta in fora iplicita in cui la variabile y copare al quadrato o l altra fora equivalente scritta eliinando i polinoi di Chebyshev di seconda specie, utilizzando la relazione 56 e facendo così coparire sono i polinoi di Chebyshev di pria specie e relative derivate. La 8 rappresenta le 2 equazioni cercate nel caso in cui ω 2 = n con n ed interi e con n >. 5. Casi particolari Consideriao ora alcuni casi interessanti, che si deducono dalla 8 per particolari valori di. Innanzi tutto è iediato notare, tenendo conto che U 0 = e che f i cos θ cos θ A, coe la 8 per = si riconduca alla 58. Caso di pari Un caso particolarente interessante è quello in cui è un nuero pari, che scrivereo coe = 2p. Consideriao infatti la equazione 75 scritta nel caso in cui = 2p: 82 cosθ = T 2p cos θ 2p T 2pcos = θ 2p Considerando che, per le proprietà di sietria dei polinoi di Chebyshev: 83 T = T U = U 4

15 si ha, per = 2p: 84 T 2p = 2p T 2p T 2p allora, se, 2,..., p } sono p soluzioni della 82 allora devono anche essere soluzioni, 2,..., p }. La 8 si può riscrivere separando le soluzioni con il + dalle soluzioni con il, ottenendo: y + i = A y T n +f i cos ϕ A y Un +f i U 2p +f i y i = A y T n f i cos ϕ A y Un f i U 2p f i 2 A 2 sin ϕ 2 In entrabe le ultie equazioni, i =, 2,..., p. Tenendo conto sepre delle proprietà di sietria dei polinoi di Chebyshev, le ultie equazioni si riscrivono: y i + = A y T n f i cos ϕ A y Un f i 87 U 2p f i 2 88 y i = n A y T n f i cos ϕ n 2p A y Un f i U 2p f i 2 con i =, 2,..., p. Conviene considerare ora i due casi in cui n è dispari e n è pari. Nel caso in cui n è dispari, le 87 e 88 diventano: y i + = A y T n f i cos ϕ A y Un f i 89 U 2p f i 2 sin ϕ 90 y i = A y T n f i cos ϕ ± A y Un f i U 2p f i A 2 2 E iediato notare che, per n dispari e pari si ha y i + = yi e che le equazioni totali sono 4p = 2, coe previsto nel paragrafo precedente, visto che i =, 2,..., p e che il segno ± raddoppia il nuero delle equazioni. Nel caso in cui n è pari, le 87 e 88 diventano: y i + = A y T n f i cos ϕ A y Un f i 9 U 2p f i 2 sin ϕ 92 y i = A y T n f i cos ϕ A y Un f i U 2p f i A 2 2 E quindi evidente che, per n pari e pari si ha y + i = y i e che le equazioni totali sono solo 2p =, la età rispetto a quanto previsto nel precedente paragrafo, visto che 5

16 i =, 2,..., p e che il segno ± raddoppia il nuero delle equazioni. Ad esepio, nel caso in cui = 2 dalla 8, tenendo conto che dalla 76 si ricava: cos θ 93 f cos θ = + + cos θ = A cos θ 94 f 2 cos θ = + cos θ = A 2 Per n dispari consideriao n 2n +, le 89 e 90 si trasforano nelle quattro equazioni: 95 y = ± A y T 2n+ 2 + U 2n cos ϕ ± A y A 2 U 2 + A + A 2 A 2 sin ϕ Per n pari consideriao n 2n, le 9 e 92 si trasforano nelle due equazioni: 96 y = A y T 2n 2 + U 2n 2 + A cos ϕ ± A y A U 2 + A 2 Considerando che U = 2, la 95 diventa: 97 y = ± A y T 2n cos ϕ ± A y A 2 U 2n 2 + sin ϕ A A entre la 96 diventa: 98 y = A y T 2n 2 + cos 2 ϕ±a y A 2 U 2n 2 + sin ϕ A A Il otivo per cui, con n e pari, il nuero di funzioni y i si diezza, diventa coprensibile se si considera che, da una parte, la 66 ci dice che la funzione che descrive le curve di Lissajous dipende solo dal rapporto ω 2 = n, entre le 8 ci dicono che ci dobbiao aspettare 2ω 2 2 funzioni y i che descrivono tali curve. Ora, posto n = 2q e = 2p: 99 n = 2q 2p = q p l equazione: 00 y = A y cos n arccos + ϕ A 6

