Propagazione delle incertezze statistiche. Dott. Claudio Verona

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1 Propagazione delle incertezze statistiche Dott. Claudio Verona

2 Propagazione delle incertezze La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non possono essere misurate da una misura diretta, ma viene determinata da misure indirette. I passi da seguire sono: 1. Misura di una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali la grandezza che ci interessa dipende.. Dalle grandezze misurate si calcola la grandezza in questione attraverso formule e/o relazioni matematiche. Per quanto riguarda la stima dell incertezza da associare alla grandezza di interesse, si procede quindi in due passi: 1. Stimare le incertezze delle grandezze misurate direttamente.. Applicare la propagazione delle incertezze per produrre un incertezza da associare alla grandezza in questione.

3 Propagazione delle incertezze: somme e differenze Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = x + y Dove da misure dirette si è ricavato Calcoliamo il valore di q x = ± δx y = ± Si ha che q = ± δx + ± = + ± δx + q = q best ± δq Dove q best = + e l incertezza da associare alla grandezza q è δq = δx + Nelle somme algebriche si sommano le incertezze delle varie grandezze. Analogamente anche nelle differenze di ottiene che l incertezza associata è la somma delle incertezze.

4 L incertezza relativa del prodotto tra due grandezze è la somma delle incertezze relative delle varie grandezze Propagazione delle incertezze: prodotti Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = x y Dove da misure dirette si è ricavato Come si calcola l incertezza? x = ± δx y = ± q = ± δx ± = 1 ± δx 1 ± = 1 ± δx 1 ± = 1 ± ( δx + ) = x ± ( δx + best ) Trascurando il doppio prodotto δx che è un numero molto più piccolo delle incertezze relative di x e y Si ha che q = q best ± δq ; Dove q best =. Mentre l incertezza sulla grandezza q si ricava dalla relazione: δx δq = q best + δq = δx + q best

5 Propagazione delle incertezze: quozienti Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = x y Dove da misure dirette si è ricavato Come si calcola l incertezza? x = ± δx y = ± q = ±δx quindi ± = 1± δx 1± Essendo <<1 per approssimazione di Taylor si ha 1 1± = 1 q = 1 ± δx 1 = 1 ± ( δx + )

6 Propagazione delle incertezze: quozienti q = 1 ± ( δx + ) Trascurando il doppio prodotto che è un numero piccolo rispetto alle incertezze relative di x e y Si ha che q = q best ± δq Dove q best = Mentre l incertezza della grandezza q si ricava dalla relazione: δq q best = δx + L incertezza relativa del quozienti di grandezze è la somma delle incertezze relative delle varie grandezze.

7 Propagazione delle incertezze: casi particolati casi particolari : prodotto di una grandezza misurata per una costante Data una misura di una grandezza derivata q definita da q = Cx (es. A = πr ) Dove da misure dirette si è ricavato x = ± δx Come si calcola l incertezza? Dal momento che C è una costante allora δc = 0 (C non ha incertezza) Pertanto δq q best = δx L incertezza relativa di q è esattamente quella relativa di x. Ora siccome q best = C δq C = δx δq = Cδx L incertezza assoluta di q è C volte l incertezza assoluta di x

8 Propagazione delle incertezze: casi particolati casi particolari : potenza di una grandezza misurata Data una misura di una grandezza q definita da q = x n = x x x x x x (n volte il prodotto) Seguendo la regola ottenuta precedentemente per i prodotti δq = n δx q best L incertezza relativa di q è n volte quella relativa di x

9 Propagazione delle incertezze: Esempio ESEMPIO: Supponiamo di voler misurare l accelerazione di gravità g misurando il tempo di caduta t di un sasso da un altezza h dal suolo. Da una misura otteniamo t = 1. 6 ± 0. 1 s h = ± 0. 1 m Dal momento che h = 1 gt g = h t Quindi l accelerazione è g = m/s Qual è l incertezza da associare al risultato? Applichiamo le regole appena viste (quoziente e potenza). Calcoliamo le incertezze relative di t e h δt = = 0.06 = 6.% t δh = = = 0.8% h L incertezza su t è due volte l incertezza relativa di t, il fattore non ha incertezza, quindi troviamo che l incertezza relativa di g è δg g = δh h + δt = 0.13 = 13.% t Allora δg = = Il risultato si scrive g = (10. ± 1. 4) m/s

10 Propagazione delle incertezze: Funzioni di una variabile Funzioni arbitrarie di una variabile q = q x (Es. q = ln x, q = e cx, q = Dove da misure dirette si è ricavato La miglio stima di q naturalmente è q best = q x = δx Se l incertezza δx è piccola allora la funzione q(x) tra i due valori di q max e q best è approssimabile ad una retta in modo che risulti δq = q + δx q = dq dx xbest δx (differenziale esatto) Pertanto, in generale, vale la regola x) δq = dq dx xbest δx

11 Propagazione delle incertezze: formula generale In generale se la grandezza q è funzione arbitrarie di più variabili (x, y, z, etc.) q = q x, y, z, etc. (Es. q = x y allora l incertezza di q è ricavabile dall z equazione ) δq = dq dx δx + dq 0 dy dq + δz+.. dz Formula generale della propagazione delle incertezze

12 Propagazione delle incertezze di due grandezze indipendenti e casuali Se le variabili x e y sono indipendenti e causali gli errori non si sommano linearmente (caso più pessimista) ma quadraticamente. Dimostreremo in seguito che in realtà sono molto più realistiche (specie per le incertezze di tipo statistico, incertezze originarie sono indipendenti e casuali) le seguenti regole: Somma e differenza δq = δx + Prodotto e quoziente Si usano le cosiddette «somme quadratiche» δq q = (δx x ) +( y ) Caso generale q = q x, y, z.. --Formula generale della propagazione degli errori-- δq = dq dx δx + dq dy + dq dz δz +.

13 Propagazione delle incertezze di due grandezze indipendenti e casuali Errore massimo δx δx + δq = δx + δq sovrastima il nostro valore probabile. Qual è la migliore stima dell incertezza δq? Errore «in quadratura»: possibilità di bilanciamento tra sovrastime e sottostime dei vai parametri x, y δq = δx + Per Pitagolra: qualunque lato di un triangolo è minore della somma degli altri due. Quindi è sempre vera la seguente disuguaglianza δx + < δx +

14 Propagazione delle incertezze: esempio Esempio. Supponiamo di voler trovare l efficienza η di un motore elettrico in corrente continua I utilizzandolo per sollevare una massa m fino ad una altezza h. Il lavoro compiuto è mgh e l energia elettrica erogata VIt. L efficienza allora è η = mgh Supponiamo che m,h,v e I siano tutte misurate con incertezza del 1% mentre il tempo t una incertezza del 5%. Se calcoliamo l incertezza sull efficienza otteniamo δη η = δm m + δh h + δv V + δi I + δt t = % = 9% Se le varie incertezze sono indipendenti e casuali (grandezze fisicamente differenti e calcolati con procedure differenti e che seguono una distribuzione statistica) allora possiamo calcolare l incertezza con la somma quadratica δη η = δm m + δh h + δv V + δi I + δt t = 5% Incertezza è decisamente più piccola e corrisponde all incertezza sul tempo t, si trascurano le altre incertezze su m,h,v e I. VIt