VALUTAZIONE INCERTEZZA DI MISURA

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1 VALUTAZIONE INCERTEZZA DI MISURA Ing. Carlo Carobbi Pag. 1

2 Terinologia fondaentale (1 di 4) I principali riferienti per la terinologia sono: International Electrotechnical Coission (IEC), IEC International Electrotechnical Vocabulary (IEV), 00 International Organization for Standardization (ISO), International Vocabulary of Basic and General Ters in Metrology (VIM), 1993 Misura: procediento con cui si deterina il valore di una grandezza fisica sperientalente ediante uno struento di isura Misurando: particolare grandezza soggetta ad una isura Risultato di una isura: insiee di valori attribuiti ad un isurando e descritto da: 1) valore del isurando, ) incertezza, 3) unità di isura Incertezza di isura: paraetro, associato al risultato di una isura, che caratterizza la dispersione dei valori che possono ragionevolente essere attribuiti al isurando L incertezza di isura serve a: 1) fornire una indicazione quantitativa dell attendibilità del risultato di una isura, ) confrontare due risultati di isura, 3) liitare il rischio di contenzioso fra acquirente e venditore Pag.

3 Terinologia fondaentale ( di 4) Il risultato della isura si esprie ediante: Valore del isurando Incertezza Unità di isura oppure Intervallo di valori del isurando Unità di isura Il centro dell intervallo di valori è il valore del isurando, la seiapiezza dell intervallo è l incertezza Noto il valore del isurando e l incertezza si deterina l intervallo di valori del isurando Esepi: Apiezza A di una tensione A = (. ± 0.3) V Altezza h di una porta h = 10. c ± E = 130 ± 0 V/ Apiezza E di una capo elettrico ( ) Nel caso del capo elettrico E : il valore del isurando è 130 V/, l incertezza è 0 V/, l intervallo di valori è ( ) V/, l incertezza relativa è (15.4 %). Incertezza relativa: Incertezza Valore del isurando Pag. 3

4 Terinologia fondaentale (3 di 4) Valore vero: il (deterinativo) valore di una grandezza che si otterrebbe da una isura perfetta Nessuna isura può essere perfetta, nessuna realizzazione di una grandezza fisica può essere perfetta, tuttavia il valore vero è un utile riferiento concettuale. Valore convenzionalente vero: un (indeterinativo) valore attribuito ad una grandezza avente incertezza adeguata per un dato scopo Può essere un valore realizzato da un capione di riferiento, oppure la igliore stia di una grandezza (valore di un isurando ottenuto da una isura ritenuta particolarente attendibile), oppure un valore accettato per convenzione, la cui incertezza è nulla o trascurabile. Questo ultio è il caso delle costanti fisiche fondaentali: accelerazione di gravità g = /s (valore esatto) velocità della luce nel vuoto c = /s (valore esatto) 7 pereabilità agnetica del vuoto 4π 10 H/ (esatto) 3 costante di Boltzann k = J/K (incertezza relativa 19 carica eleentare e = C (incertezza relativa ) ) Errore assoluto: differenza algebrica fra valore indicato (da uno struento di isura) e un valore di confronto Errore relativo: rapporto fra l errore assoluto e il valore di confronto Nota: per errore ( error in inglese) non si intende sbaglio ( istake o blunder in inglese) a lo scarto inevitabile fra il risultato di una isura ed il valore vero del isurando Pag. 4

5 Terinologia fondaentale (4 di 4) Accuratezza di isura: esprie il grado di accordo tra il risultato di una isura e un valore convenzionalente vero del isurando Accuratezza di uno struento di isura: esprie il assio scarto ottenibile (in condizioni di ipiego dello struento dichiarate dal costruttore) fra il valore indicato dallo struento ed il valore realizzato da un capione di riferiento Precisione di uno struento di isura: esprie il potere risolutivo di uno struento di isura, cioè il nuero di cifre del visore, oppure la finezza della scala graduata La precisione non deve essere confusa con la accuratezza. Uno struento di isura può essere olto preciso a poco accurato e viceversa. Per evitare confusione usare il terine risoluzione anziché precisione. Risoluzione di uno struento di isura: è la più piccola variazione del isurando che provoca una variazione nel valore indicato Negli struenti con indicazione nuerica è il valore corrispondente ad un conteggio della cifra eno significativa. Negli struenti con indicazione analogica è il valore corrispondente allo scarto fra due tacche successive della scala graduata. Pag. 5

6 Ripercussione delle incertezze Soa e Differenza x e y sono grandezze affette da incertezza. Coe si ripercuotono le incertezze di x e y sulla soa x y +? x = x ± δ x e y = y ± δ y 0 0 x 0 e y 0 : stie delle grandezze x e y δ x e δ y : incertezze delle stie Sicuraente vale che x + y δ x δy x+ y x + y + δx+ δy Si può decidere che l incertezza della soa ( x y) δ + è δ x + δ y. Tuttavia se le due grandezze x e y sono state ottenute in odo indipendente l una dall altra (si dice che sono due grandezze fra loro indipendenti) è e- streaente iprobabile che: a) siano scartate nella stessa direzione, b) lo scarto sia assio. La cobinazione più ragionevole delle incertezze di grandezze indipendenti è la soa in quadratura ( x + y) = ( x) + ( y) δ δ δ Se si sospetta una correlazione fra le grandezze allora In ogni caso ( ) δ x + y = δx+ δy ( x) + ( y) > ( x) + ( y) δ δ δ δ Nota: lo stesso risultato vale per l incertezza della differenza x y Pag. 6

