Analisi sismica di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà isolato alla base. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

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1 Analisi sisica di un siea lineare viscoso a un grado di libertà isolato alla base Prof. Adolfo Santini - Dinaica delle Strutture 1

2 Isolaento alla base 1/2 Un siea di isolaento alla base consie nell interporre tra la ruttura in elevazione e le fondazioni una serie di dispositivi di rigidezza laterale olto piccola. Il periodo fondaentale si allunga, diventando olto più grande di quello dell analoga ruttura su base fissa. La pseudoaccelerazione spettrale si riduce, così coe le forze indotte dal sisa. La richiea di spoaento auenta, a è concentrata al livello degli isolatori. Un siea di isolaento è efficace anche se la ruttura è non sorzata. Tuttavia, lo sorzaento riduce ulteriorente le forze nella ruttura e diinuisce lo spoaento degli isolatori. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 2

3 Isolaento alla base 2/2 Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 3

4 Siea isolato 1/2 Si vuole ettere in evidenza il perché un siea di isolaento alla base riduce le forze sisiche negli edifici. Per queo scopo si considera un edificio a un piano, con un siea di isolaento interpoo tra la sua base e il terreno. Si assue che il legae forze-deforazioni del siea di isolaento sia lineare. c k c k Siea di isolaento Soletta di base k b, c b Siano, k e c rispettivaente la assa, la rigidezza e la coante di sorzaento del siea in elevazione. Per il siea su base fissa, privo cioè del siea di isolaento, la frequenza, il periodo e il rapporto di sorzaento risultano rispettivaente ω f k T f 2π ω f ξ f c 2ω f Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 4

5 Siea isolato 2/2 c k Siea di isolaento c k Soletta di base k b, c b L edificio è vincolato a una soletta di base di assa, a sua volta soenuta da un siea di isolaento di rigidezza laterale k b e coante di sorzaento viscoso c b. Il siea di isolaento è caratterizzato dai paraetri ω b k b + T b 2π ω b ξ b c b 2( + )ω b T b e ξ b possono essere interpretati coe il periodo naturale e il rapporto di sorzaento viscoso dell edificio isolato, con la parte in elevazione assunta rigida. Affinché il siea di isolaento sia efficace nel ridurre le forze sisiche, T b deve essere olto aggiore di T f. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 5

6 Equazioni del oto Il siea di isolaento trasfora l edificio su base fissa a un grado di libertà in un siea a due gradi di libertà, caratterizzato dalle seguenti atrici di assa M, di rigidezza K e di sorzaento C. u u 2 c k Siea di isolaento c k Soletta di base u 1 k b, c b M 0 0 K k b + k k k k C c b + c c c c Le equazioni del oto si scrivono M u(t) + C u(t) + Ku(t) M1 u g (t) Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 6

7 Frequenze e odi naturali di vibrazione 1/5 Le frequenze naturali del siea a due gradi di libertà si calcolano dalla relazione cioè da cui si ottiene K ω 2 M 0 ( k b + k) ω 2 k k k ω 2 0 ω 4 k b + k ( ) + k ω 2 + k( k b + k) k 2 0 ω 4 k b + ( + )k ω 2 + k b k 0 ( ) ω 4 + k b + k + ω ( ) k b + k 0 2 b ω 4 2 ω 4 +1 ω 2 2 ( b + ω f )ω b +1 ω 2 b ω 2 f 0 +1 ω 2 2 ( b + ω f )ω ω 2 b ω 2 f 0 Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 7

8 Frequenze e odi naturali di vibrazione 2/5 ω 4 +1 ω 2 2 ( b + ω f )ω ω 2 b ω 2 f 0 ω 4 4π T b T f ω 2 +16π T b 2 1 T f 2 0 A titolo di esepio, ponendo T 2 f T 2 b ω 4 4π 2 b +1 T 2 2 ( f + T b )ω 2 +16π 4 b +1 0 si ha 2 3 T f 0.4 s T b 2.0 s 1.28ω π 2 ω π ω 1, π π ω π 2 ω π 2 Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 8

9 Frequenze e odi naturali di vibrazione 3/5 2 ω 1,2 da cui si ricava π π ω π 2 ω π 2 ω π s 1 ω π s 1 T s T s Le coponenti dei odi si ricavano dalle equazioni del oto in vibrazioni libere ( K ω 2 j M)û j 0 con j 1,2 ( k b + k) ω 2 j k k k ω j 2 û 1, j û 2, j 0 0 Dalla seconda equazione si ha Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 9

