Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario.

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1 LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE ORDINARIA Il candidato risolva uno dei due problei e 5 dei quesiti scelti nel questionario.

2 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo PROBLEMA t La funzione f è definita da f cos dt per tutti i nueri reali appartenenti all intervallo chiuso [,9]. Si calcolino f ' e f '.. Si tracci, in un sistea di coordinate cartesiane, il grafico di f ' e da esso si deduca per quale o quali valori di, f deducendolo da quello di f '.. Si trovi il valor edio di f ' sull intervallo,.. Sia R la regione del piano deliitata da e dall asse per ; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all asse, per ciascun, area A sin. Si calcoli il volue di W. f presenta assii o inii. Si tracci altresì l andaento di RISOLUZIONE Punto A nora del teorea fondaentale del calcolo integrale, o di Torricelli-Barrow, la derivata t pria della funzione integrale f cos dt è pari a f ' conseguenza Punto Il grafico della funzione Prio etodo f ' cos e f ' cos cos f ' cos si può ricavare in due odi alternativi Partendo dal grafico della funzione eleentare g cos si ricava il grafico di di un fattore ; si effettua una traslazione di vettore, traslando il grafico di Secondo etodo Si studia la funzione Doinio: [,9]; :. Di g cos attraverso una dilatazione lungo l asse delle ascisse v e si ricava il grafico di f ' cos g cos verso le ordinate positive di una quantità pari a. y cos in [,9].

3 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria Intersezione ascisse: y cos cos k, k Z e considerando l intervallo [,9] le uniche due intersezioni con l asse delle ascisse sono : Intersezioni ordinate: y ; Sietrie: la funzione è periodica di periodo T ed è pari; tuttavia dovendo considerare l intervallo [,9] la periodicità e la sietria pari non sono direttaente visualizzabili nel grafico; Positività: la funzione è positiva se cos k k k k, k Z da cui k k k k, k Z ; considerando l intervallo [,9] la funzione è positiva in cos cos Positività: y cos - Quadro dei segni,,9 ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è liitata; Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è liitata; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è liitata;

4 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo Crescenza e decrescenza: la derivata pria è strettaente crescente negli intervalli in cui sin y ' sin per cui la funzione è e strettaente decrescente negli intervalli in cui sin. Poiché sin k k k kk, k Z e sin k k k kk, k Z, e considerando l intervallo di analisi [,9] deduciao che la funzione è strettaente in,9 e strettaente decrescente in, ; in conclusione la funzione presenta un inio relativo in,. Inoltre dal oento che y y9 funzione. deduciao che M, è assio assoluto per la sin cos Derivata pria: 9 ' sin y - Quadro dei segni Concavità e convessità: la derivata seconda è y'' cos e si annulla in k, k Z per cui la funzione presenta concavità verso l alto laddove cos ovvero in,9 e concavità verso il basso laddove cos ovvero in,. Pertanto l unico punto di flesso a tangente obliqua, nell intervallo [,9], è y. inflessionale ha equazione F, e la tangente cos cos 9 Derivata seconda: y '' cos - Quadro dei segni

5 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria 5 Di seguito il grafico di cos ' f y. Dal grafico di cos ' f deduciao che la funzione dt t f cos presenta: assii o inii nei punti in cui cos ' f si annulla e quindi in. Di conseguenza gli estrei relativi di sin cos dt t f sono,,,. In

6 6 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo particolare M ', è un assio e ', è un inio in quanto f ' è positiva in,,9 e negativa in,. un flesso nel punto di inio di f ' cos e cioè in ', inflessionale di equazione y. t I grafici di f cos dt e ' stesso riferiento cartesiano. F con tangente f cos sono di seguito ostrati nello Punto La funzione calcolare il suo valore edio in,. f ' cos è continua in R e in particolare in,, pertanto è possibile

7 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria Il valore edio di f ' cos in, è V M cos sin d. sin sin Dal risultato soprastante si evince che il valore edio dell addendo cos in un intero periodo di apiezza è nullo, ovvero il valore edio di f ' cos è pari esattaente al valore dell addendo costante; ciò deriva dal fatto che la funzione coseno è una grandezza alternativa o alternata, ovvero, considerato un intervallo qualsiasi di tepo di apiezza pari al periodo T, l'area sottesa dalla parte positiva della funzione è uguale all'area sottesa dalla parte negativa della funzione. Punto Poichè l area di ogni sezione del solido è pari a A sin con il volue V del solido W può essere visto coe soa di tanti voluetti dv W Ad Di conseguenza il volue richiesto è pari a V W dv A W d sin d cos.

