Sistemi a un grado di libertà: l oscillatore semplice

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Vanessa De Marco
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1 Costruzioni in Zona Sisica l oscillator seplice e lo spettro di risposta Sistei a un grado di libertà: l oscillatore seplice 1 Sistei a un grado di libertà: l oscillatore seplice ensola incastrata al piede Shear type onopiano

2 3 vibrazioni libere non sorzate legge di Newton: F = a F( t) = - q( t) a( t) =ɺɺ q( t) ɺɺ q( t) + ω q( t) = q( ) = q ; qɺ ( ) = qɺ q ɺɺ( t) + q( t) = ɺɺ q( t) + q( t) = q ( t ) = ( Acos ω t + Bsen ω t ) s ( A, B dalle condizioni iniziali) s ω = 4

3 c vibrazioni libere sorzate legge di Newton: F = a F( t) = - q( t) - cqɺ ( t) a( t) = ɺɺ q( t) q ɺɺ( t) + cqɺ ( t) + q( t) = c ɺɺ q( t) + qɺ ( t) + q( t) = ɺɺ q( t) + ξω qɺ ( t) + ω q( t) = q( ) = q ; qɺ ( ) = qɺ ω = ξ c c = =ξω -ω ω ξ q t = e t Acos ω s t + Bsen ωs t ( ) ( ) ( A, B dalle condizioni iniziali) 5 ɺɺ q( t) + ξω qɺ ( t) + ω q( t) = q( ) = q ; qɺ ( ) = qɺ ξ << 1 -ω ξ q t = e Acosω t + Bsenω t s t ( ) ( ) A, B dalle condizioni iniziali ω = ω 1 ξ ω s s q To valori indicativi: x % strutture in c.a. t x 1% strutture in acciaio 6

4 Terine dissipativo non lineare: quando la capacità dissipativa non risulta più proporzionale alla velocità. In realtà, già per piccoli spostaenti, la capacità dissipativa dei sistei strutturali risulta di tipo isteretico, poco dipendente da essa. Nell abito di non linearità poco arcate, si possono rappresentare le dissipazioni isteretiche ediante un opportuno coefficiente di viscosità equivalente. Esso viene deterinato iponendo l uguaglianza, in condizioni risonanti, tra l energia dissipata in un ciclo di isteresi e quella che dissiperebbe il odello viscoso. ξ = i Ei 4 π E i 7 c Sistea a un grado di libertà soggetto a oto sisico legge di Newton: F = a u ɺɺ g (t) F ( t ) = - q ( t )- cq ɺ ( t ) c q ɺɺ( t) + cqɺ ( t) + q( t) = - u ɺɺ g( t) ɺɺ q t q t q t u a( t) = ɺɺ q( t) + ɺɺ g t u ( t) ( ) + ɺ ( ) + ( ) = - ɺɺ ( ) g ɺɺ q( t) + ξω qɺ ( t) + ω q( t) = - ɺɺ u ( t) q( ) =, qɺ ( ) = g s t 1 -ω ξ(t-τ) = e sen[ω (t -τ)] u (τ) dτ s g ω ɺɺ s ω =ω (1-ξ ) 8

5 9 spettro di risposta sisico = q(ω,ξ,u ɺɺ, t) g ax ξ crescente T T 1 T T 3 T 4 1

6 spettro di risposta sisico = q(ω,ξ, ɺɺ u, t) g S d d Spettro di risposta dello spostaento relativo S = d ax ξ T =π/ω S v v Spettro di risposta Sv = ɺ della velocità relativa ax S a ω S d ξ T =π/ω S ω S v d Spettro di risposta della S = ɺɺ + ɺɺ u (t) accelerazione assoluta: a g ax S a a ξ 11 T =π/ω Spettro di risposta della accelerazione.3-.4s per i terreni più rigidi.8-1s per i terreni più soffici 1

7 ,c Analisi statica equivalente f eq,c q ax u ɺɺ g (t) F eq = ax = S d = S a /ω = ω F eq = S a 13 Gli stati liite di esercizio sono: - Stato Liite di Operatività (SLO): -Stato Liite di Danno (SLD): REQUISITI DI SICUREZZA DM 14 GENNAIO 8 Gli stati liite ultii sono: -Stato Liite di salvaguardia della Vita (SLV) -Stato Liite di prevenzione del Collasso (SLC) Vr: PERIODO DI RIFERIMENTO Vn: VITA NOMINALE Cu: COEFF D USO T=3 ANNI T=5 ANNI T=475 ANNI T=975 ANNI 14

