[ ] 6 CAPITOLO VI. 6.1 La sovrapposizione delle onde. 6.2 Somma di onde della stessa frequenza

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1 CAPITOLO VI 6. La sovrapposizione delle onde Nei prossii capitoli studiereo il fenoeno dell interferenza e della diffrazione. Il principio concettuale coune di entrabi i fenoeni si basa sulla concezione ondulatoria della luce e sulla proprietà di sovrapposizione delle onde. Ci interessa inoltre capire coe le proprietà specifiche di ogni onda (apiezza, fase, frequenza, etc.) influenzino il risultato della sovrapposizione che deterina l effetto finale nel punto in cui si studia il capo di radiazione. Ricordiao ora che le coponenti di un capo elettroagnetico (E x, E y, E z, B x, B y, B z ) soddisfano l equazione d onda differenziale scalare: + + = x y z v t (6.) Una significativa proprietà di questa equazione è la sua linearità. (r, t) e le sue derivate copaiono solo alla pria potenza. Conseguenteente se (r, t), (r, t),..., n (r, t) sono soluzioni individuali della (5.) ogni cobinazione lineare di esse sarà anch essa soluzione. Pertanto, n r r (, t) = C (, t) (6.) dove i coefficienti C i sono costanti arbitrarie. Noto coe principio di sovrapposizione, questa proprietà suggerisce che il risultato di una perturbazione elettroagnetica in un punto dello spazio è la soa algebrica delle singole onde che la costituiscono. Si tenga a ente che questo risultato solo nel caso lineare: altri tipi di onde, coe quelle sonore, possono in alcuni casi generare risposte non lineari. Ad esepio un fascio laser colliato ad alta intensità (il capo elettrico può raggiungere i 0 0 V/c) può produrre effetti non lineari. In olti casi possiao trascurare la natura vettoriale della luce. Per esepio se le onde luinose si propagano tutte lungo una stessa direzione ed hanno un edesio piano di vibrazione costante, esse possono essere descritte in terini di una sola coponente del capo, e quindi trattate coe quantità scalari. Nel seguito rappresentereo la perturbazione elettroagnetica con la quantità scalare E(r, t), soluzione dell eq. (6.). i= 6. Soa di onde della stessa frequenza Ci sono diversi etodi per soare onde della stessa frequenza; ne esainiao alcuni che possono essere utili in diversi contesti. 6.. Il etodo algebrico Una soluzione dell eq. d onda può essere scritta nella fora: 0 i i [ ] E( x, t) = E sin t ( kx + ) (6.3) dove E 0 è l apiezza del disturbo aronico che si propaga lungo l asse positivo x. Per separare la parte spaziale da quella teporale scriviao: ( x, ) = ( kx + )

2 cosicché: 0 [ ] E( x, t) = E sin t + ( x, ) (6.4) Supponiao ora di avere due onde di questo tipo E = E sin( t + ) 0 E = E sin( t + ) 0 (6.5) con la stessa frequenza e velocità di propagazione nella edesia direzione x. Il risultato di questa perturbazione è la sovrapposizione algebrica: che per esteso è: E = E + E (6.6) E = E (sint cos + cost sin ) 0 + E (sint cos + cost sin ) 0 (6.7) separando la parte teporale, si ha: E = ( E cos + E cos )sint ( E sin + E sin ) cost 0 0 (6.8) Poiché le quantità entro parentesi sono costanti nel tepo si può porre: E cos = E cos + E cos E sin = E sin + E sin (6.9) che non è una sostituzione ovvia, a sarà legittiata quando risolvereo per E 0 ed. Quadrando e soando le (6.9) si ottiene: E = E + E + E E cos( ) (6.0) entre dividendole una sull altra si ha: tan = E E sin + E cos + E sin cos (6.) Se la (6.) e la (6.0) sono entrabe soddisfatte per E 0 ed, la posizione (6.9) è corretta e si può scrivere: E0 = E0 cossint + E0 sincost o anche: E = E0 sin( t + ) (6.) Una singola perturbazione risulta dalla sovrapposizione delle onde sinusoidali E ed E. L onda risultante è anch essa aronica e con la stessa frequenza e velocità, a la sua apiezza e la sua fase sono differenti. Si noti che quando E0 E 0 nella (6.) e quando

