7 - Distribuzione Poissoniana

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1 7 - Distribuzione Poissoniana

2 Probabilita' (poissoniana) o densita' di probabilita' (gaussiana) 0.7 Poisson, λ=0.5 Gaussiana, µ=λ=0.5, σ= n = numero di conteggi λ=0.7 Probabilita' (poissoniana) o densita' di probabilita' (gaussiana) Poisson, λ=2.0 Gaussiana, µ=λ=2.0, σ= n = numero di conteggi λ=1.4 Probabilita' (poissoniana) o densita' di probabilita' (gaussiana) Poisson, λ=10.0 Gaussiana, µ=λ=10.0, σ= n = numero di conteggi λ=3.2 Probabilita' (poissoniana) o densita' di probabilita' (gaussiana) Poisson, λ=100.0 Gaussiana, µ=λ=100.0, σ= n = numero di conteggi λ=10.0

3 Esercizio 1: Misure accurate hanno stabilito che un campione di torio radioattivo emette particelle alfa ad un tasso di 1.5 al minuto. - Se si conta il numero di particelle alfa emesse in due minuti, qual e il risultato medio atteso? - Qual e la probabilità che si ottenga effettivamente questo numero? - Qual e la probabilità di osservare n particelle per n=0,1,2,3,4 e per n>=5?

4 Soluzione Esercizio 1: R = 1.5 conteggi/min. t =2min. a) = R t =1.5 2 = 3 conteggi b) P 3 (3) = 33 e 3 3! = 22.4% c) P 3 (0) = 30 e 3 0! = 5% P 3 (1) = 31 e 3 1! = 15% P 3 (2) = 32 e 3 2! = 22.5% P 3 (3) = 33 e 3 3! = 22.4% P 3 (4) = 34 e 3 4! = 16.9% P (n 5) = 1 P 3 (0) P 3 (1) P 3 (2) P 3 (3) P 3 (4) = 18.2% Probabilita' (poissoniana) o densita' di probabilita' (gaussiana) Poisson, λ=3.0 Gaussiana, µ=λ=3.0, σ= n = numero di conteggi λ=1.7 Come si nota dal grafico la distribuzione di probabilità dei conteggi n e asimmetrica rispetto al valore atteso (E[n] = = 3).

5 Esercizio 2: Uno studente controlla un campione di una sostanza radioattiva per 30 minuti ed osserva 49 particelle alfa. - Qual e la sua stima del parametro λ del processo (numero di particelle alfa emesse in 30 minuti)? - Qual e la miglior stima del tasso R di decadimento (espresso in particelle al minuto)?

6 Soluzione Esercizio 2: Si vogliono stimare le proprietà del processo fisico poissoniano ( partire da un singolo esperimento di conteggio. t = 30 min. n = 49 (singolo misura, singolo conteggio) ed R) a a) La miglior stima di (numero atteso di conteggi in un intervallo di tempo t = 30) e : = n ± p n = 49 ± 7 conteggi Essendo un numero relativamente grande (> 10) siamo nel regime in cui la poissoniana e ben descritta da una gaussiana. In questa approssimazione, la probabilità che il valor vero di sia compreso nell intervallo quotato 49 ± 7 e circa il 68% (±1 gaussiana). b) La miglior stima di R = t = n ± p n conteggi =(1.6 ± 0.2) t t min. Dal momento che per la distribuzione dei conteggi e valida l approssimazione gaussiana, anche all intervallo (1.6±0.2) conteggi min. e associata una probabilità del 68% che il valor vero cada nell intervallo. q NOTA: il risultato R = n ± n =(1.6 ± p 1.6) conteggi t t min. e sbagliato! Le fluttuazioni statistiche poissoniane sono solo sul numero di conteggi n (mentre l intervallo di tempo t e supposto avere una incertezza trascurabile).