17 è equivalente alla seguente: 0 y = A y cos q p arccos + ϕ A Quindi, se la 0 ha 2p funzioni y i i devo aspettare che anche la 00 ne abbia solo 2p significative tra le 2 = 4p che effettivaente la 8 i dice che esistono. 02 Per eglio coprendere il concetto, consideriao il caso più generale in cui: ω 2 = kq kp q p essendo k un nuero che, per i nostri scopi, consideriao intero. Questo significa considerare il nuero razionale p q coe classe di equivalenza forata da coppie ordinate di nueri p i, q i soddisfacenti alla relazione di equivalenza seguente: 03 p, q equivalente p 2, q 2 se p q 2 = q p 2 In altre parole, un nuero razionale, che è sepre espriibile traite il rapporto di due nueri interi, è definito a eno di una costante k che oltiplica sia il nueratore che il denoinatore, coe nella 02. Ne consegue che se il rapporto tra le frequenze è quello della 02, i dovrò aspettare di avere solo 2p equazioni y i e non 2kp, in quanto il fattore k a denoinatore si seplifica con il fattore k a nueratore. Per provare quanto afferato, diostriao una relazione che intercorre tra i polinoi T n. Si ha, per definizione dei polinoi di Chebyshev di pria specie: 04 T nk = cosnk = cosn k = T n cosk = T n T k a anche: 05 T nk = cosnk = cosk n = T k cosn = T k T n dove n e k sono due nueri interi. A parole, il polinoio T nk di grado nk è il polinoio T n avente per argoento il polinoio T k, o anche il polinoio T nk di grado nk è il polinoio T k avente per argoento il polinoio T n. In forula: 06 T nk = T k T n = T n T k Se ora consideriao la 75 scritta sostituendo k, si ha: 07 cosθ = T k cos θ k = T T k cos θ k Effettuando il cabio di variabile = T k cos θ k tale equazione ha soluzioni nella nuova variabile. Sostituendo n nk e k nella 8, si ha: 08 y i = A y T nk f i cos ϕ A y Unk f i U k f i 2 7

18 che, tenendo conto della 06 e della 56 diventa: 09 y i = A y T n T k f i cos ϕ A y n d d T nt k f i d d T T k f i 2 Quindi, anche per la 08 possiao effettuare la sostituzione = T k f i ottenendo: 0 y i = A y T n i cos ϕ A y n d d T n i d d T i 2 dove i sono le soluzioni della 07, il che diostra che il nuero di y i di equazioni cercate non è 2k a solo 2. Riassuendo: nel caso in cui ω 2 = n non avendo n e divisori couni, allora il nuero di funzioni y i che descrivono le curve di Lissajous è 2 e le equazioni sono date dalle 8. Nel caso di pari e n dispari sono valide le 2 equazioni seplificate 89 e Proprietà di continuità delle funzioni y k In questo paragrafo vogliao ettere in evidenza alcune proprietà delle funzioni y k che eglio le caratterizzano coe un unica entità da considerare quindi non singolarente a coe un unico insiee.. Doinio e codoinio delle funzioni y k Iniziao a studiare il doinio e codoinio delle funzioni y 2 k coe definite dalle equazioni in fora paraetrica 3. Si osservi che, essendo la funzione coseno liitata tra ed +, la generica y k si sviluppa nel rettangolo piano copreso tra A +A e A y y +A y. Ora, la funzione coseno varia tra e + quando l angolo argoento del coseno varia tra π e 2π e ultipli di 2π; considerando che l argoento del coseno nella 3 è π allora π t 2 π e ultipli di 2π. Tenendo conto che, nelle nostre ipotesi in cui ω 2 allora deve essere = r e ω 2 = r n, essendo r un nuero arbitrario che possiao porre pari a senza perdere di generalità. Possiao concludere quindi che nella 8, = n ciascuna delle funzioni y k con k =, 2,..., sono definite nell intervallo A + cui corrisponde l intervallo k π t k + π con k =, 2,...,. Possiao quindi 2 Abbiao cabiato l indice i della 8 con l indice k al fine di evitare possibili confusioni con l unità iaginaria 8