3 - 7 - E0 E0è, la risultante è in fase con la coponente doinante. Essendo la densità di flusso proporzionale al quadrato dell apiezza, si vede anche che la densità di flusso risultante dalla sovrapposizione non è sepliceente la soa delle densità di flusso delle singole coponenti, a c è un terine addizionale; questo contributo E0E0 cos( ) è detto terine di interferenza. Il fattore cruciale è la quantità =. Quando = 0, ±, ± 4... la risultante apiezza è assia, entre per =±, ± 3... è inia. Nel prio caso le onde sono in fase e le creste si sovrappongono, nel secondo le creste d onda sono fuori fase di 80. In Fig. 6. A e B la linea continua in grassetto rappresenta l onda risultante. A. x B. x Fig. 6. La sovrapposizione di due onde aroniche in fase A e fuori fase B. Si osservi che la differenza di fase può essere introdotta da una differenza nel caino ottico attraversato dalle due onde, coe pure da una differenza di fase iniziale, cioè: = ( kx + ) + ( kx + ) = ( x x) + ( ) (6.3)

4 - 7 - dove x e x sono le distanze dalle sorgenti delle due onde al punto di osservazione e è la lunghezza d onda della radiazione. Se le onde sono inizialente in fase allora = e: = ( x ) x (6.4) Questo vale anche nel caso in cui le perturbazioni provenienti da una stessa sorgente viaggiano lungo strade differenti. Essendo n = c / v = 0 / si ha: = n( x x) (6.5) 0 La quantità n(x -x ) è detta differenza di caino ottico ed indicata con OPD (optical path difference) o con. Si noti che / 0 = ( x x) / è il nuero di onde nel ezzo corrispondenti alla differenza di caino; una strada è diverse lunghezze d onda più lunga dell altra. Poiché ad ogni lunghezza d onda si può associare una variazione di fase di radianti, = ( x x ) / o: = k 0 (6.6) dove k 0 è il nuero di propagazione nel vuoto. Una strada è quindi radianti più lunga dell altra. Onde per le quali è costante, indipendenteente dal suo valore, sono dette coerenti. Un caso speciale di interesse è quello della sovrapposizione di due onde: 0 0 [ ] E = E sin t k( x + x) E = E sin( t kx) (6.7) dove E 0 =E 0 e k x =. Lo studente può provare a ricavare quindi il seguente risultato della sovrapposizione: kx x E = E0 cos sin t k x + (6.8) Questo ette in luce chiaraente il ruolo svolto dalla differenza di caino x, specialente quando le onde sono eesse in fase ( = ). Se x la risultante ha un apiezza che è circa E 0, entre se x = / è zero. Nel prio caso si parla di interferenza costruttiva, nel secondo di interferenza distruttiva. Si può diostrare che la sovrapposizione di un qualsiasi nuero di onde aroniche coerenti con una edesia frequenza e direzione di propagazione è sepre un onda aronica della stessa frequenza, cioè in generale la soa: n 0i cos( i ) (6.9) i= E = E ± t è data da: E = E0 cos( ± t) (6.0)

5 dove abbiao usato il coseno al posto del seno e le quantità E 0 ed sono date dalle estensioni delle (6.0) e (6.). Consideriao ora l eissione di una coune sorgente di luce (quali un bulbo incandescente, una candela, una lapadina). Possiao pensare questa sorgente coe costituita di un nuero enore N di atoi che eettono radiazione. Un torrente di fotoni si anifesta nel suo coplesso coe un onda elettroagnetica. E utile iaginare il fotone coe un ipulso oscillatorio di breve durata. Ogni atoo è una sorgente indipendente di fotoni e quindi di treni d onda fatti di brevi ipulsi oscillatori. La durata dell eissione di un singolo fotone varia da a 0 ns. In altre paralo la fase del treno d onda è costante al assio per 0 ns, dopo di che varia rapidaente e casualente. Pertanto in ogni evento la fase della luce eessa da un atoo i (t) riarrà costante rispetto alla fase della luce di un altro atoo j (t) per al più 0 ns. Poiché la densità di flusso è proporzionale alla edia teporale di E 0, presa in un apio intervallo di tepo, si avrà in questo caso che: E = NE (6.) 0 0 poiché il terine con il coseno in edia va a zero. Questo è il edesio processo che accade in un orchestra dove diversi struenti (ad esepio N violini) suonano insiee, ed il risultato finale dà sepre l effetto di un violino auentato di intensità N volte. Per questo otivo due lapadine, che eettono singolarente luce che varia rapidaente di fase, e sarà quindi difficile assistere a fenoeni di interferenza usando questo tipo di sorgenti. All estreo opposto se le N sorgenti sono coerenti ed in fase l intensità totale sarà: E = N E (6.) Il etodo coplesso Spesso è ateaticaente conveniente fare uso della rappresentazione coplessa quando si ha a che fare con la sovrapposizione di onde aroniche. L onda può scriversi in generale coe: % i( t ) = (6.3) 0 E E e Se N di queste onde con la stessa frequenza e direzione di propagazione si soano l onda risultante è data da: % i( t) = E0e + (6.4) E che è equivalente alla (6.0) o per esteso: E E e e N % = 0 j i j + it (6.5) j= La quantità E e 0 N i i j = Eoje (6.6) j= è nota coe apiezza coplessa dell onda risultante. Poiché

