La fisica al Mazzotti 5.4

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1 La fisica al Mazzotti 5.4 Misure indirette Propagazione degli errori

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3 Misure dirette Quelle che si fanno con grandezze fisiche misurabili direttamente Esempio: lunghezza, temperatura, massa Misure indirette Quelle che si ottengono da calcoli di due o più grandezze fisiche misurabili direttamente Esempio: area, densità, volume, velocità 4

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5 Le cifre significative 6

6 Esempio di cifre significative Numero Cifre significative ,3 3 21, ,3 1 0, ,32 5 7

7 Quando si fanno operazioni con dati affetti da errori e, quindi, sempre quando si opera con misure, bisogna fare riferimento alle cifre significative. LE REGOLE sono le seguenti: Moltiplicazione e divisione di una misura per un numero. Il risultato deve avere le stesse cifre significative della misura: 20 m : 5 = 4,0 m, 5,87 s 4 = 23,48 s = 23,5 s. Moltiplicazione e divisione di misure. Il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa: 5,870 m 2,5 m = 14,675 m 2 = 15 m 2, 48,2 km : 3,7524 h = 12, km/h = 12,8 km/h Addizione e sottrazione di misure. Bisogna prima arrotondare le misure, in modo che abbiano come ultima cifra (prima cifra incerta) quella della misura con l incertezza più grande. 31,9 m + 23 m +4,7354 m = 32 m+23 m+5 m = 60 m. 8

8 Quando si fanno operazioni con dati affetti da errori e, quindi, sempre quando si opera con misure, bisogna fare riferimento alle cifre significative. Ecco alcuni esempi: 9

9 LA PROPAGAZIONE dell ERRORE Quando si fanno operazioni con dati affetti da errori e, quindi, sempre quando si opera con misure, l errore iniziale della misura diventa sempre più grande, si propaga appunto. Esempio di prodotto di misure Consideriamo una cartolina i cui lati misurano l = (17,2 ± 0,1) cm e h = (11,3 ± 0,1) cm. Le lunghezze dei lati sono scritte con tre cifre significative. Quanto vale l area A = l h della cartolina? Inizialmente calcoliamo il valore più plausibile di A come A = l h = (17,2 cm) (11,3 cm) = 194,36 cm 2 Invece, il valore di A deve essere scritto come A = (194 ± 3) cm 2, L errore (pari a 3 cm²) si determina così: ΔA = Δ(l h) = l Δh+h Δl = = (17,2cm) (0,1cm)+(11,3cm) (0,1cm) = = 1,72cm2+1,13cm 2 = 2,85cm 2. Questo modo di determinare l errore da associare è valido in caso di prodotto di due misure 10

10 Metodo GENERALE per determinare l errore da associare alle operazioni con le misure 13

11 di somma (con metodo generale) 14

12 di divisione (con metodo generale) 15

13 Di seguito si illustra (anche con esempi) un altro metodo, più intuitivo, per associare l errore assoluto ad ogni operazione fatta con misure Come valutare l errore nei casi in cui una misura è indiretta cioè frutto di calcoli di altre misure? Dipende dall operazione che dobbiamo compiere Somma, sottrazione, prodotto o divisione Il ragionamento alla base però è sempre lo stesso Consiste nel valutare il valore massimo e minimo che la grandezza indiretta assume in corrispondenza degli estremi degli intervalli di incertezza delle misure dirette da cui dipende. 16

14 Esempio (con metodo intuitivo): devo misurare il perimetro di un rettangolo Prima cosa misuro i lati Per farlo devo scegliere lo strumento opportuno e individuarne la sensibilità Scelgo questo strumento e trovo le seguenti misure: L1 = 203,0 cm ± 1mm L2 = 105,0 cm ± 1mm 17

15 Dobbiamo determinare il perimetro: L1 = 203,0 cm ± 1mm L2 = 105,0 cm ± 1mm 203,0-0,1 = 202,9 cm 203,0 + 0,1 = 203,1 cm 105,0-0,1 = 104,9 cm 105,0 + 0,1 = 105,1 cm Se voglio trovare il perimetro p =L1+L1+L2+L2 p =L1+L1+L2+L2 = 203,0+203,0+105,0+105,0 = 616,0 cm questa è la misura più probabile. però essa è affetta da errore come si determina questo errore? Con queste misure quale potrebbe essere il perimetro massimo e quello minimo? pmax = L1max+L1max+L2max+L2max = = 203,1+203,1+105,1+105,1 = 616,4 cm pmin = L1min+L1min+L2min+L2min = = 202,9+202,9+104,9+104,9 = 615,6 cm 18

16 pmax = L1max+L1max+L2max+L2max = = 203,1+203,1+105,1+105,1 = 616,4 cm pmin = L1min+L1min+L2min+L2min = = 202,9+202,9+104,9+104,9 = 615,6 cm Quindi il perimetro «vero» sarà all interno dell intervallo 616,4 cm e 615,6 cm Con valore più probabile p = 616,0 cm Quindi p = 616,0 ± (616,4-615,6)/2 cm = 616,0 cm ± 0,4 cm Ecco dimostrata la regola che si adotta quando si sommano o sottraggono misure: l errore da associare alla somma coincide con la somma degli errori assoluti degli addendi. 19

17 Esempio di prodotto date le seguenti misure: L 1 = 203,0 cm ± 1mm L 2 = 105,0 cm ± 1mm Se voglio trovare l area A = L 1 x L 2 A =L 1 x L 2 = 203,0x105,0 = 21315,0 cm² Errore associato DA = (Amax-Amin)/2 Amax = L 1 max x L 2 max = 203,1x105,1 = 21345,8 cm² Amin = L 1 min x L 2 min = 202,9x104,9 = 21284,2 cm² DA = (Amax-Amin)/2 = (21345, ,2)/2 = 30,8 cm² A = (21315,0 ± 30,8) cm² A = (2,132x10 4 ± 31) cm² 27

18 di divisione (con metodo generale) in alternativa (con metodo intuitivo): vmax = smax / t min = 30,3 / 0,99 = 30,6 cm/s vmin = smin / t max = 30,1 / 1,01 = 29,8 cm/s Dv = (vmax - vmin)/2 = (30,6 29,8) / 2 = 0,4 cm/s Naturalmente il risultato è lo stesso 29

19 ricorda che.