14/01/2011. Misure Meccaniche

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1 4/0/0 GUM Definisce le regole per valutare ed esprimere l incertezza nelle misure Guida ideata e sviluppata da sette organizzazioni: BIPM: Bureau International des Poids et Mesures IE: International Electrotechnical ommission IF: International Federation of linical hemistry ISO: International Organization for Standardization IUPA: International Union of Pure and Applied hemistry IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics OIML: International Organization of Legal Metrology

2 4/0/0 Misura Informazione costituita da: numero incertezza unità di misura Dove: X : generica grandezza di misura x : risultato della misura u : incertezza di misura g : unità di misura X = (x ±u) g Il risultato di una misurazione è la stima del valore del misurando e si considera completo solo quando viene accompagnato dalla valutazione dell incertezza di tale stima (GUM 3..) Il misurando deve essere definito con sufficiente completezza in funzione dell accuratezza richiesta (GUM 3..3) 3 Errore oncetto di errore diverso dal concetto di incertezza Errore rappresenta la differenza tra il valore misurato ed il valore vero Errori possono essere casuali o sistematici Errori casuali (GUM 3..): Derivano da variazioni non conosciute e stocastiche delle grandezze di influenza Gli effetti casuali determinano variazioni nella misura del misurando in presenza di misure ripetute Vengono ridotti i aumentando il numero di misurazioni i i Il valore atteso (valore medio) è zero Errori sistematici (GUM 3..3): Errori aventi media non nulla Se l effetto di una determinata grandezza di influenza è noto la misurazione può essere corretta incertezza nel fattore di correzione 4

3 4/0/0 Incertezza Parametro associato al risultato di una misurazione che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando (VIM, 993) L incertezza del risultato di una misurazione riflette la mancanza di conoscenza del valore del misurando (GUM 3.3.) Eliminando gli errori sistematici rimangono gli errori casuali e l incertezza relativa alla correzione utilizzata Fonti di incertezza (GUM 3.3.): Incompleta definizione del misurando Imperfetta definizione del misurando Inadeguata conoscenza degli effetti delle condizioni ambientali sulla misura Errore di lettura negli strumenti analogici Risoluzione degli strumenti non infinita.. 5 Incertezza omponenti dell incertezza vengono suddivise in due categorie basate sul metodo di valutazione: tipo A e B (GUM 3.3.3) La classificazione i indica due metodi differenti i per valutare l incertezza non indicando alcuna differenza tra la natura delle componenti di incertezza In entrambi i casi l incertezza è valutata tramite una distribuzione di probabilità e la deviazione standard Nessun legame con gli errori di tipo sistematico e casuale TIPO A Ottenuta da una funzione di probabilità calcolata da dati misurati TIPO B Ottenuta da una funzione di probabilità assunta essere quella reale 6 3

4 4/0/0 Determinazione di un modello matematico per descrivere il misurando Misurando Y f( X, X, X3,..., X N ) Grandezze che influenzano il misurando Grandezze in ingresso:. Quantità i cui valori ed incertezze sono determinate direttamente durante la misura. Quantità i cui valori ed incertezze hanno origine esterna alla misurazione come nel caso di coefficienti ottenibili nei manuali o nei certificati di taratura degli strumenti utilizzati La stima della misura risulta essere (GUM 4..4) : n misure per ogni n n grandezza in ingresso Y Yk f( X, k, X, k, X3, k,..., XN, k) n k n k La deviazione standard associata ad Y, detta incertezza combinata standard u c (y), è ottenuta conoscendo la deviazione standard associata ad ogni grandezza in ingresso u(x i ) (GUM 4..5) TIPO A TIPO B 7 TIPO A omprende quelle incertezze di misura la cui valutazione può essere basata su metodi statistici (oggettivi) TIPO B omprende quelle incertezze la cui stima è basata su altri metodi, implicando valutazioni di tipo soggettivo Se durante la misura tutte le grandezze d influenza da cui essa dipende variano in modo casuale si può utilizzare un approccio statistico (TIPO A) Operazione lunga e costosa e non sempre fattibile L incertezza finale sulla misurazione è ottenuta tenendo conto sia di una incertezza di tipo A che di incertezze di tipo B 8 4

5 4/0/0 INERTEZZA TIPO A Tutti le grandezze in ingresso variano in modo casuale Stima della i ma grandezza: X n n j Deviazione standard di ogni singola misura per l i ma grandezza: i X i, j sx ( i ) n X i, j Xi j n Deviazione standard della media dell i ma grandezza: sx ( i ) sx ( i ) n 9 INERTEZZA TIPO A Stima dell incertezza di ogni singola grandezza in ingresso: Stima dell incertezza combinata standard: Incertezza estesa: ux ( ) sx ( ) i N u ( x) u( x ) i k è il fattore di copertura: k= equivale una confidenza pari al 68.3% k= equivale una confidenza pari al 95.5% k=3 equivale una confidenza pari al 99.7% i i U ( x ) k u ( x ) k fattore di copertura Ipotizzando la distribuzione degli errori di tipo gaussiano 0 5

6 4/0/0 INERTEZZA TIPO A Misura della temperatura utilizzando una Pt00:. Si effettuano 30 ripetizioni e i dati ottenuti ( ) sono: 5,3 5,39 4,68 3,3 5,66 4,99 5,06 6,8 5,09 5,0 3,93 5,65 3,99 4,59 3,83,96 3,99 5,55 4,74 4,3 4,98 4,4 5,38 3,47 5,5 5,84 4,0 5,59 5,83 6,7 Esempio. Si calcola la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media: T 4,83 st ( ) 0,87 0,87 st ( ) 0,6 30 INERTEZZA TIPO A Esempio 3. Si calcola l incertezza combinata standard: u ( ) ( ) 0,6 T s T 4. Si calcola l incertezza estesa associata alla misurazione con confidenza pari al 95,5% : UT ( ) ku ( T) u( T) 0,3 5. Non sono note le incertezze legate a: Strumento di misura Pt00; Strumento terminale per la misura della resistenza del termometro; Tensione di alimentazione;. 6. Bisogna poter inserire le incertezze elencate utilizzando un differente metodo di valutazione (metodo B) 6

7 4/0/0 INERTEZZA TIPO B L incertezza stimata da informazioni riguardanti la possibile variabilità del dl misurando stesso. Le informazioni possono derivare da:. Dati di misure precedenti. onoscenza del comportamento dei materiali 3. onoscenza del comportamento degli strumenti 4. Specifiche del costruttore 5. Dati di taratura o di altri certificati 6. Incertezza assegnata a dati di riferimento presenti nei manuali 7. Previsioni circa le variazioni di grandezze d influenza INERTEZZA TIPO B Bisogna individuare ogni causa di incertezza Si individua un intervallo di valori entro il quale si suppone debbano cadere i valori del misurando Si deve stabilire una densità di probabilità per ogni fonte di incertezza:. Distribuzione normale. Distribuzione rettangolare 3. Distribuzione triangolare 4. Distribuzione a U Si stima l incertezza combinata standard Si stima l incertezza estesa 4 7

8 4/0/0 Distribuzione normale La distribuzione normale si utilizza quando è maggiore la probabilità di trovare valori prossimi i al valor medio che lontani da esso Esempio: misura di temperatura con valore medio a 00 px ( ) e x ( x) ( xx) p( x) dx ux ( ) ( x) 5 Distribuzione rettangolare La distribuzione rettangolare si utilizza quando si conoscono i limiti di variazione i del misurando La probabilità di trovare valori all interno dell intervallo è la stessa Viene in genere utilizzata nel caso in cui non si abbiano informazioni sulla distribuzione all interno dell intervallo p( x) a xa a p( x) 0 xa xa a a ux ( ) ( x) 3 6 8

9 4/0/0 Distribuzione triangolare La distribuzione triangolare si utilizza qualora vi sia maggiore probabilità bbilià di trovare valori prossimi i alla media piuttosto che lontano da esso Si ipotizza una variazione lineare tra la media ed i limiti ( x a ) a a px ( ) a x a ( a x) a a px ( ) x a a px ( ) 0 altrimenti ux ( ) ( x) a 6 7 Distribuzione ad U La distribuzione ad U è utilizzata quando è maggiore la probabilità di trovare i valori misurati i vicino ii ai limiti i i piuttosto che intorno al valore medio. Esempio: effetti con andamento sinusoidale come vibrazioni, temperature giornaliere, ecc. ux ( ) a 8 9

10 4/0/0 Distribuzioni di densità di probabilità a a a ux ( ) ( x) ux ( ) ux ( ) ux ( ) 6 Il fattore moltiplicativo della distribuzione ad U è maggiore di quello della distribuzione rettangolare e triangolare 9 INERTEZZA TIPO B Esempio Valutazione della temperatura e dell incertezza legata alla misurazione utilizzando una Pt00 Si effettua una sola misurazione avente come risultato: T 4,85 Si elencano le incertezze associate alla misura dovute a:. Termometro u T 0,. Alimentazione non costante u T 0,03 3. Strumento terminale u T 0, 0 3 Si calcola l incertezza combinata standard: Si calcola l incertezza estesa per k= UT ( ) u( T) 0,6 3 ( ) i ( ) 0,3 i u T u T 0 0

11 4/0/0 RIEPILOGO In genere i contributi all incertezza combinata standard sono ottenuti tramite i metodi A e B contemporaneamente. Di fatti si possono avere due situazioni limite:. Singola misurazione non è possibile stimare le incertezze di tipo A, si considerano unicamente quelle di tipo B;. Numerose misurazioni tutte le grandezze di influenza vengono fatte variare in modo casuale per stimare le cause di incertezza unicamente tramite metodo A; Stimati i contributi tib ti si passa al calcolo l dell incertezza combinata standard Si stabilisce il fattore di copertura e si fornisce il valore dell incertezza estesa Propagazione delle incertezze L incertezza composta si usa in presenza di misure indirette ossia è presente un legame funzionale tra le grandezze misurate (x i ) ed il parametro di cui si vuole conoscere la misura (y) y f x, x,..., xn L incertezza composta è una stima della dispersione dei valori di y a causa delle incertezze associate a x i Le incertezze associate possono essere di tipo A e di tipo B Le grandezze misurate possono essere tra di loro indipendenti o correlate

12 4/0/0 Propagazione delle incertezze Grandezze misurate indipendenti y f x, x, x3 x x x x x x x x x Sviluppo in serie di Taylor y y y y f x, x, x y 3 f f f y x x x x x x 3 y y 3 y N f i x i i u y u x Incertezza di tipo A o B per ogni variabile 3 Esempi: y abc f f f a b c Propagazione delle incertezze N f i x i i u y u x u y u a u bu c y abc f f f bc ac ab a b c u y u a u b u c y a b c 4

13 4/0/0 Grandezze misurate correlate Propagazione delle incertezze u y f u x f f u x u x r x x N N N, i i j i j i xi i jixi x j r xi, x j u x uxi, x j iux j r=0 non c è correlazione r= correlazione massima oefficiente di correlazione u x x x x x x x x n i, j covarianza tra i e j i i j j n k 5 Propagazione delle incertezze Esempio: consideriamo tre variabili a b c dove a=f(b) f f f u y a u a b u b c u c f f uaubra, b a b f f f f u a u c r a, c u b a c b c u c r b, c f f f f f u y u a u b u c u a u b r ab a b c a b, 6 3

14 4/0/0 Propagazione delle incertezze Misura di una resistenza nel partitore di tensione Esempio V R R R G VG V. V G =V tensione di alimentazione con incertezza estesa U(V G )=0mV (k=). R G =0Ω misurata tramite 0 letture, la deviazione standard è,65 Ω 3. R =kω e u(r )=5Ω 4. V=7,77V misurata tramite voltmetro a 3 cifre (presente unicamente un errore di quantizzazione 7 Propagazione delle incertezze alcolare:. alcolare l incertezza assoluta per tutti i parametri Esempio. alcolare il valore di R 3. alcolare l incertezza combinata standard di R 4. alcolare l incertezza estesa di R Soluzione: u R 5 u R 4 u V,9mV u V 5mV G G 99 4 R u R U R 8 4

15 4/0/0 osa succede se non è noto il legame funzionale tra le grandezze misurate (x i ) ed il parametro di cui si vuole conoscere la misura (y)? y f x, x,..., xn Si utilizza il supplemento alla GUM (JGM 0:008) basato sulla propagazione delle distribuzioni Il Supplemento raccomanda di implementare detta propagazione delle distribuzioni mediante la Simulazione Monte arlo 9 Propagazione delle distribuzioni La propagazione delle distribuzioni va utilizzata quando:. Il modello funzionale devia fortemente dalla linearità;. Le derivate parziali sono difficilmente calcolabili; 3. Le distribuzioni di probabilità associate alle grandezze da misurare non sono gaussiane; 4. La propagazione delle incertezze fornisce una sovrastima dell incertezza associata alla misura finale (dello stesso ordine della variabile analizzata); 5. Modello funzionale non noto; 6. Modello funzionale complesso (logaritmo, ecc). 30 5

16 4/0/0 Procedimento:. Definire la variabile di uscita Y; Propagazione delle distribuzioni. Determinare le variabili di ingresso X i da cui Y dipende; 3. Sviluppare un modello matematico che leghi le X i con Y; 4. Assegnare le distribuzioni di probabilità per ogni X i ; 5. Propagare le distribuzioni di ogni X i utilizzando il modello ipotizzato per calcolare la funzione distribuzione di probabilità di Y; 6. alcolare il valore atteso e la deviazione standard di Y; 7. alcolare l l intervallo ll di confidenza fd (intervallo di copertura) per la variabile bl Y. Simulazione Monte arlo 3 Propagazione delle distribuzioni Simulazione Monte arlo: 6. Selezionare un numero M di simulazioni (di solito 0 );. Generare M vettori di numeri per le variabili X i tenendo in considerazione la funzione di distribuzione di probabilità associata ad ogni X i ; 3. Per ogni vettore calcolare y g( X, X,..., X ) k... M; k k k Nk 4. Ordinare gli M elementi di y in ordine non decrescente; 5. ostruire la F y come conteggio progressivo normalizzato al numero totale dell insieme y (k) ; 6. l alcolare l la media e la deviazione i standard d di y; 7. L intervallo di copertura [y, y ] correlato ad una probabilità di copertura p, è il più piccolo intervallo [y, y ] per cui F ( y ) F( y ) p Y 3 6

17 4/0/0 Propagazione delle distribuzioni Esempio Si consideri l esempio del partitore di tensione; V 6 R RG R M 0 VG V Per ogni variabile nota la distribuzione di probabilità si calcola il vettore numerico corrispondente VG V distribuzione normale 5mV Tensione Vg (V).04 V 7, 77V distribuzione rettangolare a 0, 005V Tensione V (V) x x R G 50 distribuzione normale 4 R 000 distribuzione normale 5 Resistenza Rg () Resistenza R () x x 0 5 Resistenza output () Per ogni valore ottenuto si calcola la resistenza R V R R R G VG V x

18 4/0/0 4 5 Dopo aver ordinato i valori di R in modo non decrescente si costruisce la F R avente in ascissa i valori di R ed in ordinata l indice normalizzato Funzione distribuzione della resistenza R Si passa al calcolo della media e della deviazione standard di R R 98,7 R, Stesso risultato ottenuto con la propagazione degli errori 7 Infine si calcola l intervallo di copertura [R min, R max ], correlato ad una probabilità di copertura p, come il più piccolo intervallo [R min, R max ] per cui F ( R ) F( R ) p R max min p= R R R 98,7 min max 908,8 948,

19 4/0/0 Prendiamo i valori della probabilità p pari a 68,3% 95,5% e 99,7%: p=0.683 p=0.955 p= Si vede come per p=68,3% l intervallo ottenuto con la simulazione Monte arlo è simile a quello ottenibile considerando 0 37 Esprimere l incertezza Descrivere chiaramente il metodo usato per calcolare il risultato della misura e l incertezza correlata (GUM 7..4 a) Riportare una lista contenente tutte le componenti dell incertezza e come esse sono state calcolate (GUM 7..4 b) Nel caso di incertezza estesa U( x) ku ( x) bisogna (GUM 7..3):. Fornire una descrizione esaustiva di come il parametro x è definito;. Riportare il risultato della misurazione come X xu fornendo l unità di misura; U 3. Fornire l incertezza estesa relativa pari a 4. Riportare il valore di k x 5. Fornire il livello di confidenza approssimato associato con l intervallo x U e come è stato calcolato Se si misurano due grandezze contemporaneamente, oltre alla misura e alle incertezze relative ad ogni parametro, bisogna fornire la covarianza ed il coefficiente di correlazione (GUM 7..5) 38 9