19 scrivere, per ciascuna funzione y k una tabellina del tipo: y A +A π 2π y 2 A +A 2π 3π... y 2 A +A 2π 2π 2 + π in cui vogliao ettere in evidenza il doinio di ciascuna funzione y k, sia per il paraetro t che per la variabile. Vediao quindi che, se ciascuna funzione nel doinio teporale è definita nell intervallo di apiezza π, le funzioni y k considerate nel loro insiee sono definite in un intervallo di apiezza 2π e si ripetono in odo periodico in tale intervallo. Abbiao quindi trovato la pria proprietà che possiao attribuire all insiee delle funzioni y k : di essere definite nell intervallo A +A e di essere periodiche di periodo 2π nel paraetro t, qualunque sia il valore del paraetro. 2. Continuità delle funzioni y k La continuità delle funzioni y k all interno dell intervallo di definizione deriva dalla continuità dei polinoi di Chebyshev costituenti le funzioni stesse. Resta da capire il coportaento delle funzioni nei punti estrei dell intervallo ±. Per diostrare la continuità delle funzioni anche nei punti estrei, utilizzereo due etodi differenti. Il prio etodo consiste nell osservare che, nella equazione 8, portando la radice quadrata a secondo ebro ed elevando a quadrato entrabi e ebri, si eliina il segno ± e la funzione che ne deriva - nella quale la y copare al quadrato - è una funzione continua in tutti i punti del doinio di definizione A +A copresi gli estrei = ±A. Tale funzione è inoltre una curva copletaente chiusa, la cui tangente nei punti = ±A è parallela all asse y tangente infinita. Se consideriao che il ragionaento vale per tutti i valori di k =, 2,...,, le funzioni y k forano un insiee di curve chiuse e continue nell intervallo di definizione. Quindi le funzioni y k considerate nel loro insiee rappresentano una curva chiusa e continua nell intervallo di definizione A +A, estrei copresi. Il secondo etodo è più elaborato, a offre il vantaggio di dare qualche inforazione aggiuntiva relativaente al verso di percorrenza delle curve. A tale scopo, notiao che nella 8 ponendo = ± il secondo terine a secondo ebro si annulla sepre, ossia y + k ± = y k ±. Possiao quindi considerare solo le y+ k ed estendere il ragionaento che segue alle y k o viceversa. Iniziao a considerare y+ k ed indaghiao il coportaento delle funzioni y + k agli estrei dell intervallo di definizione sull asse delle ascisse dove = ±A. Tenendo conto che le y + k dipendono solo dal rapporto A possiao considerare al posto della la variabile A, che nell intervallo di definizione A A varia tra ed, e studiare il coportaento delle y + k per = A = ±. Iniziao con il considerare il solo caso =. Al fine di ricavare il valore delle funzioni f k definite nelle 79, soluzioni della 75, per = +, consideriao che dalla 9