8 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo PROBLEMA Sia f la funzione definita, per tutti gli reali, da f. Si studi f e se ne disegni il grafico in un sistea di coordinate cartesiane Oy. Si scrivano le equazioni delle tangenti a nei punti P ; e Q ; e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette OP e OQ. Si provi che tale quadrilatero è un robo e si deterinino le isure, in gradi e prii sessagesiali, dei suoi angoli.. Sia la circonferenza di raggio e centro (;). Una retta t, per l origine degli assi, taglia oltre che in O in un punto A e taglia la retta d equazione y in un punto B. Si provi che, qualunque sia t, l ascissa di B e l ordinata y di A sono le coordinate, y di un punto di.. Si consideri la regione R copresa tra e l asse sull intervallo [;]. Si provi che R è equivalente al cerchio deliitato da e si provi altresì che la regione copresa tra e tutto l asse è equivalente a quattro volte il cerchio.. La regione R, ruotata attorno all asse y, genera il solido W. Si scriva, spiegandone il perchè, a senza calcolarlo, l integrale definito che fornisce il volue di W. Punto Studiao della funzione f Doinio: R Intersezioni asse ascisse: non ve ne sono f Intersezioni asse ordinate: Sietrie: la funzione è pari in quanto f RISOLUZIONE Positività: la funzione è sepre positiva in quanto sia il nueratore che il denoinatore sono strettaente positivi; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il doinio è R; Asintoti orizzontali: poichè li si deduce che y è asintoto orizzontale destro e sinistro; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto per una funzione razionale fratta la presenza dell asintoto orizzontale esclude la presenza di quello obliquo; 6 Crescenza e decrescenza: la derivata pria è f ' pertanto, essendo il denoinatore sepre positivo, la derivata pria è positiva dove è positivo il nueratore e negativa dove il nueratore è negativo; di conseguenza la funzione è crescente per e decrescente per e presenta pertanto un assio relativo ed assoluto in M, ; di seguito il quadro dei segni della derivata pria. f

9 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria 9 Concavità e convessità: la derivata seconda è 6 '' f pertanto, essendo il denoinatore sepre positivo, la derivata seconda è positiva dove è positivo il nueratore e negativa dove il nueratore è negativo; di conseguenza la funzione è concava verso l alto in,, e concava verso il basso in, e presenta due flessi a tangente obliqua in, F e, F con tangenti inflessionali rispettivaente di equazioni 9 y e 9 y. Di seguito il quadro dei segni della derivata seconda. Il grafico è di seguito ostrato: 6 Derivata pria: 6 ' f - Quadro dei segni Derivata seconda: 6 '' f - Quadro dei segni

10 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo La tangente in P ; ha equazione y con f pertanto la tangente ha equazione y. La tangente in Q ; ha equazione y con f 6 ' 6 pertanto ' la tangente ha equazione y. Le due tangenti si incontrano nel punto M le cui coordinate si deducono risolvendo il sistea y da cui si ricava. y y Di seguito nello stesso riferiento cartesiano la funzione con le tangenti sopra calcolate e il quadrilatero MPOQ.

11 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria Il quadrilatero MPOQ è un parallelograa in quanto presenta i lati a due a due paralleli. Infatti i lati MQ e OP sono paralleli in quanto appartenenti alle rette y e y così coe sono paralleli i lati MP e OQ in quanto appartenenti rispettivaente alle rette y e y. Per essere un robo dobbiao provare che il parallelograa MPOQ ha i lati congruenti, infatti si ha: MP MQ PO QO Alternativaente per diostrare che il quadrilatero è un robo, basta diostrare che è un parallelograa con le diagonali perpendicolari e si incontrano a età. Che sia un parallelograa è stato diostrato precedenteente, e che le diagonali siano perpendicolari e si incontrano a età è vero in quanto giacciono sulle rette e y e si incontrano nel punto edio (;). 5

12 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo L angolo forato dalla retta OQ con l asse positivo delle ascisse è arctan pertanto ˆ ˆ P OQ PMQ arctan 65' e di conseguenza M PO ˆ MQˆ O 5'. Alternativaente ricordando che il coefficiente angolare tra due rette s e t è dato dalla forula s t tan, e applicando tale forula alle rette OQ di cefficiente angolare e QM di coefficiente s t angolare, si ricava ˆ M QO arctan 5' coe già precedenteente trovato. Di seguito il quadrilatero con gli angoli sopra calcolati. ˆ tan M QO da cui Punto La circonferenza di centro (,) e raggio ha equazione y y y.