7 Ripercussione delle incertezze Prodotto e Rapporto Coe si ripercuote l incertezza di x e y sul prodotto z = x y? δ x δ y z = ( x0 ± δx) ( y0 ± δy) = x0 y0 1± 1± x y ( z) z0 MAX ( z) z0 in 0 0 δ x δy δx δy = x0 y0 x0 y0 δ x δy δx δy = 1 + x0 y0 x0 y0 Si è posto z0 = x0 y0. L incertezza è la seiapiezza dell intervallo di valori aissibili, quindi δ ( z) ( ) ( ) z z δ x δ y z MAX in = = 0 + x0 y0 Per cui si soano le incertezze relative ( ) δ z δ x δ y = + z x y Se non si sospetta correlazione fra x e y (cioè sono indipendenti) ( ) δ z δ x δ y = + z0 x0 y0 Nota: lo stesso risultato vale per l incertezza del rapporto x/ y Pag. 7

8 Legge di ripercussione delle incertezze Assuendo una dipendenza qualsiasi della grandezza q da un nuero N qualsiasi di grandezze x1, x,... x N ( ) q = q x, x,..., xn 1 si ricava, linearizzando q attorno alla stia x01, x0,... x 0N, q q q δ q = δx + δx δxn x x x 1 1 N Se le grandezze x 1, x,... x N sono state deterinate in odo indipendente l una dall altra le rispettive incertezze si cobinano secondo la soa in quadratura q q q δq = δx1 + δx δxn x1 x xn Le derivate parziali q/ xi sono valutate nella stia x 01, x 0,... x 0 N e sono dette coefficienti di sensibilità Dalla legge generale si ricavano le forule particolari viste in precedenza per soa e prodotto Particolarente seplici sono i casi in cui le operazioni coinvolte sono soa, differenza, prodotto, divisione, elevazione a potenza. Conviene valutare la ripercussione delle incertezze in terini assoluti per soa e sottrazione, in terini relativi per prodotto, divisione, elevazione a potenza La linearizzazione è consentita se le incertezze sono relativaente piccole Pag. 8

9 Cifre significative L incertezza quantifica il dubbio sulla conoscenza del valore del isurando Dell incertezza si dà una stia Nella aggior parte delle applicazioni è sufficiente espriere l incertezza con una cifra e counque in nessun caso ha senso espriere l incertezza con più di due cifre. Il nuero di cifre che si assegnano al valore o all intervallo di valori del isurando viene di conseguenza Esepi: 177 ± V non ha senso, 177 ± 7 V è corretto ± 0. g non ha senso, 13. ± 0. g è corretto 7.3 ± 0.15 è corretto Nel calcolo elettronico conviene usare tutte le cifre disponibili (eorizzando i risultati dei passaggi interedi nelle eorie del calcolatore) per evitare di introdurre nei calcoli errori di arrotondaento, salvo poi espriere il risultato con i criteri sopra esposti Pag. 9

10 Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sisteatici (1 di 4) Incertezza dovuta a effetti casuali: è associata alla fluttuazione casuale del valore del isurando attorno al proprio valore edio, ottenuto ediante isure ripetute E originata da variazioni casuali del isurando, della risposta dello struento di isura, delle condizioni abientali di isura, della percezione dell operatore Si stia ediante isure ripetute Incertezza dovuta a effetti sisteatici: è associata allo scostaento della edia dei valori del isurando, ottenuti attraverso isure ripetute, dal valore vero del isurando (in pratica da un valore vero convenzionale) E originata da una non idealità dello struento di isura (offset, difetto di piattezza della risposta) o della configurazione di isura (f.e.. di contatto originata da connessione fra etalli diversi), dalla presenza di disturbi a valor edio non nullo (disturbo raddrizzato da un eleento non lineare) Lo scostaento è ignoto, se ne può dare una stia ediante una fascia di valori plausibile Lo scostaento si stia ediante il confronto fra il valore isurato (eventualente la edia di più valori isurati) e un valore vero convenzionale (igliore stia, capione ateriale, valore di riferiento convenzionale) Pag. 10

11 Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sisteatici ( di 4) Estratto da J. Taylor An Introduction to Error Analysis Pag. 11

12 Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sisteatici (3 di 4) Estratto da J. Taylor An Introduction to Error Analysis Pag. 1