20 67, si ha cos θ =, ossia θ = 2 k π con k = 0, ±, ±2,... La 75 diventa allora: θ 2 T cos = Considerando che θ = 2 k π allora cosk 2π dove k =, 2,..., sono le soluzioni di quest ultia equazione. Tenendo conto della 79 possiao scrivere: 3 f k cos θ = f k + = cos θk = cosk 2π k =, 2,..., In odo del tutto analogo, per il caso in cui =, considerando che si ha cos θ = quando θ = 2k + π con k = 0, ±, ±2,..., si ha: θk 4 f k cos θ = f k = cos = cos2k + π k =, 2,..., Nella 8, ponendo = ± e tenendo conto che U n ± ed U ± sono liitati, si annulla il secondo terine a secondo ebro e si ha: 5 y + k ± = A y T n f k ± cos ϕ Riprendiao in considerazione il solo caso =. L ultia equazione diventa: 6 y + k + = A y T n cos k 2π cos ϕ Dalla trigonoetria è noto che cos α = cos α = cos2π α. Nel nostro caso α = k 2π, quindi 2π α = 2π k. Si ha quindi che: 7 y + k + = y+ k + Ora, se è pari, poniao = 2p, allora tutti gli angoli nel prio quadrante hanno un corrispondente angolo nel quarto quadrante il cui coseno è uguale; analogaente, tutti gli angoli nel secondo quadrante hanno un corrispondente angolo nel terzo quadrante il cui coseno è uguale. Quando l angolo coincide con π k = /2 p e con 2π k = 2p, l angolo corrispondete è identicaente uguale rispettivaente a π e 2π, punti nei quali si ha: 8 9 f p + = cos π = f 2p + = cos 2π = + e quindi, corrispondenteente: 20 2 y + p + = A y T n cos ϕ = A y n cos ϕ y + 2p + = A y T n + cos ϕ = A y cos ϕ 20

21 Se invece è dispari, poniao = 2p+, allora p angoli nel prio quadrante hanno un corrispondente angolo nel quarto quadrante il cui coseno è uguale; analogaente, p angoli nel secondo quadrante hanno un corrispondente angolo nel terzo quadrante il cui coseno è uguale. Riane fuori l angolo 0 2π k = 2p + per il quale: 22 f 2p+ + = cos 2π = + Riassuendo: se è pari è possibile unire nel punto = tutte le 2 2 curve y + k a forare un unica curva continua tranne che per due valori che rappresentano il punto di partenza e di arrivo della curva stessa; se è dispari è possibile unire nel punto = tutte le 2 curve y + k che forano una unica curva continua tranne che per un valore che rappresentano il punto di partenza o di arrivo della curva stessa. Il restante punto di arrivo o di partenza vedreo che in questo caso si trova nel punto di ascissa =. Nel caso in cui = la 5 diventa: 23 y + k = A y T n cos2k + π cos ϕ In odo analogo, sepre considerando che cos α = cos α = cos2π α, dove, nel nostro caso, α = 2k + π 2 k π, quindi 2π α = = 2 k +π. Si ha quindi che: 24 y + k = y+ k Se è pari, poniao sepre = 2p, tenendo conto che gli angoli π 2k+ 2p non corrispondono ai a ultipli interi di π, tutti gli angoli nel prio quadrante hanno un corrispondente angolo nel quarto quadrante il cui coseno è uguale; analogaente, tutti gli angoli nel secondo quadrante hanno un corrispondente angolo nel terzo quadrante il cui coseno è uguale e non riangono angolo disaccoppiati. Se invece è dispari, poniao sepre = 2p +, allora tutti gli angoli nel prio quadrante hanno un corrispondente angolo nel quarto quadrante il cui coseno è uguale; analogaente, tutti gli angoli nel secondo quadrante hanno un corrispondente angolo nel terzo quadrante il cui coseno è uguale. L unico angolo che riane non accoppiato è π corrispondente a k = p. In questo punto abbiao quindi: 25 f p = cos π = Riassuendo: se è pari è possibile unire nel punto = tutte le 2 curve y + k a forare un unica curva continua; se è dispari è possibile unire nel punto = tutte le 2 curve y + k che forano una unica curva continua tranne che per un valore che rappresentano il punto di partenza o di arrivo della curva stessa. Il restante punto di arrivo o di partenza abbiao diostrato poc anzi che si trova nel punto di ascissa = +. Ora, visto che il ragionaento lo possiao ripetere identico per y k si può concludere che i punti non accoppiati nella y + k vengono accoppiati con gli stessi punti y k ; non 2

