Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA 1 La funzione f è definita da ( ) ( )

Transcript

1 Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f è definita da f = cos t / + / dt per tutti i numeri reali appartenenti all intervallo ciuso [, 9].. Si calcolino f '(π) e f '(π) ove f ' indica la derivata di f.. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico Σ di f '() e da esso si deduca per quale o quali valori di, f() presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l andamento di f() deducendolo da quello di f '().. Si trovi il valor medio di f '() sull intervallo [, π].. Sia R la regione del piano delimitata da Σ e dall asse per ; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all asse anno, per ciascun, area A() = sen (π/ ). Si calcoli il volume di W. PROBLEMA Sia f la funzione definita, per tutti gli reali, da f = +. Si studi f e se ne disegni il grafico Φ in un sistema di coordinate cartesiane Oy. Si scrivano le equazioni delle tangenti a Φ nei punti P ( ; ) e Q (; ) e si consideri il quadrilatero convesso ce esse individuano con le rette OP e OQ. Si provi ce tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.. Sia Γ la circonferenza di raggio e centro (; ). Una retta t, per l origine degli assi, taglia Γ oltre ce in O in un punto A e taglia la retta d equazione y = in un punto B. Si provi ce, qualunque sia t, l ascissa di B e l ordinata y di A sono le coordinate (; y) di un punto di Φ.. Si consideri la regione R compresa tra Φ e l asse sull intervallo [, ]. Si provi ce R è equivalente al cercio delimitato da Γ e si provi altresì ce la regione compresa tra Φ e tutto l asse è equivalente a quattro volte il cercio.. La regione R, ruotando attorno all asse y, genera il solido W. Si scriva, spiegandone il percé, ma senza calcolarlo, l integrale definito ce fornisce il volume di W. QUESTIONARIO. Un triangolo a area e due lati ce misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifici la risposta.. Si calcoli il dominio della funzione f =. Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A (; ) e B ( 6; ). Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A.. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e, illustrando il ragionamento seguito. 5. In un libro si legge: Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra ce in genere le persone si rendano ben conto ce ad un aumento delle dimensioni lineari (lungezza, largezza, altezza) del % (oppure del % o del 5%) corrispondono aumenti di capacità (volume) di circa % (oppure 75% o % : raddoppio). È così? Si motivi esaurientemente la risposta. 6. Con le cifre da a 7 è possibile formare 7! = 5 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 567 e 567 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero ce occupa la settima posizione e quale quello ce occupa la 7-esima posizione?

2 7. Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, a area m e forma tale ce, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b? g = f t dt per quale. La funzione f a il grafico in figura. Se valore positivo di, g a un minimo? Si illustri il ragionamento seguito. sin sin cos 9. Si calcoli: lim. Se la figura a lato rappresenta il grafico di f(), quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di f '()? Si giustifici la risposta. A. B. C. D. Risoluzione Problema. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si a ce f '() = cos(/) + ½ e quindi f '(π) = cos(π/) + ½ = ½ e f '(π) = cos(π) + ½ = + ½ = ½.. Tracciare f '() = cos(/) + ½ è banale, poicé abbiamo una cosinusoide di periodo π traslata di ½ e quindi i massimi si anno per cos(/) =, cioè per / = kπ = kπ, e i minimi per cos(/) =, cioè per / = π + k = π + kπ. Quindi, tenuto conto ce è 9 è massimo il punto (; /) e minimo il punto (π; ½) La f() a estremi relativi dove la f '() si annulla, cioè per cos(/) = ½ / = /π / = /π = /π π = /π. In particolare, tenuto conto del grafico, nel primo punto si a un

3 massimo relativo percé la f '() è prima positiva e poi negativa, analogamente nel secondo punto vi è un minimo relativo. Essi sono quindi /π /π t π; cos ( t / ) / dt π; sin t π ; sin π π /π π; + π ; π; cos ( t / ) / dt π; sin π π π + + ; π + Nel minimo della derivata prima la funzione a nulla la derivata seconda, quindi è un punto di π flesso: π ; cos ( t / ) + / dt π; sin( π ) + π ( π; π ). Il grafico perciò è il seguente f '( π ) f ' = = =, da cui π π π c c sin = sin = c = sin e quindi il valore medio è π π π. Appliciamo il teorema di Lagrange f "( c) π + π f ' sin cos sin, 9 π = + = π. π. Il volume cercato si ottiene con il metodo degli indivisibili di Cavalieri, ossia integrando le aree π π in [, ]: sin d = cos cos ( π ) cos ( ) π = + = + = π π π Commento Buon quesito percé affronta argomenti non standard e percé non riciede solo l uso incosciente di formule. Per il resto poi i calcoli sono semplici. Si nota l equivoco già presente lo scorso anno, ce può sorgere con la riciesta della media della funzione. Il quesito appare abbastanza semplice, ance percé sono ormai diversi anni ce ne viene proposto uno simile. Problema Sia f la funzione definita, per tutti gli reali, da f = +. L I.d.E. è R; la funzione è sempre positiva ed è pari; a l asse come asintoto orizzontale poicé lim =. Incontra l asse y in (; ). Quindi, data l asintoticità deve esserci almeno un +

4 massimo relativo e almeno due flessi, uno ascendente prima del massimo e uno discendente 6 dopo. Infatti si a: f ' = ce si annulla per =. Inoltre + f " = = = E f () = <, conferma ce (; ) è il massimo atteso, mentre per flessi di ordinata /. Infine il grafico è quello seguente. = ± ci sono i due Le equazioni delle tangenti a Φ nei punti P ( ; ) e Q (; ) sono: y = f (±) ( ), cioè y = ±½ +. Le rette OP e OQ anno equazioni y = ½, quindi i vertici del quadrilatero sono i punti O, P, Q e quello le cui coordinate sono soluzioni del sistema y = / + + = + =, cioè il massimo M già trovato. Per verificare ce y = / + è un rombo, basta osservare ce è un parallelogramma, per come è stato costruito, essendo le rette a due a due parallele e inoltre le diagonali sono perpendicolari. Basta calcolare uno solo degli angoli, gli altri essendo uguali o supplementari al calcolato. Per esempio l angolo di vertice Q è bisecato dalla diagonale PQ ce è parallela all asse, pertanto è doppio dell angolo ce la retta OQ forma con il semiasse positivo delle e quindi misura tan (½) 5 7. In figura visualizziamo il tutto. Γ: + (y ) = + y y =. T: y = m per trovare A risolviamo il sistema y m m = m m + m m = =, pertanto A ; e B + y y = + m + m + m m (/m; ). Dobbiamo verificare ce P ; m + m quindi la riciesta è verificata. Φ. Si a: m m / m = m =, + + m +

5 / d d d tan ( / ) + + / + / = = = =. Dobbiamo calcolare π = tan tan = = π coincide con l area di un cercio di raggio. Poi deve calcolarsi l integrale generalizzato + d = lim d = lim tan ( / ) = + + /, ce π π = lim tan ( / ) tan ( / ) π = + = Ance questa verifica è andata in porto.. Per determinare il volume in una rotazione attorno all asse y, dobbiamo effettuare la simmetria rispetto alla prima bisettrice, ottenendo = y + y =. Ovviamente in questo modo scambiamo ance gli estremi di integrazione, così da si a: y = y y. Dobbiamo tenere conto però ce stiamo ruotando la regione R, quindi dobbiamo aggiungere ance la rotazione del segmento di estremi (; ) (; ), ce fornisce un cilindro di raggio di base e altezza. Quindi il volume cercato si trova π + π d π π d π π ln = + = + = = π + π ln ln + = π ln Commento Quesito standard, ce probabilmente sarà stato scelto dalla maggioranza degli studenti. La prima riciesta appare eccessivamente ricca di ricieste solo contenustice. Interessanti le altre due ricieste, ance se per la prima volta appare un integrale generalizzato ce, ance se non esistono più i programmi, per tradizione è un argomento ce non si svolge. Non si capisce invece percé non debba essere riciesto il calcolo dell ultimo semplicissimo integrale. QUESTIONARIO. Possiamo dire ce si a = ½ sin(), quindi l angolo compreso fra i lati dati è retto. Pertanto essi sono i cateti e il lato ignoto è l ipotenusa ce misura + 9 =.. Basta risolvere il sistema di disequazioni Abbiamo semplicemente innalzato al quadrato senza porre condizioni di realtà percé erano insite nello stesso sistema. Osserviamo ce il quesito è copiato da uno assegnato nel A&M University Hig Scool Matematics Contest del, gara matematica organizzata dalla Teas University in diverse categorie suddivise non per età, ma per conoscenze. Non vi è dubbio ce

