Teoria degli Errori. Come si raccolgono, interpretano i dati e come si presentano i risultati di un esperimento?

Transcript

1 Teoria degli Errori Come si raccolgono, interpretano i dati e come si presentano i risultati di un esperimento? Cosa significa che uno strumento èpiù preciso di un altro? Quando vale la pena di ripetere più volte una misura? E quante volte? Cosa fare di un dato che non va d accordo con gli altri? Risposta quantitativa in termini di probabilità! 1

2 Errori Casuali Errori come incertezze (fluttuazioni casuali, in generale simmetriche attorno al valore vero) sono inevitabili nelle misure ; indipendentemente dalla precisione dell apparato di misura. es. misure ripetute con risultati diversi. es. misure non ripetibili es. misure ripetute, con risultato un solo valore ben definito (l errore proviene dalla sensibilità dello strumento) Non si misura mai il valore vero di una grandezza: scopo dell esperimento è stimarlo con tutta l accuratezza necessaria. È importante che il risultato sia fornito insieme all accuratezza con cui è stato misurato. 2

3 Errori sistematici Non tutti gli errori sono incertezze (fluttuazioni casuali). Esistono gli sbagli (trascureremo questa categoria nel corso teorico), ed esistono gli errori sistematici. Costituiscono errori sistematici tutti quegli effetti reali che vengono tuttavia trascurati in un esperimento: Tipo teorico (resistenza dell aria nella caduta di un grave, attrito in un pendolo, rifrazione della luce in una lettura di scala attraverso un vetro, espansione del regolo misuratore con la temperatura, ecc.) Tipo strumentale (errori nelle divisioni delle scale graduate, eccentricità di cerchi graduati che dovrebbero essere concentrici, ecc.) Gli errori sistematici sono: 3

4 Eliminabili in linea di principio, calcolando l effetto (o calibrando lo strumento) e correggendo (se sono piccoli rispetto all accu- ratezza richiesta può non essere conveniente farlo!) Non distribuiti simmetricamente 4

5 =) 5382 ± 5 Cifre Significative È impossibile dire se una cifra è significativa se non si indica l errore! L ultima cifra significativa di un risultato è quella dello stesso ordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell errore. Sono non significative le cifre del risultato che rappresentano una frazione (< piccola < 1=3, 1=10) dell errore! Esempio: il risultato x = 5382:31 ± 20 non ha senso scriverò =) x = 5380 ± 20 se ffix = 5 il risultato va presentato così 5

6 Rappresentazione ed Utilizzo degli errori Il risultato di un esperimento va sempre espresso nella forma: x ± ffix con ffix > 0 dove x è la migliore stima del valore vero (x v )effix è l errore su ffix x : è tale che [x ffix; x + ffix] nell intervallo è probabile che si trovi il valore x vero v. Vedremo ffix che è scelto in maniera tale [x ffix; x + ffix] che ha 68% il di probabilità di x contenere v 6

7 Errori relativi Se x ± ffix allora: l errore relativo (o errore frazionario) = ffix jxj Quantità adimensionale: perchè ffix ha le stesse dimensioni di x Moltiplicato 100 dà l errore percentuale (%) 7

8 Distribuzione Un insieme di misure costituisce una Distribuzione: illustreremo quindi i vari tipi di distribuzioni ed i loro parametri piú significativi. Supponiamo, per esempio, di avere fatto 9 misure di qualche x grandezza ed otteniamo 6 valori distinti: 2.2, 2.4, 2.6, 2.75, 2.85, 3.0 N = 9 numero delle misure M = 6 numero di valori distinti 8

9 La Distribuzione Discreta di queste misure in un piano cartesiano riporta in ascisse i valori, in ordinate il numero n k di volte che ciascun valore è stato ottenuto (frequenza assoluta); se sommiamo tutti i numeri n k, allora otteniamo il numero totale di misure 9

10 MX F k = n k MX fatte, cioé: n k = N k=1 Un modo diverso si esprimere questi concetti è attraverso la definizione di frequenza relativa Se in ordinata riportiamo la frequenza relativa la distribuzione si dice normalizzata; cioé, la somma delle frequenze relative per tutti i risultati possibili è uguale a 1. Qualunque insieme di numeri la cui somma è1è detta essere normalizzata. N F k = 1 è quindi chiamata condizione di normalizzazione k=1 10

11 Distribuzione Continua Possiamo tracciare una curva continua che passi per i punti della distribuzione discreta; maggiori sono i punti della nostra distribuzione migliore sará la curva che possiamo tracciare. Possiamo introdurre il concetto di distribuzione limite delle frequenze per un esperimento infinito: Tale concetto è un estrapolazione, quindi un assunzione: In questo senso non si osserva mai. Ma è utile perchè permette una semplificazione (soprattutto) matematica. Ovviamente la distribuzione limite sarà una curva continua f(x). Per la distribuzione continua avremo che la frazione di misureeventi che cadono nell intervallo infinitesimo dx, con estremo inferiore x, sarà F (x) = f(x)dx 11