13 Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sisteatici (4 di 4) La classificazione della natura delle incertezze in sisteatica e casuale è utile dal punto di vista concettuale e didattico a non ha conseguenze sul odo con cui si cobinano i corrispondenti valori di incertezza: le incertezze originate da cause indipendenti si soano in quadratura, quelle o- riginate da cause correlate si soano in valore assoluto (a prescindere dalla natura casuale o sisteatica) Esepi Misure di tepo nelle gare sportive, con cronoetro con risoluzione 1 s, azionato anualente: sono isure indipendenti (la isura di durata di una gara non in- 100 fluenza la isura di durata di un altra gara), l incertezza doinante è di natura casuale (tepo di reazione del cronoetrista superiore alla risoluzione del cronoetro). L incertezza della differenza di due tepi di gara è la soa in quadratura delle incertezze Misure di lunghezze diverse con lo stesso etro, la cui lunghezza è scartata dalla lunghezza di un capione di riferiento più della sua stessa risoluzione: sono isure correlate (le isure sono sepre in eccesso o in difetto), l incertezza doinante è di natura sisteatica. L incertezza della differenza di due lunghezze isurate è la soa in valore assoluto delle incertezze Misure di una stessa resistenza effettuate con due struenti diversi. Ripetendo le isure con ciascuno dei due struenti il valore letto non cabia apprezzabilente. Quindi l incertezza doinante è di natura sisteatica. Le incertezze sono ricavabili dalle specifiche di accuratezza dei due struenti e sono indipendenti. Se lo scarto dei valori letti è inferiore alla soa in quadratura delle incertezze i due struenti forniscono isure copatibili della stessa resistenza Misura di una resistenza di terra disturbata dalla f.e.. indotta dal flusso di un capo agnetico indesiderato che concatena la spira voltetrica: le letture variano casualente dando origine ad un incertezza di natura casuale che si soa in quadratura con l incertezza di natura sisteatica ricavabile dalla specifica di accuratezza dello struento Pag. 13

14 Valutazione di categoria A e di categoria B (1 di 3) Dalla pubblicazione della Guida all espressione dell incertezza di isura da parte di ISO (nota breveente coe GUM, anno 1995) viene scoraggiato l uso, in abito tecnico, della classificazione casuale/sisteatico e dei terini valore vero ed errore per i seguenti otivi: 1. La classificazione casuale/sisteatico è abigua. Una coponente di incertezza che viene considerata di natura sisteatica in un certo esperiento può diventare casuale in un altro esperiento e viceversa. Ad esepio la non piattezza della risposta in frequenza di un voltetro dà origine ad un errore sisteatico se si confrontano isure di diverse apiezze di tensione effettuate con lo stesso voltetro (alla stessa frequenza), casuale se si confrontano isure della stessa tensione con e- seplari diversi dello stesso voltetro (stesso costruttore, stesso odello). Il valore vero non può essere deterinato sperientalente (e quindi neanche l errore) e la isura è un processo sperientale. Appare poco convincente che un fondaento concettuale della isura (il valore vero) sia al di fuori dell abito conoscitivo della isura stessa L approccio attuale prevede di distinguere i etodi di valutazione delle incertezze (categoria A e categoria B, vedi dopo) a non le incertezze stesse Pag. 14

15 Valutazione di categoria A e di categoria B ( di 3) Valutazione dell incertezza di categoria A: etodo di valutazione dell incertezza per ezzo dell analisi statistica di serie di valori isurati (GUM) L analisi statistica di una serie (capione) di N valori isurati (osservazioni) x i, con i = 1,,... N consiste nel deterinare la igliore stia del valore isurato ediante la edia aritetica x del capione x 1 N = x N i = 1 i e l incertezza della igliore stia ediante lo scarto tipo sperientale della edia N 1 s = x x N N = ( 1) ( ) i i 1 L incertezza dell incertezza si può stiare con la seguente forula 1 δ s s = 1 ( N ) 1 Valutazione dell incertezza di categoria B: etodo di valutazione dell incertezza con ezzi diversi dall analisi statistica di serie di osservazioni (GUM) Con ezzi diversi si intende facendo ricorso a inforazioni ricavate da anuali di struentazione, dati di taratura, esperienza e cultura di chi effettua la isura L incertezza valutata con il etodo di categoria B si stia con uno scarto tipo (coe categoria A) 1 La forula è un approssiazione più che accettabile per N > 10 della incertezza relativa sono: 3, 34, 39, 46, 60.. Per N = 10, 5, 4, 3, i rispettivi valori, in percento, Pag. 15

16 Valutazione di categoria A e di categoria B (3 di 3) La classificazione categoria A/categoria B specifica il etodo di valutazione non la natura delle incertezze La definizione categoria A/categoria B può essere così rovesciata: le coponenti di incertezza che possono essere ristrette auentando il nuero N delle isurazioni si dicono di tipo A, le altre sono di tipo B (fonte: EN Electrical and electronic easureent equipent Expression of perforance, 00). Il perché del fatto che, all auentare di N, le incertezze di tipo A diinuiscono sarà chiaro più avanti Affinché le incertezze valutate con etodi di categoria A e di tipo B possano essere cobinate (ad esepio ediante la legge di ripercussione dell incertezza) devono essere espresse con grandezze oogenee, cioè in terini di scarto tipo. Questo assicura che il risultato della cobinazione è ancora uno scarto tipo. Vedreo più avanti coe espriere le incertezze di categoria B in terini di scarto tipo Nota 1: La classificazione categoria A/categoria B riflette due distinte definizioni della probabilità: 1) Definizione frequentistica: la probabilità è il liite della frequenza relativa osservata del ripetersi di un certo evento (nuero di volte in cui l evento si è verificato sul totale nuero totale dei tentativi). ) Definizione classica o a-priori: rapporto stabilito a-priori (non deterinato sperientalente) fra casi favorevoli all evento e casi possibili. Nessuna delle due definizioni è esente da difetti. La pria è una definizione basata sull esperienza collettiva, tuttavia il liite deve essere accettato coe ipotesi, non è certo sperientabile. La seconda è una definizione basata sulla interpretazione soggettiva della probabilità coe isura del grado di conoscenza del verificarsi di un evento. Nota : Di fatto l abbandono della classificazione casuale/sisteatico, e della terinologia valore vero ed errore in favore di categoria A/categoria B e incertezza non è indolore, anche per gli addetti ai lavori (se non altro perché la pria è ben consolidata e didatticaente efficace). Probabilente le due posizioni dovranno ancora convivere. Pag. 16

17 Uso del calcolatore Anche le calcolatrici tascabili scientifiche più couni dispongono delle funzioni di calcolo di edia e scarto tipo sperientale (o del capione). Lo scarto tipo del capione s è così definito: N 1 s = xi x N 1 i= 1 ( ) Il quadrato dello scarto tipo, s, è detto varianza sperientale. Si osservi che N N N x = xi s = xi xi N i= 1 N 1 i= 1 N( N 1 ) i= 1 (1) Il calcolatore deterina le tre quantità N, N xi, i= 1 N xi e le eorizza in i= 1 dei registri interni. Da queste tre quantità il calcolatore calcola edia e scarto tipo ediante le forule (1). Media e scarto tipo vengono aggiornati e resi disponibili via via che le osservazioni x i vengono inserite Pag. 17

18 Esercizio sull uso del calcolatore Calcolare edia, scarto tipo del capione, scarto tipo della edia per le seguenti tre serie di 0 isure della stessa grandezza fisica Pria serie: Seconda serie: Terza serie: Pag. 18

19 Valore edio, scarto tipo del capione, scarto tipo della edia di N isure In figura è ostrato il risultato dell acquisizione di tre serie di N = 0 valori isurati x i ( i = 1,, 0 ), rappresentati con punti nell intervallo ( 3, + 3). In ciascuno dei tre grafici sono forniti, in alto a destra, il valore della edia x e dello scarto tipo s. Con siboli sono identificati la edia (cerchietto e croce), e gli estrei degli intervalli x ± s (con < e >, più esterni) e x ± s/ N (ancora < e >, più interni). La dispersione relativa attesa sullo scarto tipo è 1/ ( N 1) = x = 0. s = 1. x = s = 11. x = 00. s = 10. (i valori x i in realtà non sono stati isurati a sono stati ottenuti da un generatore di nueri casuali, e sono distribuiti con densità di probabilità norale a edia nulla e varianza pari a 1) Pag. 19

20 Significato di scarto tipo del capione e scarto tipo della edia Scarto tipo del capione Lo scarto tipo del capione s rappresenta la dispersione (in terini di scarto quadratico edio) degli N valori osservati x i attorno al valore edio x Conoscendo la edia x e lo scarto tipo del capione s (oltre alla distribuzione degli x i, ad esepio gaussiana) si può rispondere a doande del tipo: qual è la probabilità di ibattersi in un valore osservato della grandezza x aggiore di, oppure inore di, oppure copreso fra Scarto tipo della edia Lo scarto tipo della edia s rappresenta la dispersione delle edie x che si otterrebbero ripetendo più volte l esperiento con cui si ottengono le N osservazioni x i. Le edie x ottenute dai vari esperienti sono distribuite attorno al valore edio (valore atteso) x μ che si otterrebbe da un (ipotetico) esperiento in cui si effettuano infinite isure Conoscendo la edia x e lo scarto tipo della edia s (oltre alla distribuzione delle edie x, ad esepio la distribuzione t di Student ) si può rispondere a doande del tipo: qual è la probabilità che x μ sia superiore a, oppure inferiore a, oppure copreso fra Dato che al crescere di N la edia x tende a x μ, la corrispondente dispersione s tende a zero (entre s tende a σ, lo scarto tipo vero della grandezza x ). Al crescere di N, s decresce proporzionalente a 1/ N Se i contributi di incertezza di categoria B si possono ritenere trascurabili rispetto ai contributi di categoria A allora x μ rappresenta il valore vero della grandezza x Pag. 0

21 Istograi e distribuzioni (1 di 8) Di seguito sono riportate N =3 osservazioni x i ( i = 1,,..., N) di una grandezza fisica. Il valore della grandezza è espresso con 1 cifra deciale (dipende dalla risoluzione dello struento di isura) Riordiniao le x i e contiao le n j ( j = 1,,... M ) osservazioni che cadono negli intervalli di apiezza δ =0.5 e di estrei 19.0, 19.5, 0.0, 0.5, 1.0, 1.5,.0,.5, 3.0 (M =8 intervalli). Pag. 1

22 Istograi e distribuzioni ( di 8) Gli intervalli sono centrati in x cj j DA ( ) A ( < ) n j x cj f j Pag.

23 Istograi e distribuzioni (3 di 8) Il rapporto pj = nj / N stia la probabilità che un eleento x i cada nell intervallo centrato in x cj, di apiezza δ Si definisce densità di probabilità f j la seguente grandezza nj pj f = j j 1,,... M N δ = δ = Il diagraa a barre (istograa) può essere scalato in terini di f anziché di n, basta oltiplicare la scala verticale per 1/( N δ ) (cioè 1/16 nell esepio) Auentando il nuero N di osservazioni, diinuendo l apiezza δ degli intervalli e disponendo di un nuero di cifre deciali crescente si può far tendere l istograa ad una curva continua detta densità di probabilità o distribuzione di probabilità (ordinata espressa in terini di f ) Pag. 3

24 Istograi e distribuzioni (4 di 8) N = 18, cifre deciali, δ = 0.1 Pag. 4

25 Istograi e distribuzioni (5 di 8) N = 104, 3 cifre deciali, δ = 0.05 Pag. 5

26 Istograi e distribuzioni (6 di 8) 15 N = = 3768, 5 cifre deciali, δ = 0.01 Per chiarezza di rappresentazione si sono usati dei punti al posto delle barre. La curva continua rappresenta il liite per nuero infinito di osservazioni, nuero illiitato di deciali (infinito potere risolutivo), apiezza infinitesia degli intervalli. Nell esepio la curva liite è la densità di probabilità norale o gaussiana f ( x ) di paraetri x μ e σ (con x μ = 1 e σ = 1) 1 f( x) = exp πσ ( x x ) μ σ Pag. 6

27 Istograi e distribuzioni (7 di 8) Torniao al caso di N =3 osservazioni Media x 1 N = x N i = 1 i Nell esepio x = 0.965, approssiando 1 M M M cj j = cj j = cj j N j= 1 j= 1 j= 1 x xn xp x fδ Con l approssiazione si trova x Passando al liite + xμ = xf( x)dx Si osservi poi che 1 N M M M n = p = f δ = 1, quindi passando al liite j j j j= 1 j= 1 j= 1 + f ( x)dx= 1 La probabilità che x si copresa fra x A e x B è Prob { } ( ) xa x xb = f x dx x A può essere eventualente, e x B +. x x B A Pag. 7

28 Istograi e distribuzioni (8 di 8) Varianza (scarto tipo) e valore quadratico edio 1 N s = xi x N 1 i= 1 ( ) Nell esepio s = Approssiando M ( ) s xj x f jδ j= 1 Approssiando s Sia con le forule esatte che con le forule approssiate si ottiene per edia x = 1.0 e scarto tipo della edia s = 0.. Passando al liite si ottiene la varianza σ σ + ( μ ) ( ) = x x f x dx Si definisce valore quadratico edio x rs la seguente quantità + rs = Pag. 8 ( ) x x f x dx Vale che xrs = x μ + σ. Se x() t è un segnale che varia casualente nel tepo t allora τ + T 1 xeff = li x () t dt T T x eff è il valore efficace del segnale. Vale che xrs xeff τ =.

29 Valutazione incertezza di categoria B La valutazione consiste nell assegnare alla grandezza x uno scarto tipo σ in base alle inforazioni disponibili Le inforazioni riguardano: 1) Gli estrei dell intervallo in cui si assue che, con elevato livello di fiducia, si trovi il valore vero della grandezza. Generalente l intervallo è sietrico e centrato sullo 0 (estrei I, + I, tutte le correzioni per gli errori sisteatici noti si considerano apportate) ) La distribuzione di probabilità della grandezza all interno dell intervallo Nota bene: la distribuzione di probabilità della grandezza non è desunta da una indagine statistica sulla grandezza fisica (è, ad esepio, un indagine statistica la procedura con cui si ottiene, ediante la raccolta e l analisi di valori di isura, l istograa) a da un insiee di conoscenze. Si tratta di assegnare, in base alle conoscenze ricavate da anuali di struentazione, certificati di taratura, trasissione orale, esperienza e cultura di chi effettua la valutazione di incertezza, una distribuzione di probabilità ragionevole. Pag. 9

30 Distribuzioni di probabilità (1 di 11) Unifore Si assegna nel caso di assenza di inforazioni sulla distribuzione dei valori ragionevolente attribuibili alla grandezza all interno dell intervallo di estrei ± I f ( x ) 1 I I + I x Dalla conoscenza degli estrei dell intervallo si risale allo scarto tipo ediante la seguente forula I σ = 0.58 I 3 Pag. 30

31 Distribuzioni di probabilità ( di 11) Triangolare Si assegna quando si ritiene che i valori prossii agli estrei ± I dell intervallo siano eno probabili dei valori centrali e non si dispone di altre inforazioni f ( x ) 1 I I + I x Dagli estrei dell intervallo si risale allo scarto tipo ediante la forula seguente I σ = 0.41 I 6 Pag. 31

32 Distribuzioni di probabilità (3 di 11) Trapezoidale E la distribuzione della soa z di due grandezze x e y indipendenti e distribuite uniforeente. Se con σ e σ si indica lo scarto tipo di x e y rispettivaente, allora: x y σ = σ + σ z x y e I ( ) = 3 σ + σ, I = 3 σ σ M x y x y f ( z ) I M 1 + I I + I + I I M M z Dai paraetri della distribuzione trapezoidale I M e I si risale allo scarto tipo σ ediante la forula seguente z σ I + I 6 M z = 0.41 IM + I Pag. 3

33 Distribuzioni di probabilità (4 di 11) Ad U Si assegna quando si ritiene che i valori prossii agli estrei ± I dell intervallo siano più probabili dei valori centrali e non si dispone di altre inforazioni f ( x ) 1 π I I + I x L espressione analitica della distribuzione di probabilità ad U 1 f ( x) = x < I π I x Dagli estrei dell intervallo si risale allo scarto tipo ediante la seguente forula I σ = 0.71 I Ad U sono distribuiti i valori della parte reale di un nuero coplesso di apiezza I e fase distribuita uniforeente fra 0 e π Pag. 33

34 Distribuzioni di probabilità (5 di 11) Norale o Gaussiana (1 di 7) E la distribuzione di probabilità più popolare. La sua espressione ateatica è la seguente 1 f( x) = exp πσ ( x x ) μ σ I paraetri della distribuzione sono x μ, il valore atteso, e σ, la varianza. 1 πσ FWHM.35 σ x μ Il paraetro FWHM (Full Width at Half Maxiu) rappresenta la larghezza della distribuzione a età apiezza, ed è pari a lnσ.35σ. In figura è rappresentato il caso x μ = 0, σ = 1. Pag. 34

35 Distribuzioni di probabilità (6 di 11) Norale o Gaussiana ( di 7) La ragione della popolarità della distribuzione norale è attribuibile al teorea del liite centrale: Sia y = c1x1+ cx cnxn, dove x i sono grandezze indipendenti di valore atteso x iμ e scarto tipo σ i, e c i dei coefficienti ( i = 1,,... N). Se ( ) ciσ i sono di apiezza coparabile e N è di diverse unità allora, qualunque sia la distribuzione di probabilità delle grandezze x i, y ha distribuzione di probabilità approssiativaente norale con valore atteso y = c x + c x + + c x μ 1 1μ μ... N Nμ e varianza ( c ) ( c ) ( c ) y = N N σ σ σ σ Per il teorea del liite centrale la edia di isure ripetute e indipendenti di una stessa grandezza (counque distribuita) ha distribuzione approssiativaente gaussiana Pag. 35

36 Distribuzioni di probabilità (7 di 11) Norale o Gaussiana (3 di 7) Le ipotesi del teorea del liite centrale sono soddisfatte da una grandezza generica q = q( x1, x,... x N ) (funzione qualsiasi di x 1, x,... x N, non necessariaente cobinazione lineare) se: 1. la funzione q( x1, x,... x N ) è ben approssiata dal suo sviluppo al I ordine di Taylor in un intorno sufficienteente apio del punto x, x,... x N, 1μ μ μ q i x σ i. nel centro dello sviluppo), 3. N è di diverse unità. Si pone (si tratta di approssiazioni) per il valore atteso e per la varianza sono di apiezza coparabile (derivate parziali valutate ( 1,,... N ) q q x x x μ μ μ μ q q q σq σ1 + σ σn x1 x xn La distribuzione gaussiana è osservabile sperientalente: il ruore terico nei circuiti passivi ed il ruore terico equivalente nei dispositivi e apparati elettronici (in particolare negli struenti di isura) sono descrivibili con tensioni e correnti casuali con apiezze distribuite secondo una norale (di valore atteso nullo) Pag. 36

37 Distribuzioni di probabilità (8 di 11) Norale o Gaussiana (4 di 7) - Tabella di probabilità Estratto da J. Taylor An Introduction to Error Analysis Pag. 37

38 Distribuzioni di probabilità (9 di 11) Norale o Gaussiana (5 di 7) - Tabella di probabilità Estratto da J. Taylor An Introduction to Error Analysis Pag. 38

39 Distribuzioni di probabilità (10 di 11) Norale o Gaussiana (6 di 7) Probabilità entro tσ, rappresentazione grafica + t 1 z Prob{ xμ tσ < x< xμ + tσ} = exp dz t π Pag. 39

40 Distribuzioni di probabilità (11 di 11) Norale o Gaussiana (7 di 7) Generalente, se si assegna la distribuzione norale ad una grandezza per la valutazione tipo B dell incertezza, l intervallo di estrei ± I corrisponde ad un livello di probabilità del 95 % (è quanto prescritto in particolare dalle nore specifiche per la struentazione di isura, vedi EN Electrical and electronic easureent equipent Expression of perforance, 00). Quindi per risalire allo scarto tipo dalla apiezza dell intervallo si usa la forula I σ 0.51 I 1.96 Pag. 40

41 Incertezza coposta, incertezza estesa, livello di fiducia, fattore di copertura L incertezza ottenuta dalla cobinazione dei contributi di categoria A e di categoria B per traite della legge di ripercussione delle incertezze si dice incertezza coposta ed è espressa in terini di 1 scarto tipo E utile in olte applicazioni (coercio, industria, norative, verifiche per la sicurezza e salute pubblica) espriere l incertezza in odo da definire un intervallo di valori del isurando tale da coprendere gran parte della distribuzione di valori attribuibili al isurando stesso. L intervallo è detto intervallo di fiducia, la seiapiezza dell intervallo è detta incertezza estesa. La porzione di valori copresa entro l intervallo di fiducia è definita dal livello di fiducia (ad esepio e tipicaente il 95 %) L incertezza estesa è pari a k volte l incertezza coposta. Il valore di k dipende dalla distribuzione di probabilità del isurando e dal livello di fiducia richiesto. k è detto fattore di copertura Esepio: livello di fiducia richiesto 95 %, isurando con distribuzione di probabilità norale, il fattore di copertura è k = 1.96 Pag. 41