6 E = ( E e )( E e ) (6.7) i i * possiao sepre calcolare l intensità risultante usando la (6.6) e (6.7). Per esepio se N= E = ( E e + E e )( E e + E e ) (6.8) i i i i e quindi svolgendo i calcoli E = E + E + E E cos( ) (6.9) che è identica alla (6.0) I Fasori La soa descritta dall eq. (6.5) può essere rappresentata graficaente coe un addizione di vettori nel piano coplesso. L apiezza coplessa è nota coe fasore ed è specificata dalla sua agnitudine e fase (il fasore si descrive quindi con il sibolo E0 ). Iaginiao di avere una perturbazione descritta dalla E = E sin( t + ) 0 In Fig. 6. A) l onda è rappresentata da un vettore di lunghezza E 0 che ruota in senso antiorario con velocità, e la sua proiezione sull asse verticale è E 0 sin(t+ ). In B) è ostrata la soa di due fasori. A) I B) I E 0 E 0 E E 0 E 0 t R t R Fig. 6. L addizione dei Fasori. In odo analogo ai vettori la soa E=E +E si esegue costruendo la diagonale del parallelograa di lati E 0 ed E 0. Per la legge del coseno si ha quindi: E = E + E + E E cos( ) coe abbiao visto precedenteente. Gli studenti provino a soare i fasori 5 0,0 45, 5,0 0 e 8 80.

7 Onde stazionarie Abbiao già detto che la soa di soluzioni dell eq. D onda è essa stessa una soluzione. Perciò in generale, ( x, t) = C f ( x v t) + C g( x + v t) soddisfa l equazione d onda. Ad esepio esainiao due onde aroniche della stessa frequenza che si propagano in direzioni opposte (un caso pratico si ha quando l onda incidente è riflessa da uno specchio). Iaginiao che l onda incidente provenga da sinistra e incida sullo specchio ad x=0 e sia data dalla: e sia riflessa a destra coe: EI = E0I sin( kx + t + I ) (6.30) ER = E0 R sin( kx + t + R ) (6.3) Nella regione in cui si sovrappongono l onda è E = EI + ER. In altre parole le due onde esistono siultaneaente nella regione tra la sorgente e lo specchio. Fissiao la condizione iniziale I =0 quando t=0. Le due onde si devono quindi soare in odo tale da dare risultato nullo quando x=0. Assuendo E 0I =E 0R le condizioni iniziali richiedono che ad x=0 sia E=0 e poiché I =0, ne segue che deve essere R =0. L onda risultante è quindi del tipo: [ ] E = E0 sin( kx + t) + sin( kx t) usando la trigonoetria si può scrivere la edesia forula nella fora: I E( x, t) = E sin kx cost (6.3) 0I Questa è l equazione di un onda stazionaria. Il suo profilo non si uove nello spazio. In ogni punto x=x l apiezza è una costante data da E0I sin kx ', e E(x,t) varia aronicaente coe cost. In certi punti, cioè ad x=0, /,, 3/,... la perturbazione è sepre nulla. Questi sono detti punti nodali. A età strada tra i punti nodali, cioè a x=/4, 3/4, 5/4,... l apiezza ha il vaolre assio ±E 0I. Se la riflessione sullo specchio non è perfetta, l onda risultante conterrà sia una coponente che si uove sia una coponente stazionaria. In quest ultio caso si avrà un trasferiento di energia, cosa che non avveniva nel puro caso stazionario. Le onde stazionarie esistono anche in due e tre diensioni. Il fenoeno è assi coune. Si pensi alle onde prodotte da una chitarra, alla superficie di un taburo,etc. Con il fenoeno delle onde stazionarie è associato il ben noto fenoeno della risonanza. L orecchio uano ad esepio è una cavità risonante. Il Laser è un altro esepio di sistea che sfrutta la proprietà della risonanza per costruire la propria potenza eissiva. 6.3 La sovrapposizione di onde con diversa frequenza Fino ad ora abbiao visto la sovrapposizione di onde con la stessa frequenza. Nella realtà non esistono le onde puraente onocroatiche, a solo le onde quasi onocroatiche, per le

8 quali ci dovrà essere un ristretto intervallo di frequenze. Lo studio di questo tipo di luce ci porterà agli iportanti concetti di lunghezza di banda e di tepo di coerenza. Vediao ora coe si coportano le onde con diversa frequenza I battienti Consideriao due onde E = E cos( k x t) 0 E = E cos( k x t) 0 (6.33) con stessa apiezza e zero fase iniziale. L onda risultante [ cos( ) cos( )] E = E k x t + k x t 0 può essere riscritta: E = E0 cos ( k + k) x ( + ) t cos ( k k) x ( ) t [ ] [ ] Ora definiao le quantità e k, che sono la frequenza angolare edia e il nuero di propagazione edio, e e k, che sono la frequenza di odulazione e il nuero di propagazione di odulazione: +!! k k k k + k! k! (6.34) per cui, E = E cos( k x t)cos( kx t) (6.35) 0 L onda totale può essere pensata coe un onda di frequenza a con un apiezza variabile nel tepo o odulata E0 ( x, t) = E0 cos( kx t), tale che: E( x, t) = E ( x, t)cos( kx t) (6.36) 0 Nelle applicazioni di interesse qui, e saranno sepre piuttosto grandi. Inoltre, se sono confrontabili tra loro,, allora e E0( x, t) varierà lentaente, entre E(x,t) varierà rapidaente. La densità di flusso è proporzionale a: [ ] E ( x, t) = 4E cos ( k x t) = E + cos(k x t) Si noti che E ( x, t) oscilla attorno al valore 0 E 0 con una frequenza angolare che è nota coe frequenza di battiento. Quindi E 0 varia con la frequenza di odulazione, entre E 0 con la frequenza di battiento. Un esepio è dato in Fig. 6.3.

9 A. B. Fig. 6.3 La sovrapposizione di onde con diversa frequenza. In A si vedono le due onde con diversa frequenza con due tratteggi diversi. In B la linea continua rappresenta (in odo approssiativo) l andaento dell onda risultante, entre la linea tratteggiata l andaento della odulazione. Con l avvento del Laser l osservazione dei battienti è stata olto facilitata. Frequenze di battiento da pochi Hz a 0 0 Hz possono essere osservate. Il fenoeno dei battienti è utile per isurare piccole variazioni di frequenza. L effetto Doppler è una coune applicazione di questo fenoeno. 6.4 La velocità di gruppo e di fase La specifica relazione tra e k deterina v, la velocità dell onda. In un ezzo non dispersivo coe il vuoto v = / k e un grafico di vs. k è una linea retta; la frequenza e la lunghezza d onda cabiano in odo da antenere v costante. Tutte le onde elettroagnetiche viaggiano con la stessa velocità di fase in un ezzo non dispersivo. Per contrasto, in un ezzo dispersivo ogni onda si propaga con una velocità che dipende dalla sua frequenza. Quando un certo nuero di onde si cobinano per forare la perturbazione coposta, l inviluppo di odulazione viaggerà con una velocità diversa da quella delle onde costituenti. Questo introduce il concetto di velocità di gruppo e la sua relazione con la velocità di fase. Il disturbo esainato nella precedente sezione, E( x, t) = E ( x, t)cos( kx t) 0 consiste di un onda di alta frequenza, con apiezza odulata da una funzione coseno. Supponiao per un oento che l onda non sia odulata, cioè che E 0 =costante. Ogni picco dell onda si uoverebbe con la velocità di fase