12 Z b La condizione di normalizzazione per la curva continua è +1 Z f(x)dx = 1 1 f(x) Una particolarmente interessante, che soddisfa la condizione di normalizzazione, è la funzione di densità di probabilità (p.d.f.) e l integrale tra due valori della p.d.f. dá la probabilità dell intervallo di valori, cioé : f(x)dx Dà la probabilità che una misura dia un risultato compreso tra a x = a e x = b 12

13 x i N = Caratteristiche di una Distribuzione MEDIA: media aritmetica delle misure discrete NX MX x = x k F k ; dove N è il numero totale di misure, M è il numero di misure con valori diversi. La seconda forma è più utile perchè si generalizza meglio al caso continuo. media della distribuzione continua: i=1 k=1 x = +1 Z xf(x)dx 1 Altro parametro importante è la larghezza della distribuzione. La deviazione di una x misura k x da si chiama scarto: k = (x k x) 13

14 MX MX k=1 (x k x)f k = MX MX MX F k (x k N x) 2 (x k x) 2 MX La media aritmetica di questa quantità non è un buon indicatore di larghezza, infatti è nulla: k F k = F k x k x F k = k=1 k=1 k=1 = x x 1 = 0 Usiamo quindi scarto (deviazione) quadratico medio ff 2 - discreta ff 2 = 2 k F k = Oppure calcolata con la solita notazione: k=1 k=1 NX ff 2 = k=1 14 N

15 - continua +1 Z (x x)2 f(x)dx 1 ff 2 = ff prende anche il nome di varianza: la sua radice si indica 2 con e prende il nome di deviazione standard (standard ff deviation o root mean square deviation R.M.S.). Un espressione alternativa per il calcolo della varianza è ff 2 = x 2 x 2 dimostriamo tale relazione nel caso continuo ff 2 = +1 Z (x x)2 f(x)dx = 1 +1 Z x2 f(x)dx xxf(x)dx + Z +1 x2 Z f(x)dx =

16 x 2 x 2 x + x 2 1 = x 2 x 2 2 Z +1 x xf(x)dx x2 Z +1 f(x)dx = x2 1 1 c.v.d. 16

17 ff 2 N = N X i=1 (x i x) 2 Miglior stima del valore vero e della varianza La miglior stima del valore vero misurato con N misure affette solo da errori casuali è il valore medio della distribuzione delle misure. La miglior stima della varianza ff 2 è N 1 dove abbiamo sostituito N 1 a N: per stimare ff 2 in un campione finito si dovrebbe sempre utilizzare ff N : per N piccolo è importante. 17

18 La deviazione standard della media Supponiamo che due sperimentatori (X e Y ) facciamo N misure del periodo di oscillazione di un pendolo, ed ottengano i seguenti (T risultati (sec)): X 2:58; 2:58; 2:56; 2:56; 2:59 Y 2:6; 2:6; 2:5; 2:6; 2:7! T x = 2:576 ff x = 0:0114 T y = 2:56 ff y = 0:0707 A questo livello è chiaro che X è superiore, ma supponiamo che Y decida, senza cambiare il suo modesto apparato di misura, di fare 500 misure invece delle 5 originali; T y e ff y cambieranno di 18

19 = ff(x) p ff(x) N poco, diciamo: y = 2:582 ff y = 0:075 T Tuttavia il valore medio è calcolato con molte più misure, quello che ci interessa è l errore sul valore medio; dobbiamo tenere conto del numero di misure: la deviazione standard x su si può ottenere dalla deviazione standard sulla singola misura applicando la propagazione degli errori come vedremo poi, ora anticipiamo l importante risultato: è la quantità che cercavamo: prende il nome di deviazione ff(x) standard sulla media o errore standard sulla media o semplicemente errore standard ed è la quantità che all inizio abbiamo indicato ffix con 19

20 = ff(t ) = ff(t ) p ffi = 0:075 p 500 N Se Y fa 500 misure y = 2:582 ff y = 0:075 T ) = deviazione standard ff(t errore standard 20

21 Estremamente Importante! Propagazione degli Errori Nella maggior parte dei casi la quantità che si vuole conoscere in un esperimento non è quella che si misura direttamente, ma si calcola a partire da grandezze misurate direttamente Esempio: la v velocità di un corpo si calcola misurando la distanza l percorsa ed il tempo t impiegato v = l=t oppure l accelerazione di gravità g usando un pendolo semplice ecc. 4ß2 l g 2 = T In generale la situazione si può schematizzare come segue: Conosciamo x, y, ecc. e ffix, ffiy, sappiamo z = f(x; y; :::) che e 21