22 riangono quindi punti aperti, da cui si deduce che le funzioni y k considerate nel loro insiee rappresentano una curva chiusa e continua nell intervallo di definizione A +A, estrei copresi. Si deduce anche qualche inforazione aggiuntiva sul verso di percorrenza della curva di Lissajous; al variare di t tra π e 2π + π o equivalenteente tra 0 e 2π pria vengono percorse tutte le curve y k e poi tutte le curve y + k o viceversa. L iportante è che tutte le y k sono concatenate tra di loro e possono essere percorse senza discontinuità. Analogaente per le y + k. Le y+ k e y k sono tra di loro collegate nei punti = ± che abbiao precedenteente ricavato, cosa che - coe già detto - garantisce la continuità della curva ed il fatto che sia una curva chiusa. 7 Cenno al caso in cui il rapporto ω 2 è irrazionale Nelle applicazioni pratiche, ad una qualunque grandezza è sepre assegnato un nuero razionale, ossia un nuero dotato di un nuero finito di cifre dopo la virgola che, coe tale, è sepre riconducibile ad una frazione, detta frazione generatrice. Il caso in cui il rapporto ω 2 sia un nuero irrazionale è da considerarsi quindi più di carattere teorico che pratico. A tale scopo, supponiao che ω 2 = π. Per il nuero π - coe qualunque altro nuero irrazionale - è sepre possibile trovare frazioni che eglio approssiano il valore di π per valori nuerici crescenti del nueratore e denoinatore della frazione. Ad esepio: = = = = Ora, nel caso in cui si utilizzi l ultia approssiazione per π, ossia: 30 π l equazione 8 dice che esistono = , ossia circa tredici iliardi e ezzo di curve ognuna delle quali oscilla nell intervallo A +; e si deve tenere conto che increentando il grado di approssiazione, si increenta il nuero di curve che giacciono nel rettangolo di lati A +A e A y y +A y. Quindi, a tendere, ci si iagina di ottenere un insiee di curve che coprono tutto il rettangolo. Un grafico d esepio, ottenuto con l approssiazione π = è quello ostrato nella Figura 4 22

23 Figura 4: Curva di Lissajous ottenuta per ω 2 = che rappresenta l approssiazione di π alla sesta cifra deciale. L equazione paraetrica è t = 5 cos3 t; yt = 5 cos355 t + π 5 8 Definizione e proprietà della pseudo-funzione di Lissajous Per coodità, riscriviao di seguito le equazioni delle curve di Lissajous piane cui siao giunti sono ad ora. Caso = ω 2 = ω 3 y = A y cos ϕ A ± sin ϕ 2 A 2 Caso ω 2 = n 32 y = A y T n A cos ϕ A y U n A Caso ω 2 = n 33 y i = A y T n f i A cos ϕ A y U n f i A U f i A 2 A 2 sin ϕ 2 Quest ultia equazione si può anche scrivere equivalenteente usando solo il polinoi T coe: 34 y i = A y T n f i cos ϕ A y d d T nf i n d d T f i 2 23

24 avendo posto nella 34 per seplicità f i = f i A, essendo le f i le soluzioni della equazione algebrica: 35 cosθ = T cos θ θ T = cos e dove i =, 2,...,. La 33 o la sua equivalente 34, essendo quella più generale, contiene anche la 32. La 3 è a sua volta un caso particolare della 32. Definiao la funzione ipropria di Lissajous coe: 36 L n,,ϕ = T n f i cos ϕ U n U 2 sin ϕ T f i = cos θ i =, 2,..., Notiao che la L n,,ϕ è in un insiee di funzioni, da cui l aggettivo ipropria, che ad ogni valore di fa corrispondere più di un valore di y = L n,,ϕ. Tenendo conto che la espressione a secondo ebro è stata calcolata a partire dalla 66, possiao scrivere sibolicaente: 37 L n,,ϕ A cos n arccos A + ϕ Intendendo in questo odo dire che ogni qual volta che appare il terine a secondo ebro della 37 possiao sostituirlo con le funzioni a secondo ebro della 36. Una applicazione diretta della funzione di Lissajous la troviao nella soluzione del sistea di Bowditch generalizzato 3 : t = A cosω t + ϕ 38 yt = A cosω y, t + ϕ + A 2 cosω y,2 t + ϕ A R cosω y,r t + ϕ R Ci si pone nel caso più generale possibile in cui ω y, ω y,2... ω y,n ω, che ϕ ϕ 2... ϕ N ϕ e che i rapporti ω y,k ω = N k,y M k, con k =, 2,..., R siano nueri razionali. Con una sostituzione di t t ϕ ω si eliina la fase ϕ nella t, quindi è possibile considerare il sistea più seplice: t = A cosω t 39 yt = A cosω y, t + ϕ + A 2 cosω y,2 t + ϕ A R cosω y,r t + ϕ R Ricavando t dalla pria equazione e sostituendo nella seconda si ha: 40 y =A cos N,y M, arccos A + ϕ + A 2 cos N 2,y M 2, arccos A + ϕ A R cos N R,y M R, arccos A + ϕ R 3 Nel sistea di Bowditch 6 ci sono solo due terini coseno nella yt. Nel sistea generalizzato ne consideriao un nuero generico R 24

