Esercizio (tratto dal Problema 2.6 del Mazzoldi)

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1 Esercizio (tratto dal Problea 2.6 del Mazzoldi) Un punto ateriale di assa è sospeso traite un filo verticale ed è collegato al suolo da una olla, di costante elastica 70 N/, che si trova alla lunghezza di riposo l 0. La tensione del filo è T 4.9 N. Il filo viene ora tagliato. l 0 Calcolare:. la assia distanza percorsa dal punto; 2. la posizione in cui la velocità è assia; 3. il valore assio della velocità.

2 2 SOLUZIONE: Dati noti: 70 N/ T 4.9 N T g Pria che il filo venga tagliato, la olla non esercita alcuna forza sul punto ateriale (dato che la olla è in condizioni di riposo). Il punto ateriale è dunque fero per l equilibrio tra la forza peso e la tensione T del filo. Pertanto in odulo abbiao T g T g () Quando si taglia il filo, il punto ateriale è soggetto alla forza peso e alla forza elastica della olla. Per trovare le quantità richieste possiao procedere in due odi: PRIMO MODO (Bilancio Energetico): Le forze che agiscono sul sistea sono (lungo la direzione verticale, asse z verso l alto) forza peso F g forza elastica F (z l 0 ) Siccoe sono forze conservative, l energia eccanica è conservata. sistea è data da: E energia cinetica + en. potenz. gravitazionale 2 v2 gz L energia eccanica in questo + en. potenz. elastica 2 (z l 0) 2. Trovare la assia distanza percorsa dal punto ateriale corrisponde a trovare di quanto si coprie la olla rispetto alla lunghezza iniziale (lunghezza a riposo). All istante iniziale la velocità è nulla e la olla si trova nella posizione di riposo (z l): E in 2 v2 0 + gl (l 0 l 0 ) 2 0 (2) All istante in cui il corpo raggiunge l altezza inia (la olla non è necessariaente copressa copletaente!) la velocità è nuovaente nulla. Denotando con z altezza inia raggiunta (3)

3 3 z z l 0 z l 0 abbiao E fin 2 v2 0 Per la conservazione dell energia eccanica si ha Abbiao due soluzioni E in E fin gl 0 gz + 2 (l 0 z ) 2 + gz + 2 (l 0 z ) 2 (4) 2 (l 0 z ) 2 g(l 0 z ) 0 ( ) (l 0 z ) 2 (l 0 z ) g 0 (5) (a) l 0 z 0 z l (corrisponde all istante iniziale, in cui infatti l energia cinetica è nulla) (b) 2 (l 0 z ) g 0 l 0 z 2g z da cui z 2g Sostituendo i valori nuerici otteniao z 2g 2T N 70 N 0.4 (6)

4 4 2. Per deterinare l altezza z a cui il corpo raggiunge la velocità assia sfrutto la conservazione dell energia eccanica, che vale istante per istante. Ad un generico istante il punto ateriale si trova ad un data altezza z e abbiao e per la conservazione dell energia E (z) gz + 2 v2 (z) + 2 (z l 0) 2 (7) E in E (z) z gl 0 gz + 2 v2 (z) + 2 (l 0 z) 2 (8) da cui e dunque 2 v2 (z) 2 (l 0 z) 2 + g(l 0 z) v(z) (l 0 z) 2 + 2g(l 0 z) (9) (dove abbiao scelto il segno davanti alla radice quadrata perché stiao considerando la fase in cui il punto ateriale scende). Controllo diensionale: OK [ ] (l 0 z) 2 N Kg 2 Kg/ s 2 Kg/ 2 s 2 (0) [2g(l 0 z)] s 2 2 s 2 () L altezza z in cui la velocità è assia è dato dalla soluzione di Lo scostaento vale dunque Sostituendo i valori nuerici dv dz + 2 (l 0 z) 2g 2 (l 0 z) 2 + 2g(l 0 z) (l 0 z) 2g 0 l 0 z g T l 0 z g (2) (3) l 0 z g 4.9 N 70 N 0.07 (4)

5 5 Osservazione: Un altro odo diretto per trovare l altezza in cui la velocità è assia è il seguente: La velocità è assia quando l accelerazione è nulla, ossia quando la soa delle forze che agiscono sul corpo è nulla. Dunque l altezza in cui la velocità è assia viene raggiunta all altezza z (incognita) alla quale la forza elastica e la forza peso si bilanciano esattaente: +(l 0 z) forza elastica g forza peso 0 l 0 z g (5) (verso l alto) (verso il basso) Lo scostaento vale dunque l 0 z g T 4.9 N 70 N 0.07 (6) 3. Il valore assio della velocità è dato (in odulo) da Sostituendo i valori nuerici v ax v( z) v ax (l 0 z) 2 2g(l 0 z) [usiao l 0 z g ] (g) g g g2 + 2g2 g 2 [usiao g T dalla ()] T g N s 2 70 N ( ) 2 70 s 0.83 s (7) (8)