42 Confronto fra valore del isurando e valore di riferiento (1 di ) Talvolta si deve espriere un parere sulla accettabilità o eno di una caratteristica fisica del isurando ediante il confronto fra il valore del isurando (che quantifica la caratteristica fisica) ed un valore di riferiento stabilito da nora o accordo fra acquirente e venditore. Si tratta di stabilire se il valore del isurando è inferiore (o superiore) ad un valore liite aissibile, oppure se il valore del isurando è copatibile con (cioè non troppo scostato da) un valore vero convenzionale. Si deve conoscere (o assuere a-priori) la distribuzione di probabilità del isurando. Sia x la stia del isurando e s la sua incertezza (1 scarto tipo). Supponiao che il criterio di accettazione richieda che il valore del isurando sia inferiore ad un certo valore liite x r. Si valuta lo scarto relativo tr = ( xr x)/ s e la probabilità Prob{ t < tr}. Se tale probabilità risulta sufficienteente alta (valore inio di probabilità stabilito da nora o da contratto, ad esepio 99 %), allora la caratteristica fisica è accettabile, altrienti non lo è. Esepio: Da una isura di capo elettroagnetico risulta che il capo elettrico eesso non intenzionalente da un apparecchio bioedicale è 6 db(μv/) ± 3 db (1 scarto tipo). La norativa di riferiento stabilisce: a) il liite di eissione: 30 db(μv/), b) il criterio di conforità al liite: probabilità di superare il liite inferiore al 5 %. Si assue che il capo elettrico segua la distribuzione norale. La probabilità che l eissione di capo elettrico indesiderato sia inferiore al liite di e- issione è Prob { t < (30 6) / 3} =90.8 %. La probabilità di superare il liite è circa 9 %. Si conclude che l apparecchio non è confore al liite di nora. Pag. 4

43 Confronto fra valore del isurando e valore di riferiento ( di ) Supponiao che si debba stabilire se il valore del isurando è copatibile con un valore di riferiento x r (privo di incertezza o di incertezza trascurabile rispetto a quella associata al valore del isurando). Si valuta lo scarto relativo tr = x xr / s e la probabilità Prob{ t > tr}. Se tale probabilità risulta inferiore ad un certo valore inio (convenzionalente stabilito, ad esepio 1 %) allora il valore del isurando ed il valore di riferiento sono fra loro incopatibili. Altrienti la copatibilità è dubbia o sono copatibili. Esepio: Si deve stabilire se il ateriale dielettrico utilizzato per isolare i conduttori interno e esterno di un cavo coassiale di caratteristiche elettriche ignote è Teflon o Polietilene. Da una tabella che riporta le costanti dielettriche relative di vari ateriali isolanti, redatta da un ente autorevole, risulta che la costante dielettrica relativa del Teflon è.10, quella del Polietilene.6. Traite una isura indiretta di costante dielettrica si ricava, per l eseplare di cavo coassiale in questione, il valore. ± 0.04 (1 scarto tipo, distribuzione norale). Si assue in pria battuta che l isolante sia Polietilene e quindi che il valore vero della costante dielettrica sia.6. La probabilità di ottenere dalla isura indiretta un valore tanto scartato dal valore vero quanto il valore osservato. è Prob{ t >.6. / 0.04}, cioè 3 %. Il valore isurato è quindi copatibile con il valore della costante dielettrica del Polietilene. Si assue poi che l isolante sia Teflon e quindi che il valore vero della costante dielettrica sia.10. In questo caso la probabilità di ottenere un valore isurato tanto scartato dal valore vero quanto lo è. è inferiore a Prob{ t >.10. / 0.04}, cioè 0.3 %. Il valore isurato della costante dielettrica è perciò incopatibile con quello del Teflon. Si conclude che l isolante è Polietilene. Nota 1: più incerto è il valore del isurando più facile è che sia copatibile con il valore di riferiento Nota : in entrabi gli esepi le probabilità sono state ricavate dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale. Questa è la prassi. Pag. 43

44 Copatibilità delle isure Si tratta di stabilire se due isure indipendenti dello stesso isurando sono fra loro copatibili. Sia x 1 il valore del isurando #1 e x il valore del isurando #. Siano poi s 1 e s le rispettive incertezze. Si valuta la quantità x1 x tr = s1 + s Se risulta Prob{ t > tr} inferiore ad un certo valore inio convenzionale (ad esepio 1 %) allora i due valori sono fra loro incopatibili. Esepio 1: Si isura la resistenza di terra R T di un ipianto elettrico con due etodi distinti: etodo #1 volt-aperoetrico, etodo # del confronto. Dal etodo #1 si ottiene R T1 = ( ± 4) Ω (1 scarto tipo, distribuzione norale), applicando il etodo # risulta R T = ( 18 ± 3) Ω (1 scarto tipo, distribuzione norale). Lo scarto di 4 Ω è del tutto plausibile: infatti la probabilità di uno scarto così apio o superiore è Prob t > 18 / 5 =4.37 %, per cui le isure sono copatibili. { } Esepio : La stessa resistenza di valore noinale 50 Ω viene isurata con due ultietri di diversa arca. L unico contributo all incertezza di entrabe le isure è l accuratezza del ultietro (incertezza di tipo B). Dalla isura con un ultietro si ottiene (50.5 ± 1.) Ω (intervallo con probabilità unifore), con l altro ultietro si trova (48.1 ± 0.80) Ω (intervallo con probabilità unifore). I due intervalli non sono sovrapposti, quindi le due isure sono incopatibili. Nota: aggiore è l incertezza di uno o di entrabi i valori del isurando più facile è che siano fra loro copatibili Pag. 44

45 Cobinazione di isure indipendenti (edia pesata) Si conoscono due valutazioni indipendenti e copatibili, x 1 e x, di uno stesso isurando e le relative incertezze, s 1 e s. E possibile ottenere, a partire da queste due valutazioni, una terza valutazione x w più attendibile di ciascuna delle due e la relativa incertezza s w. E chiaro che la valutazione eno incerta deve avere aggior peso nella edia. x w = wx w + wx + w edia pesata s w = 1 w + w 1 incertezza della edia pesata Si è posto w i = 1/ s, con i = 1, i Esepio: si isura la velocità di propagazione v di un onda in una linea di trasissione a icrostriscia ediante una tecnica riflettoetrica (doinio del tepo) basata sull uso di oscilloscopio e generatore di ipulsi e si ottiene v 8 1 = (.35 ± 0.05) 10 /s (1 scarto tipo, distribuzione norale). Si deterina poi indirettaente la stessa grandezza ediante un altra tecnica di isura basata sull uso di analizzatore di spettro e generatore a inseguiento (doinio della frequenza) e si ottiene 8 v = (.9 ± 0.08) 10 /s (1 scarto tipo, distribuzione norale). Le due isure sono evidenteente copatibili. La igliore stia della velocità di propagazione a partire dalle due disponibili è v =.33± /s (1 scarto tipo, distribuzione norale). ( ) 8 Nota bene: è evidente che una terza stia ottenuta da due incopatibili è inattendibile Pag. 45

46 Reiezione delle osservazioni sperientali: criterio di Chauvenet Iaginiao di ripetere una isura ottenendo una serie di N valori osservati x1, x,... x N. Sia x la edia degli N valori e s lo scarto tipo del capione. Supponiao che uno degli N valori sia particolarente scostato dalla edia e quindi sia sospetto (lo scostaento sia originato da una causa accidentale: un errore dell operatore, un disturbo ipulsivo). Sia x sus il valor sospetto. La probabilità di ottenere un valore tanto scostato dalla edia quanto lo è x sus è data da dove { } Prob t > tsus = psus t sus = x sus x s La probabilità p sus si ricava dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale. Su N valori isurati c è da attendersi che Np sus siano scostati da x quanto x sus. E evidente che se Npsus 1 non è lecito scartare il dato sospetto. Il criterio di Chauvenet stabilisce che se Np sus < 1/ allora il dato x sus va scartato, altrienti no. Esepio: Da una isura si ottengono i seguenti 10 valori di tensione (espressi in illivolt): Si decide di applicare il criterio di Chauvenet per stabilire se il valore 93.7 V è da scartare o eno. La edia dei valori osservati è 88. V, lo scarto tipo del capione.3 V (calcolati includendo il valore sospetto). Dalle tabelle della distribuzione norale si ricava p sus = 1.6 %, quindi Np sus = 0.16 < 0.5. Quindi il dato 93.7 V è da scartare. La edia delle 9 osservazioni rianenti è 87.6 V, lo scarto tipo 1.3 V. Pag. 46

47 Distribuzione t di Student (1 di 3) Quando si effettuano poche isure ( N relativaente piccolo) l incertezza della stia x, cioè lo scarto tipo della edia s, è poco attendibile. Di conseguenza poco attendibile risulterà anche la stia dell intervallo di fiducia. Assuiao che il isurando segua la distribuzione norale. Il fattore di copertura che si ricava dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale non dipende da N. Tuttavia è intuitivo che, fissato il livello di fiducia, per piccoli valori di N il fattore di copertura deve essere aggiore (più prudenziale) che per grandi valori di N. La distribuzione t di Student tiene in conto della incertezza su s. Al liite per N tendente all infinito il fattore di copertura deve tendere a quello ricavabile dalle tabelle di probabilità della distribuzione norale. Se x è una grandezza che segue la distribuzione norale allora la grandezza t = x x s μ segue la distribuzione t di Student ( x μ è il valore atteso per x ). La distribuzione t di Student è sietrica, a valor edio nullo e per N tendente all infinito tende alla norale con valore edio nullo e varianza pari a 1 Al nuero N 1 ci si riferisce spesso con l espressione gradi di libertà e si usa il sibolo ν, cioè ν = N 1 Pag. 47

48 Distribuzione t di Student ( di 3) Tabella probabilità P entro ts Grafico e tabella estratti da: Distribuzione di Student (t di Student): utili espressioni per la valutazione delle incertezze nelle isure EMC, M. Cati Dipartiento di Elettronica e Telecounicazioni, Università degli Studi di Firenze, 9 Luglio 00. Pag. 48

49 Distribuzione t di Student (3 di 3) Esepio: si effettuano 4 isure del periodo di oscillazione di un pendolo seplice per ricavare, indirettaente, il valore della accelerazione di gravità g. La stia di g ottenuta sperientalente è (9.73 ± 0.03) /s. (1 scarto tipo, distribuzione norale). Ci chiediao se il valore isurato è copatibile con quello convenzionale di 9.81 / s (arrotondato a due deciali) Accettiao il rischio del 5 % di asserire il falso. I gradi di libertà sono 3, quindi il valore di t, dedotto dalla tabella di probabilità della distribuzione t di Student, corrispondente alla probabilità del 95 % è Dato che =.67 < 3.18 si conclude che il risultato della isura è copatibile con il valore di riferiento. Nota: se si fosse usata la tabella di probabilità della distribuzione norale, anziché della distribuzione t di Student, avreo erroneaente afferato l incopatibilità. Pag. 49