6 ognuno di noi a una sua cultura e ance quando inventa un esercizio, consciamente o no, si rifà a cose ce a letto o studiato altrove, ma ripetere esattamente è cosa diversa dallo scambio di idee.. Il fascio di rette per B a equazione y = m ( + 6). La distanza di A da tale generica retta è m 7. Dobbiamo determinare il massimo di tale funzione. La derivata prima è + m 7m + 7 m > ( + m ), la funzione non è derivabile per m = 7/, in cui vi è un punto angoloso e un 7m 7 m < ( + m ) minimo assoluto. Il massimo si a invece per m = /7, e perciò la massima distanza vale. Si poteva osservare ce la retta cercata è quella del fascio di centro B ortogonale ad AB. Dato ce il coefficiente angolare della retta per AB è ( )/( 6) = 7/, quindi m cercato è /7.. Il volume si ottiene come la differenza fra il volume della piramide ce abbiamo troncato e il volume della parte troncata. Cioè è / (a b ). Dobbiamo sostituire le altezze delle = due piramidi con l altezza del tronco. Sappiamo ce: a b =. Risolvendo il sistema con un a = a b metodo a piacere, troviamo due soluzioni, una sola delle quali accettabile:. b = a b a b Adesso sostituiamo: a b a b = = ( a + ab + b ). a b a b a b 5. Tutto dipende dal fatto ce per calcolare superfici o volumi dobbiamo innalzare rispettivamente al quadrato o al cubo. Possiamo ragionare su un cubetto di lato unitario percé ogni solido può essere suddiviso in cubetti di questo tipo, ance se la suddivisione potrebbe non avere termine e si dovesse ricorrere ai sottomultipli. Infatti se aumentiamo del % allora l aumento superficiale, dato ce (, ) =,, effettivamente è di circa il %. Ciò dipende dal fatto ce nello sviluppo di (+ ) = + +, se è piccolo allora è trascurabile rispetto a, ce quindi rappresenta l aumento della superficie. Allo stesso modo nello sviluppo di (+ ) = + + +, se è piccolo allora e sono trascurabili rispetto a. Ciò non accade se è grande, per esempio se fosse =,5 allora l incremento superficiale sarebbe dello (,5 ) = (,5 ) =,5 = 5% > 5% e quello volumico dello (,5 ) (, ) =, = % > 5%. L affermazione così come è proposta è perciò corretta. 6. I 7! numeri si dividono in 7 gruppi da 6! = 7 numeri a seconda ce inizino per,,, 7. All interno di ognuno di questi gruppi vi sono poi 5! = gruppi ce anno uguali le prime due cifre,! = ce anno uguali le prime cifre e così via. Nel primo caso basta tenere conto ce 7 =! +, il ce significa ce le prime cifre del numero sono mentre le successive sono la prima permutazione ordinata delle rimanenti cifre, in cui la prima cifra è 5, quindi 567. Infine il numero è 567. Poicé 7 = 7 +, vuol dire ce è il primo numero ce comincia per, cioè il più piccolo numero ce a il come prima cifra, quindi 567.

7 7. Ci riferiamo alla seguente figura, ce non verifica la riciesta, ma ci serve solo da modello. Per quanto detto abbiamo ce ABEF è simile a FECD e a ABCD. Ciò significa ce si a: la proporzionalità far i lati, ovviamente i lati corrispondenti saranno AB e BC e BE e AB. Perciò si a: a : b = b/ : a da cui a = b, d altro canto sappiamo ce ab = e quindi a = /b e perciò /b = b b = b =, a = /.. Usando il teorema fondamentale del calcolo integrale già usato nel primo problema possiamo dire ce g () = f() e quindi g () = = =. Per esserci un minimo vi deve essere un passaggio da una fase di decrescenza a uno di crescenza. Viste le relazioni fra f e g dobbiamo considerare per quale delle due precedenti ascisse la f passa da valori negativi a positivi, il ce succede per =, ce è quindi l ascissa del minimo di g. sin cos sin cos 9. Si a: lim = lim sin = lim sin =, cos abbiamo usato il limite notevole lim =. È sconsigliabile usare il teorema di De L Hopital percé conduce a calcoli laboriosi.. Dove la funzione a estremi relativi, cioè apparentemente in = ±, il grafico della sua derivata prima deve incontrare l asse. Pertanto possiamo eliminare i grafici C e D. Dove la funzione cresce la derivata è positiva, quindi il grafico possibile rimane essere quello contrassegnato da A. Commento Quesiti per lo più standard, ce potevano essere migliorati senza grosse difficoltà. Non era necessario ce il triangolo del quesito fosse rettangolo, ciò conferma ancor più negli studenti già portati a generalizzare in modo errato, ce gli unici triangoli interessanti siano quelli retti. Allo stesso modo nel quesito 6 potevano scegliersi altri numeri, ce facessero comprendere se lo studente capisce come avviene la suddivisione dei 7! numeri, mentre in questo modo si tratta solo di scrivere i primi 7 e considerare il primo dei numeri ce inizia per. Il quesito 7 tratta finalmente di geometria, ma poteva farlo in modo migliore, troppo banale. Il quesito appare una ripetizione di una parte del problema. L ultimo quesito è interessante, percé riciede logica e reale comprensione degli argomenti svolti. Il quesito interamente copiato dalla gara matematica americana è imperdonabile. Valutazione complessiva appena sufficiente.