OPERAZIONI CON I LIMITI
|
|
- Annabella Rossi
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 OPERAZIONI CON I LIMITI Teorea della soa. Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X R, e x0d(x). Supponiao che allora, sotto queste ipotesi, Diostrazione Per diostrare che basterà far vedere che J J(l+) I I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: ( f(x)+g(x) )J Supponiao che l, R l+r ( e quindi l+ esiste) Fissato un J J(l+) a>0 ] l+-a; l++a [J In corrispondenza di tale a, consideriao gli intervalli aperti: A = ] l -a/ ; l + a/ [ (intorno di l ) B = ] - a/ ; + a/ [ (intorno di ) ed applichiao la definizione di liite, in corrispondenza di A e B, a: f : AJ(l) HI(x 0 ) tale che xhx-{x 0 }: f(x)a l - a/<f(x)< l + a/ g: BJ() KI(x 0 ) tale che xkx-{x 0 }: g(x)b -a/<g(x)<+a/ Conseguenteente, posto I = HK, xix-{x 0 }: l - a/ < f(x) < l + a/ -a/ < g(x) < +a/ ovvero, soando ebro a ebro, l+-a < f(x) + g(x) < l++a il che equivale a dire che (f(x)+g(x)) J Pagina
2 In definitiva, fissato JJ(l+) II(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: (f(x)+g(x)) J o, che è lo stesso, Osserviao che il teorea richiede l'esistenza di l + ( l - ): esclude perciò le seguenti situazioni: (+) + (-), (-) + (+), (+) - (-), (-) - (+) che sono fore di indecisione o fore di indeterinazione. Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al liite della soa ( differenza) di due funzioni: per x che tende ad x 0 R ~. li f(x) li g(x) li( f(x) g(x) ) lr R l lr + + lr Pagina
3 Teorea del prodotto Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X R, e x0d(x). Supponiao che allora, sotto queste ipotesi, Supponiao che l, R l R ( Cioè esiste il nuero l ) Per provare che ( f ( x ) g ( x ) ) = l basta far vedere che: x x0 J J(l ) I I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: ( f(x)g(x) )J Fissato J J(l ) a>0 tale che ] l - a ; l + a [ J, ovvero l - a < f(x)g(x) < l + a f(x)g(x) - l < a (*) Consideriao gli intervalli A = ] l - b ; l + b [ e B = ] - b ; + b [ con b > 0 da deterinare in odo che valga la (*). A tale scopo, applichiao la definizione di liite, relativaente ad A e B, alle funzioni: f: A J(l) H I(x 0 ) tale che xhx-{x 0 }: f(x) A f(x) - l < b g: B J() K I(x 0 ) tale che xkx-{x 0 }: g(x) B g(x) - < b Conseguenteente I=H K I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: f(x) - l < b e g(x) - < b xix-{x 0 }, consideriao: f(x)g(x)-l = f(x)g(x)-f(x)+f(x)-l f(x)g(x)-f(x) + f(x)- l = f(x)(g(x) - ) + ( f(x) - l) = f(x) g(x) - + f(x) - l < Pagina 3
4 < f(x) b + b= f(x) - l + l b + b ( f(x) - l + l ) b + b < ( b + l ) b + b = b + l b + b In definitiva: f(x)g(x) - l < b + l b + b con b + l b + b che non dipende da x. Conseguenteente per provare che f(x)g(x) - l < a basterà provare che b + l b + b a ovvero che b + ( l + ) b - a 0 () La predetta disequazione è una disequazione di secondo grado in b che, per avere = ( l + ) + 4a > 0, il coefficiente di b uguale ad ed il segno del trinoio, è soddisfatta da tutti i valori interni, estrei copresi, alle radici dell'equazione associata alla () che sono: b / = ( l + ) ( l + ) 4a Tenuto però conto che b deve essere positivo, i valori di b che soddisfano la () sono: 0 < b - ( l + ) + ( l + ) 4a In conclusione, i valori di b ora deterinati sono quelli che individuano gli intervalli A e B, che a loro volta individuano gli intorni H e K di x 0 e quindi la loro intersezione I tale che: xix-{x 0 }: ( f(x)g(x) )J ed il teorea resta diostrato. Osserviao che il teorea richiede l'esistenza di l : esclude perciò le seguenti situazioni: 0 (+ ); (+ ) 0, 0 (+ ) (- ) 0 che sono fore di indecisione o fore di indeterinazione. Pagina 4