7 Esercizio 3: Un fisico nucleare controlla le disintegrazioni di una sostanza radioattiva con un contatore Geiger. Egli conta le disintegrazioni in N=15 distinti intervalli di tempo ciascuno pari a Δt=5 secondi ed ottiene i seguenti conteggi n_i: - 7, 11, 10, 7, 5, 7, 6, 12, 12, 7, 18, 12, 13, 12, 6 - Determinare il tasso di disintegrazioni (in conteggi al secondo)

8 Soluzione Esercizio 3 (pag 1): Si vuole stimare una proprietà del processo fisico in esame (il tasso di disintegrazioni R) a partire da una serie di conteggi (misure ripetute). Il problema di può svolgere in 2 modi. 1) Caso generale di una serie di misure ripetute. Si considera la variabile casuale n, numero di conteggi in un tempo t = 5s, senza fare assunzioni a priori sulla natura poissoniana del processo. Si usano media e deviazione standard campionaria come stime del valore atteso e della deviazione standard della distribuzione di probabilità di n. n = n = P N i=1 n i q PN i=1 (n i n) 2 N =9.7 N 1 = N N 1 (n2 n 2 )=3.5 Essendo il numero delle misure N = 15 relativamente grande, e una approssimazione ragionevole assumere che la deviazione standard del campione coincida con la deviazione standard della distribuzione di probabilità. Sotto queste ipotesi si ottengono le seguenti stime: = n ± n = n ± p n N =(9.7 ± 0.9) R = t =(1.94 ± 0.18) conteggi s ad 1 cifra significativa) (1.9 ± 0.2) conteggi s (approssimando gli errori

9 Soluzione Esercizio 3 (pag 2): 2) Serie di misure ripetute facendo una ipotesi poissoniana Se il processo e poissoniano, la serie di misure può essere considerata equivalente ad un unico conteggio n tot = P N i=1 n i = 145 e ettuato in un tempo tot t = N t = 75 s. La stima di ed R si ottiene quindi come nell esercizio precedente a partire da una singola misura. = n tot ± p n tot = (145 ± 12) R = t =(1.93 ± 0.16) conteggi s (1.9 ± 0.2) conteggi s Confrontando questo valore di R con quello ottenuto con il metodo 1, si osserva che sono assolutamente compatibili. Questo conferma quindi l ipotesi utilizzata nel metodo 2 che il processo in esame e e ettivamente poissoniano. NOTA: e normale che le due stime di R diano risultati leggermente diversi (ma compatibili): (1.94 ± 0.18) conteggi s vs (1.93 ± 0.16) conteggi s. Le due stime sarebbero in perfetto accordo sono nel caso N!1.

10 Esercizio 4: Una variabile casuale n (conteggi in un certo tempo fissato) e distribuita secondo una Poissoniana con λ=64. - Calcolare la probabilità che n=72 - Calcolare la probabilità che n>=72

11 Soluzione Esercizio 4: P (n) = n e n! Essendo poissoniana. a) = 64 > 10 possiamo utilizzare l approssimazione gaussiana della p(n = 72) = R G µ, (n)dn con µ = e = p. n 1 = 71.5! t 1 = n 1 µ / = n 2 = 72.5! t 2 = n 2 µ / = p(n = 72) = R µ+t 2 µ+t 1 G µ, (x)dx = Q(t 2 ) Q(t 1 ) = ( )% 2.9% Il risultato approssimato ottenuto e in buon accordo con quello esatto che richiede l uso di un calcolatore per essere ricavato: P 64 (72) = 6472 e 64 72! =2.9% (risultato esatto) b) p(n 72) = R G µ, (n)dn = R +1 µ+t 1 G µ, (n)dn = 50% Q(t 1 ) = ( )% = 17.4% NOTA: Nel rispondere alla domanda b) risulta ancora più evidente l utilità dell approssimazione gaussiana per grandi. p(n 72) = 1 P (0) P (1) P (2) P (3)... P (71) = 17.3% (risultato esatto): si tratta di un calcolo molto laborioso che richiede l uso di un calcolatore. Il risultato ottenuto con l approssimazione gaussiana e in buon accordo con quello esatto.