22 conosciamo la forma della funzione f. Vogliamo sapere z e ffiz lavoreremo nell ipotesi che x, y siano affette solo da errori casuali ed indipendenti gli uni dagli altri; ffix, ffiy, siano stati ottenuti ff dalle delle distribuzioni x di e ffiz y, si ottiene da ff(z). E questo quello che si intende abitualmente per propagazione degli errori: se vi si chiede di propagare un errore senza altre specificazioni, è a questa propagazione che ci si riferisce. E utile ricordare che nel caso gli errori sistematici non siano trascurabili, trattarli secondo l ipotesi che abbiamo fatto è in gene- rale sbagliato. Cominceremo con funzioni semplici: somma-differenza, prodotto, quoziente, potenza. Vedremo poi la forma generale da cui si possono ottenere tutti i casi particolari. 22

23 (mx i + y 1 + ::: + y m ) = 1 n Somma - differenza z = x + y, n valori x i, m valori y j misurati; dato che x e y sono indipendenti x ogni i può essere combinato con y ogni i per dare la z somma = x i + y i ij Allora nm = 1 z nm nx mx (x i + y j ) = i j 1 nx nx (x i + y m ) = i i nm 1 (x 1 + x 2 + ::: + x n + ny m ) = x + y n Passiamo ora ff a (z), 2 ij (z) = z ij z = (x i + y j ) (x + y) = i (x) + j (y); 23

24 nx = 1 n nx nx mx nx mx 2 nm (z) = 1 ff nm 2 ij (z) = 1 nm ( 2 i (x) + 2 j (y) + 2 i(x) j (y)) = i j j i 1 ]) = (m 2 i (x) (y) + ::: + 2 m (y) + 2 i(x)[ 1 (y) + ::: + m (y) z } 0 nm i ( 2 i (x) + ff2 m (y)) = ff2 n (x) + ff2 m (y); i 24

25 PROPAGAZIONE DELL ERRORE La relazione funzionale è y = f (x) (o z = f (x; y; t:::)) x = quantità misurata ff x = errore sulla misura di x Facciamo una serie di misure x 1 ; x 2 ; x 3 ; ::::::x n Costruiamo la serie 25

26 N [f (x 1) + f (x 2 ) + ::: + f (x N )] y 1 = f (x 1 ); y 2 = f (x 2 ); :::::::y n = f (x n ) Vogliamo y calcolare ff e y ff o y Si fanno i conti già fatti seguendo una procedura più rigorosa dalla precedente a) valor medio y = 1 N (y 1 + y 2 + ::: + y N ) = 1 26

27 = ff N (x) = ff N(x) p ffix N Ricapitolazione su errori e propagazione Il risultato della misura di X va sempre posto nella forma x ± ffix con l opportuno numero di cifre significative ffix può essere casuale o sistematico Se la misura è ripetibile la miglior stima di X è x sull insieme di N misure, questa stima è affetta da errore casuale dove con ff N si è indicata la migliore stima della deviazione standard tale che N 2 (x) = X ff (x i x) 2 1 N 1 N i=1 27 ff(x) è un parametro collegato alla probabilità di deviazione di una

28 qualsiasi misura La propagazione degli errori casuali ed indipendenti è governata dalla legge: z = f(x; y) dato e note ff f, x ff, y 2 = ( ffif ff )2 ff 2 x + (ffif )2 (z) ff 2 y ffiy ffix Somma in quadratura degli errori assoluti per somme e differenze, somma in quadratura degli errori relativi per prodotti e quozienti 28

29 Esercizio Si usano 2 metodi per misurare il carico di rottura di un filo d acciaio e si fanno 10 misure per ognuno dei 2. I F risultati R in tonnelate peso sono: A: 3.3, 3.5, 3.7, 3.2, 3.6, 3.5, 3.6, 3.4, 3.6, 3.9; B: 3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.5, 3.6, 3.5, 3.5, 3.6, 3.5; Stimare la precisione di ciascun metodo. Dare la migliore stima di F R e l errore standard su F R per il metodoaeilmetodo B, trovare quante misure si dovrebbero fare con il metodo meno preciso per dare un risultato tanto accurato quanto con l altro metodo. 29

30 R ff(f ) p p 10 = N N A (F R) = ff A(F R ) p ffi = 0:0221 N Soluzione A: F R = 3:53; ff (n 1) = 0:20028 B: F R = 3:56; ff (n 1) = 0:06992 =) Stima della precisione del metodo o dell apparato ff A: ffi(f R ) = ff(f R ) = ffi(f R ) = 0:0633 B: ffi(f R ) = 0:

31 =) N ο = 82 p ff (F R ) A = 0:20028 = N = 9:062 0:0221 B ffi 31