8 DM 14 gennaio 8 (TESTO UNICO) Spettro elastico in accelerazione delle coponenti orizzontali Sia la fora spettrale che il valore di a g variano con la probabilità di superaento nel periodo di riferiento P VR In allegato alla nora, per tutti i siti considerati, sono forniti i valori di a g,f o e T C

9 Ag=.56g, Fo=.36, Tc=.35s sisa SULMONA T=475 anni SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO DM 14 GENNAIO 8 Ag=.56g Ag=.8g 84o percentile Ag=.3g 16o percentile 17 Calcolo della forza sisica con la tecnica dello spettro di risposta (sistea a un DOF) Interasse tra i telai: 5 spessore soletta: 14 c diensioni trave 3 15c diensione pilatsri 3 8c 6 = (soletta) (trave) / (quota pilastri) =4675Kg 1 J p = 1 1EJp = = 8 H3 3 =.47 1 N/ 6 π w = =3 rad/s, T = =.1s, n =4.8Hz w.3.8 3=.18 4 (oento di inerzia dei pilastri) Sa/g T F= S a (T )= g=4 N T(s) 18

10 Calcolo della forza sisica con la tecnica dello spettro di risposta (sistea a un DOF) H=3 diaetro:.56. spessore: 1 M=8g = 115g ( sfera + quota fusto) J =. 1 3; 3EJ 3 (. 1 11). 1-3 = = = 467 N / H3 33 w = 467 =. rad / s; 115 T = 3. 1s; n =. 3H z Sa/g.7.35 F= Sa(T )=115.75g=.85N T T(s) 19 ACCELEROGRAMMI SISMICI Accelerograi naturali o siulati Sono accelerograi registrati o generati ediante siulazione fisica della sorgente e della propagazione Il loro uso è aesso, a condizione che: siano adeguataente giustificate le ipotesi relative alle caratteristiche sisogenetiche della sorgente siano adeguataente giustificate le ipotesi relative alle condizioni del suolo del sito siano soddisfatte le condizioni di coerenza con lo spettro di riferiento

11 ACCELEROGRAMMI SISMICI Accelerograi naturali Registrazioni storiche di accelerograi. Possono essere reperiti da cataloghi. Tra questi, il più recente è stato proposto dall Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia CPTI4 contiene 55 sisi italiani registrati fino al. Sulla base di tali serie storiche sono stati dedotti i paraetri siologici riportati nell OPCM 374. Il catalogo è disponibile all indirizzo teleatico: 1 ACCELEROGRAMMI SISMICI Accelerograi naturali Esepio: Molise (scossa delle 11:3 del 31 Ottobre ): Accelerograi sisici relativi ai aggiori eventi:

12 ACCELEROGRAMMI SISMICI Accelerograi siulati Accelerograi generati ediante siulazione fisica della sorgente e della propagazione o ediante elaborazione di terreoti lievi registrati L Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia ha proposto una appa di zone sisogenetiche unifori Zona 91: poco caratterizzata dal punto di vista siso-tettonico, attualente oggetto di studi. Caratterizzata da sisicità più elevata rispetto a zone circostanti 3 Ipiego di accelerograi: ACCELEROGRAMMI SISMICI artificiali 1) A partire da spettro elastico si scelgono aleno 3 accelerograi spettrocopatibili (gruppi da 3 se occorre un odello spaziale) S a S a T T ) Analisi strutturale teporale, ediante integrazione nuerica delle equazioni del oto 3) Scelta dei valori finali: aleno 7 accelerograi: valori edi delle analisi aleno 3 acelerograi: valori più sfavorevoli 4

13 ACCELEROGRAMMI SISMICI Accelerograi artificiali : Sono ottenuti ediante siulazione nuerica a partire da uno spettro di partenza. Prograa SIMQKE disponibile su web: Esepio 1: Spettro Zona, Suolo E La coerenza con lo spettro elastico è da verificare in base alla edia delle ordinate spettrali ottenute con i diversi accelerograi per un coefficiente di sorzaento viscoso equivalente ξ del 5% 5 Analisi sisica con accelerograi artificiali.8.6 S a (g) T(s) spettro degli accelerograi.3 accelerograi artificiali generati u g (g) t(s) 3 1 t(s) t(s) 6

14 Analisi sisica con accelerograi artificiali u x ().3 spostaento t(s) 3 1 t(s) 3 1 t(s) 3 taglio T(KN) 1 oento t(s) t(s) t(s) M(KN) t(s) t(s) t(s) 7

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