6 6 SECONDO MODO (Equazione del oto): Possono anche risolvere il problea utilizzando direttaente le equazioni della dinaica F a F peso + F el d2 z dt 2 (9) Osserviao che g +(l 0 z) d2 z dt 2 forza elastica se z < l 0 la forza elastica è pos diretta verso l alto se z > l 0 la forza elastica è neg diretta verso il basso Pertanto abbiao l equazione differenziale d2 z dt 2 (z(t) l 0) g (20) Lo scopo è trovare la funzione z(t) che soddisfi tale equazione, con le condizioni iniziali z(t 0) l 0 (all inizio il punto si trova a z l) dz dt (t 0) 0 (parte con velocità nulla) (2) Per risolvere l equazione differenziale (20) procediao in questo odo Osserviao che la (20) si può riscrivere coe d2 z dt 2 (z l 0 ) g forza elastica peso ( z l 0 g ) }{{ } (z l 0) (22) con In tal odo l Eq.(20) acquista la fora l 0 l 0 g (23) d2 z dt 2 (z l 0) (24) che rappresenta l equazione del oto per un punto ateriale soggetto ad una olla efficace con la stessa costante elastica, a con una lunghezza a riposo l 0 anziché l 0. Abbiao pertanto ricondotto il problea a quello di una olla efficace che ingloba sia la olla originaria che la forza peso Forza elastica di una olla con lunghezza + Forza costante ( g) a riposo l 0 Forza elastica di una olla con lunghezza a riposo l 0 l 0 g/

7 7 Osservando ora che l 0 è una costante, possiao scrivere la (24) anche coe d2 (z l 0 ) dt 2 (z l 0) (25) Possiao allora introdurre una variabile ξ che denota lo scostaento dalla posizione di equilibrio ξ(t) z(t) l 0 (26) e l Eq.(25) acquista la fora Definendo infine d2 ξ ξ (27) dt2 ω 2 (28) l equazione (27) diventa d 2 ξ dt 2 + ω2 ξ 0 (29) che è l equazione del oto aronico, le cui soluzioni sono ben note, e sono della fora ξ(t) C cos(ωt) + D sin(ωt) (30) In conclusione, ricordando la relazione (26) e l espressione (23) per l 0, abbiao z(t) l 0 g + C cos(ωt) + D sin(ωt) ω (3) Questa è la soluzione generale dell Equazione differenziale (20) e la relativa legge oraria della velocità è v(t) dz Cω sin(ωt) + Dω cos(ωt) (32) dt Il valore delle costanti C e D si deterina iponendo che la soluzione generale soddisfi le particolari condizioni iniziali (2). Dunque abbiao z(t 0) l 0 g + C l 0 v(t 0) Dω 0 C g D 0 Pertanto la legge oraria della posizione (3) e la legge oraria della velocità (32) diventano (33) e z(t) l 0 g v(t) ω g + g cos(ωt) ω (34) sin(ωt) (35) Avendo trovato la legge oraria del punto ateriale possiao ora rispondere ai vari quesiti del problea:

8 8. La assia distanza percorsa corrisponde all altezza inia raggiunta dal punto ateriale; denotiao con z tale altezza (ancora ignota) e con t il tepo ipiegato a raggiungerla (anch esso ignoto). Dopo che il punto è sceso e ha copresso la olla fino all altezza z, la olla si estende e il punto ateriale viene proiettato verso l alto. All altezza z la velocità si annulla e dunque il punto z è deterinato dalla condizione Sostituendo nell espressione (35) otteniao che ha coe soluzioni v(t ) 0 (36) 0 v(t ) ω g sin ωt (37) i) t 0 (corrisponde all istante iniziale, in cui infatti la vel. è nulla) ii) ωt π t π ω (corrisponde all altezza inia) (38) Pertanto l altezza inia vale z z(t ) l 0 g l 0 2g + g cos(ωt ),vedi Eq.(38) E dunque la deviazione assia dalla posizione iniziale di equilibrio vale (39) Sostituendo i valori nuerici otteniao l 0 z 2g l 0 z 2g 2T N 70 N (40) 0.4 (4) 2. Il punto ateriale parte inizialente con velocità nulla, e poi si fera istantaneente all altezza z trovata al punto precedente. Quindi durante la discesa la velocità cresce fino ad un certo valore assio, per poi decrescere fino ad annullarsi nuovaente. Denotiao con t l istante in cui la velocità è assia. Dall espressione (35) per la velocità possiao vedere l istante t è deterinato dalla condizione dv dt 0 (42) ossia g ω2 cos(ω t) 0 ω t π (43) 2 Denotando con z la posizione corrispondente al assio della velocità, abbiao z z( t) l 0 g l 0 g + g cos }{{ ω t } 0 (44)

9 9 che devia dalla posizione iniziale di equilibrio di una quantità Sostituendo i valori nuerici l 0 z g 3. Il valore della velocità assia è (per definizione di istante t) (45) l 0 z g 4.9 N 70 N 0.07 (46) Sostituendo i valori v ax v( t) gω sin ω t gω v ax [uso ω g g 2 [uso g T ] T g ] N s 2 70 N ( ) 2 70 s 0.83 s (47) (48)