1 Fit di dati sperimentali: il χ 2. Il metodo dei minimi quadrati.

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1 1 Fit di dati sperimentali: il χ 2. Il metodo dei minimi quadrati. Per comprendere dei fenomeni fisici, non basta raccogliere buoni dati sperimentali, occorre anche interpretarli. Molto spesso lo scopo di una misura non e solo quello di conoscere il valore di una certa quantita ma anche di trovare una funzione matematica che approssimi i dati reccolti. Supponiamo di aver effettuato delle misure di una certa quantita fisica che dipenda da un altra quantita : y = f(x). Supponiamo inoltre che, per ogni valore di x, si siano raccolti diversi valori di y in modo tale che ad ogni misura di y sia associato un errore σ y. Vogliamo ora trovare la funzione f che meglio approssima i dati sperimentali. Questa procedura prende il nome di fit e la funzione f che meglio approssima i dati si chiama funzione di best fit. Come facciamo a trovare questa funzione? Uno dei metodi piu comunemente utilizzati e quello di definire il χ 2. Se indichiamo con x i, y i e σ i rispettivamente i valori della variabile indipendente i, i valori delle quantita misurate e gli errori corrispondenti, il χ 2 viene definito come: χ 2 = (y i f(x i )) 2 Ebbene, la funzione f(x i ), che dipendera da una certa serie di parametri a, b, c... sara ottenuta trovando il minimo della funzione di χ 2. Il processo di minimizzare la funzione di χ 2 in modo generale puo essere alquanto complesso e va oltre lo scopo di questo corso. Qui ci occuperemo di un caso piu semplice: quello in cui f(x) sia semplicemente l equazione di una retta: f(x) = a+bx (2) Supponiamo inoltre che gli errori siano tutti uguali, per cui la (1) si puo scrivere come: (1) χ 2 = (y i f(x i )) 2 (3) Sostituendo la (2): χ 2 = (y i (a+bx i )) 2 (4) Il minimo di una funzione viene ottenuto eguagliando la sua derivata a zero. Poiche la funzione di χ 2 dipende dai due valori incogniti a e b, chiederemo che: e χ 2 (a,b) a χ 2 (a,b) b 1 = 0 (5) = 0 (6)

2 Derivando otteniamo: o anche: 2 (y i (a+bx i )) = 0 (7) 2 (y i (a+bx i ))x i = 0 (8) y i a bx i = 0 (9) x i y i ax i bx 2 i = 0 (10) Queste si possono ancora scrivere come: y i N a b x i = 0 (11) e infine: x i y i a x i b x 2 i = 0 (12) N a+b x i = y i (13) a x i +b x 2 i = x i y i (14) Definiamo ora le seguenti quantita : < x >= x i (15) < x 2 >= x 2 i (16) < xy >= x i y i (17) < y >= y i (18) Utilizzando questi simboli le (5) si possono scrivere come: N a+b < x >=< y > (19) a < x > +b < x 2 >=< xy > (20) 2

3 Figure 1: Metodo di Cramer per la soluzione di un sistema di 2 equazioni in 2 incognite. Queste due equazioni costituiscono un sistema che si puo risolvere col metodo di Cramer. Definiamo = N < x 2 > < x > 2 (21) I coefficienti dell equazione della retta saranno dati dalle equazioni: e b = N < xy > < x >< y > a = < x2 >< y > < x >< xy > Dalla dispersione dei dati sperimentali si possono ottenere gli errori si a e b. Definiamo Le incertezze su a e b sono σ y = 1 N 2 (22) (23) (y i a bx i ) 2 (24) 3

4 σ a = σ y < x2 > (25) σ b = σ y N (26) 4

5 Metodo dei minimi quadrati per una retta che passa per l origine con errori di misura Supponiamo di voler calcolare il coefficiente angolare di una retta che passa per l origine del tipo: y = Kx (27) Supponiamo di avere N misure sperimentali indicate con (x i,y i ). La retta che cerchiamo e quella che rende minima la quantita : χ 2 = (y i y) 2 = (y i Kx i ) 2 In questa espressione K e la quantita incognita. Il minimo di una funzione di una variabile si calcola imponendo che la sua derivata sia nulla. χ 2 K = (y i Kx i ) 2 K σi 2 Questa si puo scrivere anche come (28) = 2 (y i Kx i ) ( x σi 2 i ) = 0 (29) e quindi (x i y i Kx 2 i) = 0 (30) Per semplificare, indichiamo con x i y i = K x 2 i (31) e con < xy >= x i y i (32) < x 2 >= x 2 i Che sono semplicemente le medie pesate dei prodotti x i y i e di x 2 i. L equazione (5) diventa: (33) Da questa possiamo calcolare K < xy >= K < x 2 > (34) K = < xy > < x 2 > (35) 5

6 Nel caso gli errori siano tutti uguali, vale sempre la relazione (30), basta sostituire σ i = 1 nelle (28) e (29). L inertezza su K la si ottiene usando la dispersione dei punti Definiamo quindi σ y = 1 N 1 (y i Kx i ) 2 (36) σ K = σ y < x2 > (37) 1.1 Qualita del fit Il valore del χ 2 ottenuto permette di avere delle informazioni sulla qualita della descrizione dei dati. Definiamo Numero di gradi di liberta indicato con NDF la seguente quantita NDF = N dati N param (38) dove N dati e il numero di dati a disposizione e N param e il numero di parametri liberi nel fit. Adesempio, dovendodescrivereunsetdi10misureconunaretta,n dati = 10,N param = 2, per cui NDF = 8. Una regola empirica e quella che il χ 2, correttamente calcolato utilizzando gli errori di misura, deve essere dello stesso ordine di grandezza di NDF. Un esempio e dato dalla figura 2. Il fit e stato effettuato con una retta, che descrive adeguatamente i dati. appletviewer figs/mq.html Un secondo esempio e dato dalla figura 3. Il fit e stato effettuato con una retta, che non descrive adeguatamente i dati. In questo caso si e dovuto ricorrere ad un fit con ul polinomio di secondo grado per una descrizione adeguata. appletviewer figs/mq2.html Per una trattazione piu accurata si veda l esercizio ndel seguito. 6

7 Figure 2: Fit di dati sperimentali col metodo dei minimi quadrati. Una retta descrive adeguatamente i dati sperimentali. NDF=10-2=8. Figure 3: Fit di dati sperimentali col metodo dei minimi quadrati. (Sinistra) Una retta non descrive adeguatamente i dati sperimentali NDF=10-2=8. (Destra) Un polinomio di II grado descrive adeguatamente i dati. NDF=10-3=7. 7