5 Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al liite del prodotto di due funzioni: per x che tende ad x 0 R ~. li f(x) li g(x) li( f(x) g(x) ) lr R l lr (l>0) + + lr (l<0) + - lr (l>0) - - lr (l<0) Pagina 5
6 Teorea del rapporto Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X R, e x0d(x). Supponiao che allora, sotto queste ipotesi, Diostrazione Supponiao che l, R con 0 l/ R. L'essere 0 assicura l'esistenza di un intorno del punto x 0 dove g(x) 0. Infatti, per il teorea della peranenza del segno se > 0 H I(x 0 ) tale che xhx-{x 0 } : g(x) > 0 se < 0 H I(x 0 ) tale che xhx-{x 0 } : g(x) < 0 Allora in questo intorno ha significato considerare la funzione f ( x ) g( x) essendo g(x) 0. Ora, per diostrare che li sopra considerato, la funzione scrivere: f ( x) f ( x) g( x) g ( x ) f (x) l x x 0 g(x) f (x) li li f ( x) li f ( x) li l x x 0 g(x) x x 0 g ( x ) x x 0 x x 0 g ( x ) vera solo dopo che avreo diostrato che li xx0 g ( x ) Per provare che li xx basterà far vedere che: 0 g ( x ) possiao considerare, nell'intorno ed applicare il teorea del prodotto, cioè l. e tale conclusione sarà Pagina 6
7 JJ( ) I I(x 0) tale che xix-{x 0 }: g( x) J Fissato JJ( ) a>0 tale che ] -a ; +a [ J ovvero - a < g( x) < + a o ancora - g( x) < a Per ipotesi li g(x) =. Considerato perciò l'intervallo A = ] -b; +b [ x x 0 con b>0 assegnato, applichiao la definizione di liite alla funzione g: A K I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: g(x) A o, equivalenteente, g(x) - < b. Consideriao ora g(x) = g(x) - + (*) - g(x) - > - b ( avendo scelto b in odo che - b ovvero b ) Valutiao: - g( x) = b con - g(x) g(x) Quindi perchèsia che non dipendeda x - g( x) - g(x) g(x) ed il teorea resta diostrato. - g(x) = g(x) b b < a, basteràsceglierea in odo che < a Verifichiao la ( ) g( x) g( x) g( x) g( x) ( g( x) ) g( x) g( x) g( x) g( x) g( x) quindi: g( x) g( x) g( x) g( x) g(x) - + g( x) Osserviao che il teorea richiede l'esistenza di l/ : esclude perciò le seguenti situazioni: che sono fore di indecisione o fore di indeterinazione. Pagina 7
8 Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al liite del rapporto di due funzioni: per x che tende ad x 0 R ~. li f(x) li g(x) li( f(x)/g(x) ) lr R-{0} l/ lr + 0 lr lr (l>0) + + lr (l<0) - - lr (l>0) - - lr (l<0) + Pagina 8
PRINCIPIO DI INDUZIONE. k =. 2. k 2 n(n + 1)(2n + 1) 6
PRINCIPIO DI INDUZIONE LORENZO BRASCO Esercizio. Diostrare che per ogni n si ha nn + ) ). 2 Esercizio 2. Diostrare che per ogni n si ha 2) 2 nn + )2n + ). Soluzione. Procediao per induzione: la 2) è ovviaente
DettagliTRASLAZIONI E DILATAZIONI
TRASLAZIONI E DILATAZIONI Prof. Fabio Breda Abstract. Lo scopo di questo articolo è fare chiarezza sulla odalità di costruzione del graco di funzioni attraverso traslazioni o dilatazioni del graco di altre
DettagliLezione 12. Sottogruppi finiti di ordine fissato. I Teoremi di Sylow.
Lezione 1 Prerequisiti: Lezioni, 7. ruppi di perutazioni. Riferienti ai testi: [Fd] Sezione.1; [H] Sezione.7; [PC] Sezione 5.1 Sottogruppi finiti di ordine fissato. I Teorei di Sylow. Dal Teorea di Lagrange
DettagliLIMITI. 1. Definizione di limite.
LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi
DettagliELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE X
ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE X MAURO DI NASSO Dedichiao questa lezione all introduzione dei nueri reali R, definiti a partire dall insiee dei nueri razionali Q. Con questo ultio passo, avreo così
DettagliESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione
ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom
Dettagli1 Simulazione di prova d Esame di Stato
Siulazione di prova d Esae di Stato Problea Risolvi uno dei due problei e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Sia y = f) una funzione reale di variabile reale tale che la sua derivata seconda
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
Dettagli12. Dopo aver cliccato su INVIO, trascina il valore ottenuto nella cella a tutte le altre celle. Otterrai una tabella del tipo:
Introduzione al concetto di limite con Excel Esercizio 1 Si consideri la funzione f x = x2 5x + 6 e se ne studi il comportamento per valori di x prossimi a 3. Analisi dell esercizio Bisogna predisporre
DettagliESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x
DettagliLAVORO ED ENERGIA Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006
LAVORO ED ENERGIA INTRODUZIONE L introduzione dei concetto di lavoro, energia cinetica ed energia potenziale ci perettono di affrontare i problei della dinaica in un odo nuovo In particolare enuncereo
DettagliANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI
ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x
DettagliDefinizione di limite
Definizione di limite Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago A.S. 2014/2015 Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Definizione di limite A.S. 2014/2015 1 / 16 Definizioni Iniziamo con il ricordare
DettagliCorso di Analisi Matematica
Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli0.1 Limiti per x tendente a un valore finito
0.1 Limiti per x tendente a un valore finito 0.1.1 Limite destro e ite sinistro finiti Dati una funzione reale f definita in D f e un numero reale x 0 [D f ]: Si definisce ite finito sinistro di f(x) per
DettagliPotenze, logaritmi, equazioni esponenziali e logaritmiche.
Potenze, logariti, equazioni esponenziali e logaritiche Potenza con esponente intero di un nuero reale Sia a R ed n Z Ricordiao, anzitutto, le seguenti definizioni: ) se n >, si chiaa potenza ennesia (che,
DettagliFUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) Verificare che x è continua in x 0 per ogni x 0 0 ) Verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità
DettagliEquazioni con valore assoluto
Equazioni del tipo A(x) =a, con a Є R Equazioni con valore assoluto 1. a
DettagliY = ax 2 + bx + c LA PARABOLA
LA PARABOLA La parabola è una figura curva che, come la retta, è associata ad un polinomio che ne definisce l'equazione. A differenza della retta, però, il polinomio non è di primo grado, ma è di secondo
DettagliConfronto locale di funzioni
Confronto locale di funzioni Equivalenza di funzioni in un punto Sia A R ed f, g due funzioni definite in A a valori in R. Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Definizione. Si dice che f è equivalente
DettagliA grande richiesta, esercizi di matematica&.!
A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = 1/x, disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =1/(x+1) ; g(x) =1/(2x -1); g(x) =2 + 1/x ; g(x) =2-1/x
DettagliAlcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità
Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non
DettagliStudio del segno di un prodotto
Studio del segno di un prodotto Consideriamo una disequazione costituita dal prodotto di più binomi, ad esempio: ( x 1 )( 4 x)( x + 3) > 0 Per risolverla possiamo studiare il segno del prodotto al variare
Dettagli1 Disquazioni di primo grado
1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni
DettagliCongetture di Weil per le curve non singolari
Chapter 13 Congetture di Weil per le curve non singolari In questo capitolo dareo l idea della diostrazione delle congetture di Weil per le curve non singolari seguendo la diostrazione di Bobieri Stepanov.