25 Tenendo conto della definizione della funzione L n,,ϕ l ultia equazione diventa: 4 y = A L N,y,M,,ϕ + A 2 L N2,y,M 2,,ϕ A R L NR,y,M R,,ϕ R Quindi la soluzione del sistea di Bowditch generalizzato 39 è dato dalla soa di R funzioni di Lissajous. Si noti che la soa di due o più funzioni di Lissajous non è più una funzione di Lissajous; questo deriva sepliceente dal fatto che la soa di due o più polinoi di Chebishev non è più un polinoio di Chebishev. Consideriao ora il caso più generale in cui si abbia il seguente sistea paraetrico: t = A cost 42 yt = a k= a k coskt + b k sinkt Avendo considerato yt una funzione periodica di periodo 2π, sviluppabile in serie di Fourier di seni e coseni. Considerando poi che sinnt = cosnt + 3π 2, l ultio sistea diventa: t = A cost 43 yt = a k= ak coskt + b k coskt + 3π 2 Eliinando il paraetro t dall ultia equazione otteniao per la funzione y; 44 yt = a k a k cos arccos k + b k cos A arccos + 3π A 2 k= Il prio coseno a secondo ebro è una funzione di Lissajous nella quale l angolo ϕ è nullo ed è quindi espriibile coe: L k,,0 = T k f i 45 A A T f i = cos θ i =, 2,..., Il secondo coseno a secondo ebro è una funzione di Lissajous nella quale l angolo ϕ = 3π 2 ed è quindi espriibile coe: L k,, 3π U k f i A = ± 2 A U f 2 46 i A A 2 T f i = cos θ i =, 2,..., La 44 diventa allora: U k f i A y = a K T k f i ± b k A U f 2 47 i A A 2 k= T f i = cos θ i =, 2,..., 25

26 Considerando che è sepre possibile trovare un angolo ϕ k tale che: 48 da cui deriva: 49 a k = cosϕ k b k = sinϕ k b k a k = tanϕ k La 44 in conclusione si può riscrivere coe: y = L k,,ϕk A 50 k= T f i = cos θ i =, 2,..., b k = tanϕ k a k 9 Appendice - Classi di soluzioni dell equazione T N cos θ = cosθ La 06 perette di calcolare le radici dell equazione: 5 T N = cosθ = cos θ quando il nuero intero N è espriibile coe: N = 2 r oppure N = 3 s oppure ancora N = 2 r 3 s essendo r e s due nueri interi qualunque, a partire dalla conoscenza delle radici della equazione T 2 = cosθ, banale da risolvere essendo una equazione di secondo grado, e delle radici della equazione T 3 = cosθ, eno banale da risolvere - essendo una equazione di terzo grado - a che è risolvibile utilizzando il etodo di Cardano. Valgono infatti le seguenti forule di ricorrenza, deducibili iediataente dalla 06: Quindi le equazioni: diventano: T 2 n = T 2 T 2 n T 3 n = T 3 T 3 n T 2 n = cosθ T 3 n = cosθ T 2 T 2 n = cosθ T 3 T 3 n = cosθ e prendendo coe nuova variabile T 2 n oppure T 3 n la soluzione diventa evidente se si applica la forula in odo ricorsivo. Un ragionaento analogo vale nel caso in cui si consideri N = 2 r 3 s 26