Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele. Disegnare e calcolare l altezza relativa all ipotenusa AC sapendo che il cateto AB

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1 Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele. Disegnare e calcolare l altezza relativa all ipotenusa AC sapendo che il cateto AB misura 6 cm. Si determini l altezza di una parete verticale rocciosa sapendo che se vi ponete a 20 m di distanza dalla sua base, l angolo che si forma tra la cima della parete e i vostri piedi è di 30. Un parallelogramma ABCD ha area 20 cm 2 e il lato AB misura 5 cm. Sapendo che l angolo in A misura 45, calcolare il perimetro del parallelogramma.

2 Studiare un fenomeno vuol dire capire se esiste una relazione tra gli aspetti che lo descrivono. Quando possibile, si vorrebbe descrivere e studiare uno degli aspetti a partire dalla conoscenza degli altri. Il modello del fenomeno che si ottiene è una semplificazione della realtà, ma tiene conto solo delle caratteristiche fondamentali, chiamate variabili del fenomeno. E possibile fare previsioni sull andamento del fenomeno senza fare misure sperimentali dirette.

3 Esempio: crescita e sviluppo di una pianta: Variabili qualitative: presenza di parassiti, caratteristiche genetiche Variabili quantitative: luminosità, crescita. Sono fondamentali per esprimere la relazione in termini matematici. Passi per formulare il modello di un fenomeno naturale: 1. Individuare i fattori fondamentali che caratterizzano il fenomeno 2. Individuare le relazioni tra questi fattori 3. Quantificare le relazioni trovate

4 La pressione p esercitata su uno strato d acqua posto a profondità h è p = ρgh + p 0, dove ρ e p 0 sono rispettivamente la densità e la pressione atmosferica (Legge di Stevino). Es. si ricavi h Due grandezze A e l sono legate dalla relazione A 2 + l 2 = 4 Es. si ricavi A. 4 grandezze A, B, C, D sono legate dalla relazione 2A 3B Es. Trovare A in funzione delle altre grandezze. Ripetere l esercizio per B, C, D. Quanto vale B se A = 0,1, C = 0,002, D = 0,05? C = 1 D

5 Una funzione è una relazione f tra gli elementi di due insiemi, A e B, tale che: f associa a ogni elemento a A uno e un solo elemento b B f: A B a b oppure f a = b A: dominio B: codominio b è l immagine di a tramite f f A = b B: b = f a, con a A B, f A è l immagine di A tramite f (brevemente, immagine)

6 I legami tra le basi azotate del DNA (A, C, G, T) sono solo tra A e T e tra C e G. Come esprimiamo matematicamente questo fatto? f A = T; f T = A; f C = G; f G = C

7 La velocità di un corpo in caduta libera varia man mano che il corpo cade, ovvero al passare del tempo. Le due variabili messe in relazione sono il tempo t (variabile indipendente) e la velocità v (variabile dipendente perché il suo valore dipende dall istante di tempo t considerato) Siano v 0 la velocità iniziale e g l accelerazione di gravità, f: [0, + ) R t v 0 + gt oppure f t = v 0 + gt v = f(t) da cui v = v 0 + gt OSS: Spesso si dà alla legge lo stesso nome della variabile dipendente, e si scrive v(t) = v 0 + gt anzi che una generica f t = v 0 + gt

8 Misura della circonferenza conoscendo il raggio f: [0, + ) R r 2πr f r = 2πr e chiamando f r = p si ha p = 2πr r è la variabile indipendente e p è la variabile dipendente. Con abuso di notazione, si può chiamare la legge p (anzi che f) ottenendo p r = 2πr. La misura della circonferenza assume valori in tutto R? No, infatti, essendo il dominio della funzione D = [0, + ), l immagine della funzione f D = 0, + R

9 Caduta libera di un corpo f t = v 0 + gt, f t = v v = v 0 + gt (Oppure v(t) = v 0 + gt) Area di un triangolo di base b in funzione dell altezza h f h = bh 2, f h = A A = bh 2 (Oppure A(h) = bh 2 ) Quali sono le variabili dipendenti e quali quelle indipendenti? Cosa possiamo prendere come possibili Dominio e Codominio? Oss: v 0 e b si chiamano parametri.

10 Sia f: D R R una funzione, si definisce grafico di f il sottoinsieme del piano cartesiano Γf = x, f x R 2 : x D R 2 Il dominio si rappresenta sull asse delle ascisse, il codominio sull asse delle ordinate.