DettagliInsiemi di numeri reali
Capitolo 1 1.1 Elementi di teoria degli insiemi Se S è una totalità di oggetti x, si dice che S è uno spazio avente gli elementi x. Se si considerano alcuni elementi di S si dice che essi costituiscono
DettagliCAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l asse reale, cioè: C.E. = {x R: < x < + } 2 x1,2 C +
y = x + 7x + 5 CAPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è polinomiale, essa risulta definita su tutto l asse reale, cioè: C.E. = {x R: < x < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Per determinare l intersezione
Dettagli25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
DettagliDISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Le disequazioni di secondo grado intere si presentano nella forma (o equivalgono ad essa):
P. \ Disequazioni di secondo grado Maggio 0 Copyright-I.S. DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO DISEQUAZIONI INTERE DI SECONDO GRADO Le disequazioni di secondo grado intere si presentano nella forma (o equivalgono
Dettagli( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori
Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( ) l insieme dei valori che la variabile può assumere affinché la funzione f ( ) abbia significato. Vediamo di individuare alcune
DettagliEquazioni di 2 grado
Equazioni di grado Tipi di equazioni: Un equazione (ad una incognita) è di grado se può essere scritta nella forma generale (o forma tipica o ancora forma canonica): a b c con a, b e c numeri reali (però
DettagliTrovare il valore dei seguenti logaritmi:
Trovare il valore dei seguenti logaritmi: 1) x = log 2 16 log 2 16 = x 2 x = 16 cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 2 mi da' 16 Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il
DettagliDicesi equazione irrazionale un equazione nella quale l incognita compare sotto il segno di radice
Equazioni Irrazionali pag Easy matematica Equazioni irrazionali Dicesi equazione irrazionale un equazione nella quale l incognita compare sotto il segno di radice Per risolvere un equazione irrazionale
DettagliEsponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)
Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5
DettagliBy Fabriziomax. Storia del concetto di derivata:
By Fabriziomax Storia del concetto di derivata: Introduzione: La derivata fu inventata da Newton per risolvere il problema pratico di come definire una velocita e un accelerazione istantanea a partire
Dettagli3. Segni della funzione (positività e negatività)
. Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della
DettagliStudiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +
Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere
DettagliEsercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a
26 Esercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a.2008-09. Parte V. Anelli Nota. Salvo contrario avviso il termine anello sta per anello commutativo con identità. Es. 154. Provare che per ogni intero n
DettagliLe funzioni reali di una variabile reale
Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B
DettagliI Compitino DI MATEMATICA Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 20 Novembre 2008
1 I Compitino DI MATEMATICA Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 2 Novembre 28 Soluzioni Esercizio 1. (6 punti in totale) Il testo è molto lungo, e l esercizio ìn massima
DettagliAnno 2. Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza
Anno 2 Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza 1 Introduzione Perché studiare i radicali? In matematica ogni volta che facciamo un operazione dobbiamo anche vedere se è possibile tornare
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
DettagliPRINCIPIO DI INDUZIONE. k =. 2. k 2 n(n + 1)(2n + 1) 6
PRINCIPIO DI INDUZIONE LORENZO BRASCO Esercizio. Diostrare che per ogni n si ha nn. 2 Esercizio 2. Diostrare che per ogni n si ha 2 2 nn 2n. Soluzione Procediao per induzione: la 2 è ovviaente vera per
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliMATEMATICA CORSO A IV APPELLO PROVA SCRITTA DEL 18/01/2012 SCIENZE BIOLOGICHE
MATEMATICA CORSO A IV APPELLO PROVA SCRITTA DEL 18/01/2012 SCIENZE BIOLOGICHE 1-(Vale 4 punti) Per procedere all acquisto on line di un biglietto aereo è necessaria una password composta da 4 simboli che
DettagliEquazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5
Equazioni Indice Equazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5 Equazioni. Equazioni intere Un'equazione algebrica (o polinomiale) ha sempre la forma,
DettagliDisequazioni di secondo grado
Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione
DettagliPotenze, esponenziali e logaritmi 1 / 34
Potenze, esponenziali e logaritmi / 34 Grafico della funzione x 2 e x 2 / 34 y f(x)=x 2 y=x f (x)= x x Le funzioni potenza 3 / 34 Più in generale, si può considerare, per n N, n>0, n pari, la funzione
DettagliTeorema delle Funzioni Implicite
Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliLa dualità nella Programmazione Lineare
Capitolo 3 La dualità nella Programmazione Lineare 3.1 Teoria della dualità Esercizio 3.1.1 Scrivere il problema duale del seguente problema di Programmazione Lineare: min x 1 x 2 + x 3 2x 1 +3x 2 3 x
Dettagli1 La funzione logaritmica
Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia - A.S. 2011/2012 Equazioni e disequazioni logaritmiche - Simone Alghisi 1 La funzione logaritmica Si è dimostrato che l'equazione esponenziale in forma
DettagliMatematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi
Dettagli21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
DettagliEsercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni
Esercizi riguardanti iti di successioni e di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Novembre 20. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori,
DettagliAppunti di complemento per le lezioni del corso di Matematica Finanziaria L OPERAZIONE DI AMMORTAMENTO
Appunti di copleento per le lezioni del corso di Mateatica Finanziaria L OPERAZIONE DI AMMORTAMENTO Preessa Il presente testo di appunti è stato scritto per fornire agli studenti un supporto didattico
DettagliMassimo limite e minimo limite di una funzione
Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.
DettagliEsercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).
Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.
DettagliLimiti di successioni
Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche
DettagliISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA
ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a
DettagliLa retta. Materia: Matematica Autore: Mario De Leo
La retta Definizioni Rette particolari Rappresentazione grafica Rette parallele e perpendicolari Retta per un punto e per due punti Distanza di un punto da una retta Intersezione tra due rette Esercizi
DettagliUn paio di esempi su serie e successioni di funzioni
Un paio di esempi su serie e successioni di funzioni 29 novembre 2010 1 Successione di funzioni Ricordiamo innanzitutto un po di definizioni. Definizione 1. Una successione di funzioni è una corrispondenza
DettagliLimiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti
Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliDIFFERENZIAZIONE. Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim
DIFFERENZIAZIONE 1 Regola della catena Sia f una funzione reale di variabile reale con dominio un intervallo. Se f è derivabile in un punto x 0, allora: f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ). x x 0 x x 0 Questa
DettagliEsercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x
Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliEquazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008. Dott.ssa G. Bellomonte
Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008 Dott.ssa G. Bellomonte Indice 1 Introduzione 2 2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Dettagli6. LIMITI. Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 6. LIMITI Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 IDEA INTUITIVA DI LIMITE I Caso: comportamento di una
DettagliStabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.
Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero
DettagliSoluzioni dei quesiti di matematica (3)
Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 1 Soluzioni dei quesiti di matematica (3) 1) Anche senza usare i criteri di classificazione delle curve del second ordine, è possibile rendersi conto che l equazione
DettagliSoluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor
Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor Formule di MacLaurin più usate (h, n numeri interi non negativi; a numero reale): e t =+t + t! + t3 tn +... + 3! n! + o(tn ) ln( + t) =t t + t3 3 t4 4 +...
DettagliLA RETTA. La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine.
LA RETTA La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine. Proprietà: Per due punti del piano passa una ed una sola retta. Nel precedente modulo abbiamo visto che ad ogni punto del
DettagliEsercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi
Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui
DettagliESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?
A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento
DettagliSvolgimento degli esercizi del Capitolo 1
Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione
Dettaglif(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero
. Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],
DettagliLe derivate parziali
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire
DettagliINTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni
INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni L'analisi matematica classica prende le mosse dalla nozione di ite. Inizialmente la presentazione sarà del tutto informale e qualitativa, poi
DettagliStudio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2
Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,
DettagliSuccessioni di funzioni: esercizi svolti
Successioni di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Determinare il limite puntuale delle seguenti successioni di
DettagliStudi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x
Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare
DettagliSimboli di Landau. Equivalenza. Esempi (limiti notevoli).
Simboli di Landau Conducono ad un algebra snella e significativa per il calcolo di iti Procurano un linguaggio tecnico per confrontare il comportamento di due funzioni nell intorno bucato di c (comportamento
DettagliFUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA
FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE IL CAMPO DI ESITENZA Si dice campo di esistenza (C.E.) di una funzione f(x), l'insieme di tutti i valori reali che assegnati alla variabile indipendente x permettono
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliORDINAMENTO 2007 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 2007 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Si determini il campo di esistenza della funzione y = (x 2 3x) 1 x 4. Ricordiamo che il campo di esistenza di una funzione del
DettagliVerifica di Matematica Classe Quinta
Verifica di Matematica Classe Quinta Valutazione Conoscenze. Fornisci la definizione di funzione continua in un punto x del dominio. Una funzione f(x) è continua in x 0 D se i iti destro e sinistro in
DettagliEsponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)
Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliDERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.
DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo
DettagliCarlo Sintini, Problemi di maturità, 1965 Settembre, matematicamente.it
Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it Settebre 196 In un riferiento cartesiano ortogonale O(x,y) è data la curva di equazione x 1 (1) y x Essendo una costante reale. 1) Ricercare
DettagliEsponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)
Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5
DettagliLa domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente:
Disequazioni: caso generale Consideriamo ora la risoluzione di disequazioni che presentino al suo interno valori assoluti e radici. Cercheremo di stabilire con degli esempio delle linee guida per la risoluzione
DettagliMaturità scientifica P.N.I Q.1
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 Maturità scientifica P.N.I. 99 Q. In un piano cartesiano ortogonale Oxy si considerino le parabole C e C di equazione rispettivaente:
DettagliCorso di Analisi Matematica Limiti di funzioni
Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei
DettagliRICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1
RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE,
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli