Dal messaggio a sequenze di numeri

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1 Dal messaggio a sequenze di numeri Le classi resto modulo n := Z n Due numeri interi a, b, si dicono congrui modulo n (con n intero >1) se divisi per n hanno lo stesso resto: a=bmodn a= kn+b a-b = kn con k ε Z Esempio: n = 6 gli interi si possono così suddividere Classi resto [0] [1].-5, 1, 7, 13, [] -10, -4,, 8, [3]..-9, -3, 3, 9,15 [4] -8. -, 4, 10, 16 [5]..-7, -1,-5, 11, 17,. Si definisce Z 6 = {[0],[1],[],[3],[4],[5], classi resto modulo 6 [ 0],[1]...[ n 1] In generale Z n ={ } } Le operazioni in Z n La somma [a] + [b] = [c] dove c (a+b)mod n la classe [0] è l elemento neutro rispetto alla somma data la classe [a] la classe [n-a ] è l opposto la somma gode della proprietà associativa, commutativa, esiste l elemento neutro e l opposto di ogni elemento Tabella della somma in Z Il prodotto in Zn [a] * [b] = [c] dove c (a*b)modn Il paradosso!!! [3] + [3] = [0] Pag. 1/10

2 La tabella del prodotto In Z 6 * [] * [3] = [0] non vale la legge dell annullamento del prodotto!!! Esiste l inverso di ogni elemento [0]?? oltre alla classe [1]? Nooo!!! solo [5] ha l inverso ed è [5] La tabella del prodotto in Z 5 * Esiste l inverso di ogni elemento [0]?? ( escluso [1] che ha sempre come inverso [1] ) Siiii!!! [] è l inverso di [3] [4] è l inverso di [4] Teorema 1.1 Un elemento [a] di Z n ha l inverso se e solo se a è primo con n cioè se il massimo comun divisore fra a ed n (MCD(a;n)) è uguale ad 1 Conseguenza importante: Se n è un numero primo allora ogni elemento di Z n [0] ammette l inverso Proprietà del prodotto in Z n : Il prodotto gode della proprietà commutativa; associativa, esiste l elemento neutro, l inverso di ogni elemento esiste se e solo se solo se n è primo, nel caso che n non sia primo un elemento a di Z n è invertibile se e solo se a è relativamente primo, con n inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma. Pag. /10

3 Una prima applicazione dell aritmetica modulare nella crittografia Alice e Bianconiglio vogliono accordarsi su un numero (chiave) per decodificare i loro messaggi senza che Cat, il gatto ficcanaso, ne venga a conoscenza. La loro strategia consiste nel mettersi pubblicamente d accordo su numeri per esempio 5 e 13 e di spedirsi il risultato di 5 x mod 13 ed anche Cat ne è a conoscenza Alice sceglie come suo numero segreto x =6, calcola 5 6 = mod13 e lo spedisce a Bianconiglio Bianconiglio sceglie come suo numero segreto x= 3, calcola 5 3 = 15 8 mod13 Cat vede sia 1 che 8.. sa che è il risultato di 5 x mod13 ma non conosce né l esponente x usato da Alice né quello usato da Bianconiglio Alice prende il numero 8 spedito da Bianconiglio e calcola 8 6 = mod13 Bianconiglio prende il numero1 spedito da Alice e calcola 1 3 = mod13 Come e possibile??? Alice ha calcolato (5 3 ) 6 mod 13 e Bianconiglio ha calcolato (5 6 ) 3 mod 13 ed ovviamente hanno ottenuto lo stesso risultato Alice e Bianconiglio si sono accordati sulla comune chiave crittografica 1 senza essersela direttamente comunicata e soprattutto facendo rimanere Cat con un palmo di naso!!!! La fattorizzazione di un numero con il metodo di Euclide Proposizione: Siano a 1 e a numeri interi positivi con a 1 > a >1 e sia a 3 il resto della divisione di. a 1 per a allora MCD(a 1, a ) = MCD(a, a 3 ) Mediante questa proposizione si può implementare un procedimento detto l algoritmo di Euclide che consente di determina il massimo comun divisore fra due interi con un costo computazionale relativamente basso Esempio: determinare il massimo comun divisore fra a 1 = 1547 e a = 560 Applicazione dell algoritmo di Euclide Resti delle divisioni 1547 : 560 = con resto a 3 = 47; 47 = : 47 = 1 con resto a 4 = 133; 133 = : 133 = 3 con resto a 5 = 8; 8 = : 8 = 4 con resto a 6 = 1; 1 = , 8 : 1 = 1 con resto a 7 = 7; 7 = : 7 = 3 con resto a 8 = 0 Quindi il MCD(1547; 560) = 7 Una conseguenza importante dell algoritmo di Euclide è che è possibile scrivere il massimo comun divisore di. a 1 e a come somma di multipli (positivi e negativi) di a 1 e a cioè a 1 X+ a y = d ( d := MCD(a 1, a ) ) Pag. 3/10

4 Nell esempio precedente abbiamo calcolato il massimo comun divisore fra a 1 = 1547 e a = 560 ed abbiamo visto che è uguale a 7, esprimiamolo ora come somma di multipli di 1547 e 560 utilizzando i risultati della seconda colonna della tabella precedente MCD(1547; 560) = 7 = = 8-1 ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = , e dunque MCD (1547; 560) = 7 = NB se a 1 e a sono relativamente primi a 1 X+ a y =1 (*) Mediante questa uguaglianza possiamo facilmente determinare l inverso di un numero a in Z n se a ed n sono relativamente primi Esempio: determiniamo l inverso di 35 in Z 33 cioè quel numero a tale che 35*a 1 mod 33 35*a = 33*y +1 35*a + 33*(-y ) = 1 ma questa è l uguaglianza (*) in quanto MCD(35, 33) =1 ; quindi preso y = 13 si determina a = 10 inverso di 35 in Z 33 infatti 10*35 = 400 = 13* mod 33 Le potenze modulo n Proposizione Se n è un numero primo allora (x+y) n x n +y n mod n Esempio (x+y) 3 = x 3 +3x y+3xy +y 3 x 3 + y 3 mod3 perché 3x y 0modn e 3xy 0modn Ma non solo Piccolo Teorema di Fermat Se n è un numero primo allora per ogni intero a a n a modn Esempio numerico : in Z 7 (3+5) = 8 1 mod 7 (3+5) 7 = mod 7 perché = 7* = = mod 7 perché 8031 =11473*7 +1 ed inoltre (x+y) 3 x 3 + y 3 mod3 x+ y mod3 Corollario 1 Se n è un numero primo allora per ogni intero a tale che MCD (a,n) =1 ( a non multiplo di n.. cioè [a] [0] ) a n-1 1 modn Esempio Z 5 = {[0],[1],[],[3],[4], }; ( n-1) = mod 5; 4 =16 1 mod 5; 3 4 = 81 1 mod 5; 4 4 = 16 1 mod 5; Pag. 4/10

5 A cosa serve questo corollario???? A calcolare potenze con il minimo sforzo Esempio Quanto è mod 17??? = (15 16 ) *15 mod 17 = 4 mod 17 A determinare l inverso in Zn di qualunque numero a primo con n infatti a è a n- : aa =a a n- = a n-1 1 mod n E se n non è primo????? TRANQUILLI!!!! C ha pensato Eulero. Teorema di Eulero Se a è relativamente primo con n allora a φ(n) 1 modn Dove φ = φ(n) è una funzione φ: N N che associa ad ogni n di N un numero che si può determinare se si conosce la fattorizzazione di n Anche in questo caso, se si conosce φ(n), si può determinare l inverso in Zn per ogni intero a tale che MCD (a,n) =1 ; infatti a = a φ(n)-1 : aa = a a φ(n)-1 = a φ(n) 1 mod n Il calcolo della funzione di Eulero per numeri molto grandi però ha la stessa complessità computazionale della fattorizzazione Ai fini di questa trattazione serve sapere che Se n è primo φ(n) = n-1 Se n è il prodotto di due fattori primi p e q allora φ(n) = (p-1)(q-1) Un algoritmo per calcolare potenze modulo n : il metodo dei quadrati ripetuti Le funzioni invertibili da Z n in Z n Data una funzione f: Z n Z n la funzione inversa f -1 ( se esiste) è la funzione che ad ogni y = f(x) di Z n (codominio) associa x = f -1 (y) = f -1 ( f(x)) Una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva e suriettiva cioè biunivoca; Nel caso di insiemi finiti Z n una funzione di Z n in sé è invertibile se è iniettiva Per costruire codici servono funzioni invertibili da Z n in sé Le funzioni lineari Data f (x) : = ax +b, l inversa è f -1 (y) = a -1 ( y-b) esiste se e solo se a e invertibile in Z n cioè MCD (a,n) =1 Pag. 5/10

6 Esempio: f(x) := 3x +1 f: Z 7 Z 7 x y f -1 (y) : = 5( y-1) (3-1 5 mod 7 perché 5*3 1 mod 7) y x Però però le funzioni lineari non possono essere utilizzate come chiavi in un codice a chiave pubblica perché abbiamo visto che un procedimento basato sull algoritmo di Euclide permette di determinare l inverso di un numero in Z n con costi computazionali non troppo elevati. a portata di crackers!!!! Le funzioni f(x): = x a Esempi introduttivi: Esempio 1 Sia f : Z 7 Z 7 t.c. f(x): = x 3 Z 7 f(x): = x 3 In Z = = 3* = 9* = 17* =30* La funzione f(x): = x 3 da Z 7 in Z 7 non è iniettiva quindi non invertibile!!! NB la funzione f(x): = x 3 f -1 (y) : = 3 y da R in R è iniettiva e suriettiva e quindi invertibile!!!! Esempio Sia f : Z 7 Z 7 t.c. f(x): = x 5 Z 7 f(x): = x 5 In Z = 4* = 34* = 146* = 446* = 1110* La funzione f(x): = x 5 da Z 7 in Z 7 è iniettiva quindi invertibile!!! Pag. 6/10

7 Tabella di f -1 (y) =x y f -1 (y) =x Perché f(x): = x 3 non è invertibile e f(x): = x 5 è invertibile come funzioni da Z 7 in Z 7???? Corollario (del piccolo di teorema di Fermat) Se n è un numero primo ed a un intero t.c. MCD( a, n-1) = 1 allora la funzione f(x): = x a è invertibile in Zn e la sua inversa è f -1 (y) := y a dove a è un intero positivo t.c. a*a 1 mod (n-1); Esaminiamo ora, alla luce del corollario, le funzioni degli esempi precedenti n = 7 ; ( n-1) = 6 Esempio 1 f(x): = x 3 ; MCD ( a=3, 6) 1 non esiste l inverso di 3 in Z 6; la funzione f(x): = x 3 non è invertibile in Z 7 Esempio f(x): = x 5 MCD ( a=5, 6) =1 ; 5 ammette inverso in Z 6; la funzione f(x): = x 5 è invertibile in Z 7 L inverso di 5 in Z 6 è 5 infatti 5*5 = 5 = 6* mod 6; Tabella di composizione di f -1 o f(x) dove f(x): = x 5 e f -1 (y) = y 5 Da Z 7 In Z 7 con f(x): = x 5 Da Z 7 f -1 (y) = y 5 In Z = 146* = 446* = 4* = 34* = 1110* f -1 o f(x) = I; I := funzione identità da Z 7 in Z 7 Un cracker che si rispetti, data la chiave pubblica (n, a) non è in grado di determinare l inverso a di a in Z(n-1)???? e quindi decrittare i messaggi critati con la funzione f(x): = x a mediante la funzione f -1 (y) := y a. Ma i matematici ne sanno una più del diavolo Proposizione 1 Se n è il prodotto di due numeri primi distinti p,q ed a è un numero intero primo con (p-1)(q-1) allora la funzione f(x): = x a è invertibile in Zn e la sua inversa è f - 1 (y) := y a dove a è un intero positivo tale che. a*a 1 mod (p-1)(q-1) ; Allora.. è fatta!!!! Pag. 7/10

8 Il codice a chiave pubblica RSA Il codice RSA utilizza come chiavi pubbliche funzioni del tipo f(x): = x a da Zn in Zn e tutto il mondo conosce la chiave pubblica (n,a) dove n è il prodotto di primi distinti p e q ( scelti molto.. ma molto grandi!!!!) a è primo con (p-1)(q-1) a n Per decrittare il messaggio occorre conoscere f -1 (y) := y a dove a è l inverso di a in Z (p-1)(q- 1) Il nostro cracker non conosce i fattori p,q. certo potrebbe calcolarli fattorizzando n ma questa è un operazione con costi computazionali enormi. a tutt oggi ai limiti del possibile soprattutto se n è il prodotto di soli fattori primi molto grandi Un esempio di codice RSA Alice vuole ricevere messaggi da Bianconiglio senza che il terribile Cat ficchi il naso Sceglie numeri primi grandi p= 13 e q = 19 calcola p*q = 47 calcola φ(47) = (p-1)(q-1) = 1*18 = 16 sceglie a = 7 ( primo con 16) calcola la sua chiave segreta mediante la relazione a*a + (-y) 16 = 1 cioè 16y + 1 a' = intero.. è fortunata!!! con y=1 a = 31 a finalmente rende noti i due numeri (47; 7) Sta per arrivare la regina.. Bianconiglio vuole avvertire Alice le scrive 90 (la paura!!!) prende la chiave pubblica di Alice ( 47, 7 ) e calcola 90 7 mod 47 per rendere più semplice il calcolo (non ha un computer Bianconiglio solo una semplice calcolatrice..) ) scrive 90 7 = ( 90 90) 90 e ad ogni passaggio riduce il numero ottenuto mod = 8100 = 3* mod *90 = = 71* mod 47 (103) = = 4* mod 47 35*90 = 1150 = 85* mod 47 Alice riceve da Bianconiglio 155 per decrittare il messaggio Alice prende la sua chiave privata a = 31 e calcola Uffa che calcolo!!!! Ma anche Alice, che è una bimba molto intelligente, usa il metodo di Bianconiglio, scrive la potenza = (((155 *155) *155) *155) *155 e calcola Pag. 8/10

9 (155) = 405 = 97* mod 47 66*155 = 1030 = 41* mod 47 (103) = = 4* mod *155 = 3645 = 147* mod 47 (116) = = 54 * mod * 155 = 1890 = 74* mod 47 (1) = mod *155 = 30 = 90* mod 47 Alice riceve 90.. aiuto!!! Se la dà a gambe levate poi.. ma questa è un altra storia Cosa è successo in questo wonderfull world??? Bianconiglio ha scritto (90) mod 47 Alice ha calcolato ((90) 7 ) 31 = = = mod 47 perché = 90 φ(47) ed essendo 90 relativamente primo con 47 per il teorema di Eulero 90 φ(47) 1 mod 47. Se la base della potenza ( il messaggio unitario) non è un numero primo con n (n= 47 nell esempio) la proposizione 1 garantisce comunque il risultato finale, purchè siano verificate le sue ipotesi. Mentre scappa Alice, che una bimba molto intelligente..riflette : ci sarà un algoritmo per calcolare le potenze mod n???) Ma certo!!! Il metodo dei quadrati ripetuti Alice pensa come avrebbe potuto calcolare ed ha questa brillante idea : L esponente 31 in base è scritto : 31= ( 1111) cioè 31 = 1+ 1* +1* + 1* 3 + 1* 4 da cui * + 1* + 1* + 1* = 155 = (155 )(155 ) (155 ) (155 esegue ora dei prodotti successivi riducendoli passo passo modulo 47 3 ) 1 (155 4 ) = 45 = mod = 1030 = mod 47 (155 ) = (66) = 4356 = mod = = mod 47 3 (155 ) = (157) = 4649 = ( = 736= ) mod 47 4 (155 ) = (196 ) = = mod = 157 = mod 47 Semplice no??? Pag. 9/10

10 La sicurezza del codice RSA Il codice RSA è virtualmente inattaccabile per un fatto molto semplice: la fattorizzazione di un numero intero nel prodotto di fattori primi richiede un tempo molto grande quando questo numero è abbastanza grande, quindi anche se si sa che il numero n è il prodotto di due soli numeri primi ( grandi) p e q trovarli risulta praticamente impossibile. e di conseguenza risulta impossibile trovare la chiave segreta. Diamo un occhiata a questa tabella: Cifre di n Sapere se n è primo richiede Trovare i fattori di n richiede sec 4 ore 75 sec 104 giorni sec 74 anni min 4*10 9 anni (età della terra) giorni 4*10 5 anni Pag. 10/10