13 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria Consideriao ora la figura di seguito. Una retta passante per l origine ha equazione y ed incontra la circonferenza nei punti per cui da cui i punti,,, A O.

14 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo La retta y taglia la retta y in, B. Controlliao che il punto,, y A B appartenga al grafico di f. Sostituendo si ha: ovvero l identità è verificata. Punto Consideriao la figura di seguito in cui è raffigurata la regione R. L area della regione R è pari a d R A. Calcolando l integrale si ha: arctan arctan d d d R A che coincide con l area del cerchio di raggio unitario. L area, invece, copresta tra il grafico di f e l asse è

15 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria 5 A d arctan che è pari al quadruplo dell area del cerchio unitario. Punto Consideriao la figura seguente che ostra il solido W. Il volue del solido W può essere calcolato in differenti odi. Metodo dei gusci cilindrici. Il solido generato dalla rotazione attorno all asse y di una regione piana può essere visto coe soa di tanti gusci cilindrici, cioè cilindri cavi di raggio interno, raggio esterno ed altezza f. Consideriao il volue finito V di un guscio coe volue infinitesio dv, quindi trattiao fora: coe infinitesio d ; esso può essere espresso nella dv d f d f d f Poiché d è un infinitesio di ordine superiore a d, allora il terine d f trascurabile rispetto a d f, pertanto dv d f d f è Il volue del solido dovuto alla rotazione intorno all asse delle ordinate, pensato coe soa di tanti voluetti dv relativi all intervallo di ascisse a, b, è pertanto pari a Applicando tale forula si ha: V b a b a V dv f d. W d ln ln ln ln,

16 6 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo Utilizzo delle forule inverse Calcoliao la funzione inversa di y con y,. y Detti: con,. Si ha da cui y V il volue del cilindro, avente raggio di base OA e altezza QA ; V il volue del solido ottenuto ruotando la funzione attorno all asse y, y con y, ; V W V V. il volue del solido W è Il volue V è pari a entre pertanto ln y y ln V dy y V coe precedenteente trovato. W V V ln ln, Nota storica La funzione f non è altro che il luogo geoetrico noto con il noe di versiera di Agnesi. Il suo studio era stato assegnato nel Problea della Maturità Scientifica Sperientale nel. Di seguito uno stralcio del testo: Nel piano sono dati: il cerchio g di diaetro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geoetrico G noto con il noe di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, ateatica ilanese, (-99)]. Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistea di coordinate cartesiane ortogonali e a onoetriche Oy, l equazione cartesiana di G è: y a Si noti che per. a l equazione del luogo diventa, appunto, f

17 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria QUESTIONARIO Quesito Un triangolo ha area e due lati che isurano e. Qual è la isura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. Le soluzioni al quesito possono essere differenti: ne presentiao due, la pria che fa uso della trigonoetria e l altra della geoetria. Uso della trigonoetria L area di un triangolo è espriibile coe il seiprodotto dei lati per il seno dell angolo copreso. Nel caso in esae detto l angolo copreso tra i due lati di lunghezza e si ha: sin da cui sin 9 pertanto il triangolo è rettanolo e per il teorea di Pitagora il terzo lato isura. Uso della geoetria Si applica la forula di Erone per il calcolo dell area di un triangolo: p a p b p c A p ; nel caso in esae il terzo lato c è incognito entre a, b e sil seiperietro è da cui p c 5. Ipostando l equazione A si ottiene: c 5 c 5 c 5 c 5 c c 5 c c 5 c Elevando al quadrato prio e secondo ebro si ha 5 c c 5 c c 9 ovvero si ottiene l equazione biquadratica c 6c 69 equivalente a le cui soluzioni sono c c. Scartando la soluzione negativa si ritrova il risultato precedenteente trovato, cioè c.

18 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo Alternativaente consideriao il lato di lunghezza coe la base del triangolo. Se l area deve essere uguale allora l altezza deve essere pari a, ciò significa che l altro lato di lunghezza coincide con l altezza e in quanto tale è perpendicolare al lato di lunghezza. Da ciò si deduce che il triangolo è rettangolo e l altro lato lo si ricava ediante il teorea di Pitagora. Quesito Si calcoli il doinio della funzione f. Il doinio di f è dato da: equivalente a. Quesito Si considerino nel piano cartesiano i punti ; A e ; 6 B. Si deterini l equazione della retta passante per B e avente distanza assia da A. La retta passante per ; 6 B ha equazione 6 y e la distanza del punto ; A dalla retta 6 y è pari a d. La derivata pria della funzione distanza è pari a ' d La derivata pria per è sepre positiva, pertanto un eventuale distanza assia va ricercata per. In questo caso si nota che la derivata della distanza è positiva per e negativa per di conseguenza la distanza è assia per cui corrisponde la retta

19 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria 9 y y e una distanza assia pari a d. Di seguito un grafico della funzione d : Alternativaente possiao ragionare per via geoetrica. Consideriao la figura seguente.

20 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo La retta r è la perpendicolare alla retta AB passante per B, entre la retta s è una ulteriore retta passante per B e C è il piede della perpendicolare ad essa passante per A. Notiao che il triangolo ACB è rettangolo in C, pertanto AC è un cateto ed in quanto tale è sepre inore dell ipotenusa AB. Questo significa che la distanza assia AB la si ottiene quando B si trova sulla retta perpendicolare ad AB. y Nel caso in esae la retta AB ha pendenza pertanto la perpendicolare ad essa avrà y pendenza e l equazione di tale retta perpendicolare passante per B è y 6 y coe già precedenteente trovato. Quesito Di un tronco di piraide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si espria il volue V del tronco in funzione di a,b e h, illustrando il ragionaento seguito. Il tronco assegnato appartiene alla piraide in figura: Denotiao con la distanza del vertice V della piraide dal centro della base superiore del tronco. In tal odo l altezza coplessiva della piraide risulta h +. Per la siilitudine dei triangoli VOL e VO M si ha a b h : :,

21 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria da cui hb. a b L altezza della piraide di vertice V è quindi hb a VO h h h. a b a b Il volue del tronco è quindi uguale al volue dell intera piraide privato del volue della piraide di vertice V e avente per base la base superiore del tronco. Si ha quindi ha hb h a b b V a ha b ab. a b a b a b Quesito 5 In un libro si legge: Due valigie della stessa fora sebrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le diensioni lineari: non sebra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un auento delle diensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del % (oppure del % o del 5%) corrispondono auenti di capacità (volue) di circa % (oppure 5% o %: raddoppio). E così? Si otivi esaurienteente la risposta. Consideriao la fora delle valigie coe un parallelepipedo di diensioni lineari a, b, c il cui volue è V abc. Se le diensioni lineari auentano del %, ogunna di esse isurerà pertanto il nuovo volue sara a,a, b, b, c, c, abc,v V, V V a b c di conseguenza il nuovo volue è auentato rispetto a quello iniziale del,%. Se le diensioni lineari auentano del %, ogunna di esse isurerà pertanto il nuovo volue sarà a,a, b,b, c, c, abc,v V, V V a b c di conseguenza il nuovo volue è auentato rispetto a quello iniziale del,%. Se le diensioni lineari auentano del 5%, ogunna di esse isurerà pertanto il nuovo volue sarà a,5a, b,5b, c, 5c,5 abc,955v V, V V a b c 955 di conseguenza il nuovo volue è auentato rispetto a quello iniziale di circa il 95%. In conclusione, in buona approssiazione, possiao dire che la risposta è esatta.

22 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo Quesito 6 Con le cifre da a è possibile forare!=5 nueri corrispondenti alle perutazioni delle cifre. Ad esepio i nueri 56 e 56 corrispondono a due di queste perutazioni. Se i 5 nueri ottenuti si dispongono in pridne crescente qual è il nuero che occupa la settia posizione e quale quello che occupa la -esia posizione? Disponiao in ordine crescente i prii sette nueri dei 5. Di seguito una tabellina riassuntiva: Nuero Posizione 56 Pria 56 Seconda 65 Terza 65 Quarta 56 Quinta 65 Sesta 56 Settia da cui deduciao che il nuero in settia posizione è 56. Fissando la pria cifra, si possono avere 6!= cobinazioni di sei nueri che assiee alla pria cifra forano un nuero di cifre. Questo significa che fissato coe pria cifra si hanno nueri di cifre che iniziano con entre il -esio è il prio nuero che inizia con e cioè 56. Quesito Un foglio rettangolare di isure a e b, ha area e fora tale che, tagliandolo a età (parallelaente al lato inore) si ottengono die rettangoli siili a quello di partenza. Quali sono le isure di a e b? Consideriao la figura di seguito.

23 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria Ipostando la relazione di siilitudine tra lati oologhi si ha: a a a b : a : b b b. Poichè l area deve essere unitaria deve aversi a a a a b a a. b Quesito La funzione f ha il grafico in figura. Se g f t dt, per quale valore di, g ha un inio? Si illustri il ragionaento seguito. Ci sono differenti odi per rispondere al quesito. Ne presentiao tre. Prio etodo La funzione f è continua per pertanto a nora del teorea findaentale del calcolo integrale, o di Torricelli-Barrow, la derivata della funzione integrale esiste ed è pari a g' f. Dal grafico notiao che g ' per, e che g' è positiva in,, e negativa in, pertanto g è crescente in,, e decrescente in,; di conseguenza g assue valore inio per. Secondo etodo Alternativaente poichè g f t dt rappresenta, a nora dell interpretazione geoetrica dell integrale, la soa algebrica delle aree sottese, la quantità g f t dt è inia quando tutta l area del triangolo del quarto quadrante viene sottratta e cioè quando. In conclusione g f t dt è inia per e il valore inio è dato dalla differenza tra le aree dei due triangoli, quello del prio e del quarto quadrante: g f t dt. Terzo etodo Possiao procedere a ricavare analiticaente la funzione g f t dt. Si ha:

24 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo Intervallo, : la funzione f t è pari a f t t g f t dt tdt c. Poichè g f t dt pertanto, in quanto coincidente con l area del triangolo rettangolo con i cateti pari a e, iponendo g c si ricava c c pertanto nell intervallo, g f t dt ; g nell equazione Intervallo,: la funzione f t è pari a f t t g f t dt tdt c. Poichè g f t dt si ha pertanto, in quanto coincidente con l area del triangolo di base e altezza, iponendo g c si ricava c c pertanto nell intervallo, g f t dt ; g nell equazione Intervallo,: la funzione f t è pari a f t t g f t dt tdt c. Poichè g f t dt si ha pertanto, in quanto coincidente con l area del triangolo di base e altezza cui va sottratta l area del triangolo rettangolo di cateti unitari, iponendo g nell equazione g c si ricava 9 6 c c pertanto nell intervallo, si ha g f t dt ; Intervallo, g : la funzione f t è pari a t t f t dt t dt c. Poichè g f t dt f pertanto, in quanto coincidente con l area del triangolo di base e altezza cui va sottratta l area del triangolo con base e altezza unitari, iponendo g nell equazione g c si ricava 6 c c 9 pertanto nell intervallo, si ha g f t dt 9. In conclusione si ha g f t dt 9

25 Liceo scientifico di ordinaento sessione ordinaria 5 Di seguito nello stesso riferiento cartesiano le due funzioni rappresentate nell intervallo, : Dal grafico soprastante si nota che la funzione g f t dt ha un assio in, M in corrispondenza del vertice dei due rai di parabola,, g,,, e un inio in, g. di parabola 9,, g e in corrispondenza del vertice dell arco Quesito 9 Si calcoli sin cos sin li Si ha: sin cos sin cos li li sin li sin li sin sin sin sin li li cos cos cos cos cos

26 6 N. De Rosa, La prova di ateatica per il liceo sin in cui abbiao sfruttato il liite notevole li. Quesito Se la figura a lato rappresenta il grafico di quale delle seguenti potrebbe essere il grafico di f ' giustifichi la risposta. f,? Si La funzione f ha un assio in e pertanto la sua derivata pria deve annullarsi in e, da cui deduciao che le opzioni C) e D) sono da scartare. Inoltre se è ascissa di assio questo significa che la derivata pria a sinistra di deve essere positiva e a destra di negativa; con lo stesso ragionaento se è ascissa di inio, a sinistra di la derivata pria deve essere negativa e a destra positiva; da questi ragionaento deduciao che l opzione B) va scartata e per esclusione la risposta corretta è A).