10 Frequenze e odi naturali di vibrazione 4/5 kû 1, j + ( k ω 2 j )û 2, j 0 Ponendo û 1, j 1, si ha û 1, j + 1 ω 2 j 2 ω f û2, j 0 û 1, j + 1 T f 2 T j 2 û2, j 0 û 1, j + T 2 2 j T f û 2 2, j 0 T j û 2, j T j 2 T j 2 T f 2 Risulta û 21 T 1 2 T 1 2 T f û 22 T 2 2 T 2 2 T f Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 10

11 Frequenze e odi naturali di vibrazione 5/5 I odi assuono la fora Noralizzando si ha û 1 φ û 2 φ T f 0.4 s T b 2.0 s 1 odo 2 odo (2/3) T s T s Nel prio odo gli isolatori si deforano, a la ruttura in elevazione si coporta quasi coe se fosse rigida. Il suo periodo di vibrazione, s, è solo leggerente aggiore del periodo del siea di isolaento, pari a 2.0 s, a causa della flessibilità della ruttura. Nel secondo odo si deforano sia gli isolatori, sia la ruttura in elevazione. Coe sarà orato in seguito, queo odo contribuisce olto poco alle forze indotte dal sisa sulla ruttura. Il suo periodo è pari a 0.25 s e risulta decisaente inore del periodo della ruttura su base fissa, pari a 0.4 s. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 11

12 Calcolo dei vettori di eccitazione odale 1/2 Le forze sisiche efficaci sono date dalla relazione s M Il generico vettore di eccitazione odale s n assue la fora con Γ n s n Γ n M φ n φ T n s φ n φ T n Mφ n T s M n Le asse odali sono pari a M 1 φ T 1 Mφ M 2 φ T 2 Mφ Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 12

13 Calcolo dei vettori di eccitazione odale 2/2 Risulta quindi Γ 1 φ T 1 s M 1 Γ 2 φ T 2 s M e i vettori di eccitazione odale valgono s 1 Γ M 1 φ s 2 Γ M 2 φ (2/3) V b V b Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 13

14 Calcolo delle rispoe atiche odali 1/ (2/3) V b V b Queo risultato indica che le forze relative al prio odo, s 1, sono essenzialente le esse di quelle totali s, e che quelle relative al secondo odo, s 2, sono olto piccole. L analisi atica della ruttura sollecitata da quee forze fornisce le rispoe atiche odali. In particolare i contributi odali al taglio alla base e allo spoaento della base risultano V b V b u b u b In generale, è chiaro che le quantità relative al secondo odo sono trascurabili rispetto a quelle relative al prio odo. Queo risultato e la circoanza che il periodo naturale di vibrazione del prio odo è olto aggiore del periodo della ruttura su base fissa rappresentano le ragioni dell efficacia del siea di isolaento sisico. Quee considerazioni prescindono dall entità dello sorzaento del siea di isolaento: la dissipazione di energia è un fattore secondario riguardo alla riduzione della rispoa rutturale. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 14

15 Calcolo delle rispoe atiche odali 2/2 Calcolo degli spoaenti atici odali del siea di isolaento u j 1T s j k b 1 T s j ( + )ω T 2 b 3 2 b 4π T s j 3T 2 1 T s b j 20π π 2 1 T s j T s j u b u b (2/3) V b V b Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 15

16 Calcolo dei rapporti di sorzaento odali 1/2 Su assua che per il siea su base fissa e per il siea di isolaento i rapporti di sorzaento valgono c c ξ f % ξ b b % 2ω f 2( + )ω b Le coanti di sorzaento sono quindi pari a c 2ω f ξ f 4πξ f T f c b 2( + )ω b ξ b 5 3 e la atrice di sorzaento si scrive C c b + c c c Le coanti di sorzaento odali risultano C 1 φ T 1 Cφ C 2 φ T 2 Cφ c 4π πξ b 5 4π T b Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture

17 Calcolo dei rapporti di sorzaento odali 2/2 I rapporti di sorzaento odali sono quindi pari a ξ 1 ξ 2 C 1 2M 1 ω 1 C 2 2M 2 ω π % π % Si osserva che lo sorzaento relativo al prio odo, pari al 9.65%, è olto siile a quello del siea di isolaento, pari al 10%. Lo sorzaento nella ruttura influenza ben poco lo sorzaento del prio odo, dato che la ruttura riane pressoché rigida in quel odo. Al contrario, l elevato sorzaento del siea di isolaento deterina un auento dal 2% al 5.05% del secondo odo, che rappresenta il cosiddetto odo rutturale. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 17

18 Calcolo delle rispoe assie odali 1/3 Il valore assio del generico contributo odale alla rispoa si ottiene ediante la relazione dove r n r n A n A n A n ( T n,ξ n ) è l ordinata dello spettro di progetto in terini di pseudo-accelerazione al periodo T n che corrisponde a un rapporto di sorzaento ξ n. Per il taglio alla base e per la deforazione degli isolatori, si ha V bn V bn A n u bn u bn A n ω 2 n u bn D n in cui D n è l ordinata dello spettro in terini di spoaento. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 18

19 Calcolo delle rispoe assie odali 2/3 Si considerano gli spettri di progetto allo ato liite di danno per la città di Reggio Calabria, corrispondenti agli sorzaenti del 2%, 5% e 10%. A n g T s Tf 0.4 s 2% 5%! 10% T s T (s) Modo A n /g V bn / V bn /w D n (c) ω 2 n u bn u bn (c) SRSS Si sono indicati con w il peso della ruttura in elevazione e con g 981 c/s 2 l accelerazione di gravità. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 19

20 Calcolo delle rispoe assie odali 3/3 Per la ruttura su base fissa si ha cioè Risulta V bf A( T f,ξ f ) 0.369g 0.369w V bf w V bf V b Il taglio alla base della ruttura su base fissa risulta 6.59 volte più grande rispetto a quello della ruttura isolata. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 20

21 Efficacia del siea di isolaento 1/4 L efficacia del siea di isolaento nel ridurre le forze sisiche è rettaente legata all allungaento del periodo fondaentale di vibrazione della ruttura. A tal fine il rapporto T b /T f deve essere il più grande possibile. Nel caso dell esepio precedente, il periodo della ruttura su base fissa corrispondeva al valore assio dello spettro di progetto. Per effetto del siea di isolaento, il periodo fondaentale risultava traslato nella regione dello spettro con valori di pseudo-accelerazione olto più bassi. Di conseguenza, il valore del taglio alla base era ridotto dal 36.9% del peso della ruttura in elevazione a solo il 5.6%. Nel caso di rutture con un periodo su base fissa relativaente lungo, l efficacia del siea di isolaento è olto inferiore. A tale proposito si consideri una ruttura siile alla precedente, a con un periodo su base fissa T f 2.0 s. I paraetri che caratterizzano il siea sono quindi T f 2.0s ξ f 2% 2 3 T b 2.0s ξ b 10% Seguendo lo esso procediento si ottiene Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 21

22 Efficacia del siea di isolaento 2/ T f 2.0 s T b 2.0 s 1 odo 2 odo (2/3) T s T s V b V b (2/3) Le frequenze e i rapporti di sorzaento odali risultano ω π, ω π, ξ % e ξ %. Al contrario del caso precedente, si osserva che: (1) la ruttura non si coporta rigidaente nel prio odo e il relativo periodo di vibrazione è influenzato dalla flessibilità della ruttura; (2) il contributo del secondo odo alle forze sisiche non è più trascurabile; (3) lo sorzaento del prio odo, pari al 4.5%, non è più siile allo sorzaento del siea di isolaento, pari al 10%. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 22

23 Efficacia del siea di isolaento 3/4 Per il calcolo delle rispoe assie odali si ha 0.4 A n g T s 5% 2%! 10% Tf 2.0 s T s T (s) Modo A n /g V bn / V bn /w D n (c) ω 2 n u bn u bn (c) SRSS Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 23

24 Efficacia del siea di isolaento 4/4 Per la ruttura su base fissa si ha cioè Risulta V bf A( T f,ξ f ) 0.089g 0.089w V bf w V bf V b Il taglio alla base della ruttura su base fissa risulta 1.59 volte più grande rispetto a quello della ruttura isolata. Coe si può facilente notare, quea volta il beneficio dell isolaento è inore. Per quea ragione l isolaento alla base è usato raraente nel caso di siei rutturali con periodo fondaentale alto, coe accade per esepio nel caso degli edifici alti. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinaica delle Strutture 24