12 Esercizio 5: Uno studente decide di controllare l attività di una sorgente radioattiva ponendola in un rivelatore a scintillazione liquida. Nel corso di 10 minuti il rivelatore registra 2540 conteggi totali. Per tenere conto di conteggi indesiderati dovuti al rumore di fondo, egli rimuove la sorgente e nota che in 3 minuti il rivelatore registra 95 conteggi. - Determinare la miglior stima del tasso di conteggi Rsorgente dovuto alla sola sorgente.

13 Soluzione Esercizio 5: Il tasso di conteggi totale e dato dalla somma del tasso di conteggi della sorgente (processo di interesse) e del tasso di conteggi di fondo (conteggi indesiderati dovuti a processi diversi da quello di interesse): R tot = R sorgente + R fondo Si vuole determinare il tasso di conteggi relativo al solo processo di interesse. Si deve quindi e ettuare la cosiddetta sottrazione del fondo : R sorgente = R tot R fondo tot = 2540 ± p 2540 (2540 ± 50) (vedi stima di sorgente t = 10 min. R tot = tot / sorgente t = (254 ± 5) conteggi min da una singola misura) fondo = 95 ± p 95 (95 ± 10) (vedi stima di fondo t =3min. R fondo = fondo / fondo t = (32 ± 3) conteggi min da una singola misura) R sorgente = R tot R fondo L incertezza su q R sorgente si ottiene dalla formula di propagazione delle incertezze: R sorgente = Rtot 2 + Rfondo 2 = p =6 conteggi min (le incertezze si sommano in quadratura in quanto le misure con e senza sorgente hanno incertezze statistiche indipendenti). R sorgente = R tot R fondo = (222 ± 6) conteggi min

14 Esercizio 6: Il reparto ostetrico di un piccolo paese ha un solo posto e dunque può gestire non più di un parto al giorno. Negli ultimi anni e stato visto che si ha un parto nel paese circa una volta la settimana. Sulla base di questi dati: - a) Calcolare la probabilità che domani arrivino 2 o più donne per partorire, e che quindi una o più di loro debba essere mandata in un altro ospedale vicino - b) Calcolare la probabilità che l evento del punto a) si verifichi almeno una volta in un anno

15 Soluzione Esercizio 6: a) Il primo quesito si risolve assumendo che il numero di donne che in un dato giorno arriva in ospedale a partorire segue una distribuzione poissoniana (P (n)) con tasso di conteggio: R =1 conteggio settimana = 1 7 conteggi giorno t = 1 giorno = R t =1/ P (0) = (0.143)0 e ! = 86.7% P (1) = (0.143)1 e ! = 12.4% p(2 o più donne in un giorno) = 1 P (0) P (1) 0.9% b) Il secondo quesito di risolve considerando un problema binomiale:, in un dato giorno, - successo = l evento che due o più donne si presentino in ospedale per partorire. A questo evento e associata una probabilità p =0.9% (calcolata al punto precedente). - N = 365 rappresenta il numero di prove indipendenti del processo binomiale (in questo caso il numero di giorni in un anno in cui può verificarsi un parto in ospedale). - n e il numero di successi in N prove indipendenti, e rappresenta una variabile casuale distribuita secondo una binomiale (B N,p (n)). La probabilità che in un anno succeda almeno una volta l evento definito sopra come successo e : p(n 1) = 1 B N,p (n = 0) = 96.3% essendo N! B N,p (n = 0) = n!(n n)! pn (1 p) N n 365! = 0!(365 0)! (0.009)0 ( ) %

16 Esercizio 7: Tre contatori per raggi cosmici contano in media 256 eventi al minuto. - Calcolare la probabilità che almeno 2 contatori osservino un conteggio inferiore a 240 in un minuto.