10 v = / k Questa è la velocità di fase dell onda, che sia o non sia odulata. Nel secondo caso i picchi cabiano apiezza periodicaente durante il passaggio dell onda. C è però un altro oto iportante da considerare, quello della odulazione dell onda. Supponiao allora adesso che le due onde E (x,t) ed E (x,t) avanzino con la stessa velocità v =v. In questo caso l onda risultante, con i battienti, è stazionaria, e si propagherà con la edesia velocità v g =v= v =v. Con il noe di velocità di gruppo intendiao la velocità con cui si propaga la odulazione. Questo avviene nei ezzi non dispersivi in cui la velocità di fase è indipendente dalla lunghezza d onda, cosicché le due onde hanno la stessa velocità. Più in generale essendo E0 ( x, t) = E0 cos( kx t) possiao scrivere che la odulazione viaggia ad una velocità dipendente dalla fase dell inviluppo, e quindi v g k k k k = = = (6.37) Ma si realizzi che in generale è =(k) (relazione di dispersione). Quando l intervallo di frequenze, centrato attorno ad, è piccolo, si può anche scrivere: v g d = dk (6.38) La odulazione (o segnale) si propaga ad una velocità v g che può essere aggiore, uguale o inore di v, velocità di fase dell onda. In un ezzo a dispersione norale v g < v, entre nel caso di dispersione anoala v g > v. Essendo =kv la (6.38) dà: v g dv = v + k (6.39) dk Di conseguenza in un ezzo non dispersivo in cui v è indipendente da, dv/dk = 0 e v g = v. nel vuoto =kc, v = c, e v g = c. Nei ezzi dispersivi (v v ) in cui n(k) è nota, =kc/n e si può riscrivere la (6.39) nella fora: c kc dn k dn vg = = v n n dk n dk (6.40) Per i ezzi ottici (lenti) l indice di rifrazione cresce con la frequenza (dn/dk>0) e quindi v g <v. Lo studente si ponga il problea se un segnale possa viaggiare ad una velocità aggiore di c. 6.5 Onde periodiche anaroniche La sovrapposizione di onde aroniche di diversa apiezza e lunghezza d onda può dar luogo ad un onda risultante periodica, a anaronica, cioè non sinusoidale. Nella realtà sono le onde puraente aroniche che non esistono, e quindi occorre sviluppare un etodo per studiare questo nuovo tipo di onde.

11 Le serie di Fourier Il teorea di Fourier ( ) dice che una generica funzione f(x), di periodo spaziale, può essere sintetizzata con una soa di funzione aroniche le cui lunghezze d onda sono sottoultipli di (cioè, /, /3, etc.). Mateaticaente si scrive: f ( x) = C0 + C cos x + + C cos x / (6.4) dove le C sono costanti e naturalente la f(x) può corrispondere ad una f(x-vt). E più conveniente riforulare la (6.4) servendosi dell identità trigonoetrica C cos( kx + ) = A cos kx + B sin kx dove k=/, A = C cos, B = C sin. Pertanto, A f x A kx B kx " " 0 ( ) = + cos + sin = = (6.4) dove il prio terine è stato scritto così per convenienza ateatica (si veda oltre). Il processo di deterinazione delle costanti A e B prende il noe di analisi di Fourier. Lo studente può provare a ricavarsi questi coefficienti integrando la (6.4) tra 0 e, e servendosi dell ortogonalità delle funzioni trigonoetriche. Si ottiene: A0 = f ( x) dx # 0 A = f ( x)cos kxdx # 0 B = f ( x)sin kxdx # 0 (6.43) Alcune condizioni di sietria sono utili da riconoscere, perché portano ad una seplificazione dei calcoli. Se una funzione è pari, cioè se f( x)=f(x), o equivalenteente sietrica rispetto ad x=0, la serie di Fourier conterrà solo i terini in coseno, cioè B =0 per tutti gli. Analogaente se è dispari, cioè se f( x)= f(x), la serie conterrà solo i terini con il seno, cioè A =0 per tutti gli. Coe esepio calcoliao la serie di Fourier che corrisponde ad un onda quadra: vedi Fig Poiché f(x) è dispari A =0 e %+ se 0 < x < / f ( x) = & ' se / < x < / 0 / # # B = ( + ) sin kxdx + ( )sin kxdx = / = [ cos kx] + [ cos kx] 0 /

12 / 0 / x Fig. 6.4 Il profilo di un onda periodica quadra. Da qui è facile ricavare i vari coefficienti, che sono: da cui: 4 4 B = B = 0 B3 = 3 4 B4 = 0 B5 =, f ( x) = (sin kx + sin 3kx + sin 5 kx +...) (6.44) 3 5 La Fig. 6.5 ostra coe l onda sintetizzata si avvicina alla f(x) quanti più terini della serie si considerano. + / 0 / x Fig. 6.5 La sovrapposizione dei prii due terini della serie. Considerando le aroniche successive si riproduce sepre eglio l onda quadra. Per passare dal doinio spaziale a quello teporale basta sostituire kx con t. Pertanto abbiao visto che ogni onda anaronica può sepre essere pensata coe una sovrapposizione di onde aroniche di diversa frequenza. Possiao quindi scrivere: " " A0 f ( x ± v t) = + A cos k( x ± v t) + B sin k( x ± v t) (6.45) = =

13 - 8 - per ogni tipo di onda anaronica. Vediao invece coe si coporta l onda quadra di Fig.6.6 che invece rappresenta una funzione pari. + /a 0 /a x Fig. 6.6 Il profilo di un onda anaronica periodica quadra pari. Tutti i B sono zero ed i coefficienti di Fourier divengono: 4 A0 = e a A 4 sin / a = a / a L espressione entro parentesi che riscriviao coe sinc u = (sin u) / u è olto iportante perché coparirà da ora in poi in diversi contesti. Lo studente è quindi invitato a ripassarsi le proprietà di questa funzione (vedi ad es. Hecht 998, pag. 48). Essendo il liite di questa funzione per x che tende a zero, gli A possono rappresentare tutti i coefficienti se =0,,,... Rispetto alla Fig. 6.4 l origine è ora in x=0, e la serie contiene tutti terini in coseno anziché in seno, a le aroniche sono inalterate: le sinusoidi che danno l onda quadra dispari divengono cosinusoidi per l onda pari. Se la larghezza dell ipulso dell onda quadra è (/a), cioè una qualunque frazione della lunghezza d onda, la serie di Fourier si scrive: " 4 f ( x) = + sinc / a cos kx (6.46) a a = Se ad esepio a=4 la serie diviene: f ( x) = + (cos kx cos3kx + cos5 kx...) (6.47) 3 5 Si noti che al decrescere delle diensioni dell ipulso occorrono sepre più coefficienti della serie (cioè più aroniche) per riprodurre l onda. Questo può essere capito osservando il rapporto: A sin / a = (6.48) A sin / a

14 - 8 - Si vede che per a = 4 il nono terine ( = 9) è piccolo, A 9 0%A. Mentre per a = 400, A 9 99%A. Possiao quindi ipotizzare che non è il nuero totale di terini della serie che è iportante, a piuttosto le diensioni relative delle più piccole caratteristiche dell onda che devono essere riprodotte rispetto alla lunghezza d onda. Per un onda di fora coplessa occorrono olte aroniche, o coponenti ad alta frequenza per riprodurre l onda. 6.6 Le onde non periodiche Si supponga ora che la lunghezza d onda dell ipulso quadro di Fig. 6.6 tenda all infinito e la diensione dell ipulso resti costante. Ci troviao quindi di fronte ad una funzione non più periodica. E possibile generalizzare il etodo di Fourier alle onde non periodiche? Per vedere coe ciò può essere fatto scegliao inizialente a = 4 e = c. L ipulso ha quindi una larghezza di 0.5 c centrato in x = 0. Poniao in un grafico (Fig. 6.7a) i coefficienti A in funzione di k, necessari a riprodurre l onda quadra. a) A 0 A A A 3 0 k k 3k 4k 5k k Fig. 6.7 a) L ipulso quadro nel caso a=4 e = c b) / 0 k k 3k 4k 5k k Fig. 6.7 b) L ipulso quadro nel caso a=8 e = c

15 c) /4 0 k 4k 6k 8k 0k k Fig. 6.7 c) L ipulso quadro nel caso a=6 e =4 c Facciao la stessa cosa ponendo a=8 e = c, cioè antenendo inalterata la larghezza dell ipulso (Fig. 6.7 b) e ponendo a=6 e =4 c (Fig. 6.7 c). La sola alterazione che produciao con questi cabiaenti è quella di allontanare i picchi. Si vede iediataente però che lo spettro delle frequenze necessarie per riprodurre l onda cabia. In particolare auenta la frequenza dei coefficienti. Ne concludiao che quando cresce e la funzione soiglia sepre di più ad un singolo ipulso, lo spazio tra ognuno dei coefficienti A(k) decresce. Al liite per (" potreo scrivere: " " f ( x) = A( k)cos kxdk + B( k)sin kxdk 0 0 # # (6.49) Naturalente in questo contesto non ha più significato parlare di frequenza fondaentale e di sue aroniche. La (6.49) vale ovviaente se: +" # A( k) = f ( x)cos kxdx " +" # B( k) = f ( x)sin kxdx " (6.50) La soiglianza con le serie è quindi ovvia. Si noti anche coe le apiezze dei contributi alla sintesi variano con la funzione sinc introdotta pria.

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