Isometrie. Tipi di isometrie

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1 Isoetrie Una Isoetria è una corrispondenza biunivoca del piano in sé che conserva le distanze. : 1) Una retta viene trasforata in una retta, un segento in un segento congruente, un cerchio in un cerchio congruente. ) Rette parallele vengono trasforate in rette parallele, quindi gli angoli si conservano. 3) Una isoetria diretta conserva l orientazione di una figura, una isoetria inversa inverte l orientazione della figura. Tipi di isoetrie Traslazione La traslazione è una isoetria che fa corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P in odo che i segenti PP siano tutti uguali, paralleli ed equiversi. E una isoetria diretta. 1) Non ha punti fissi ) Sono unite tutte le rette che hanno la direzione della traslazione 3) Trasfora rette in rette ad esse parallele. 4) E caratterizzata da un vettore v ( p, q) Sibolo: T v dove v rappresenta il vettore della traslazione v ( p, q) Equazione della traslazione di vettore v( pq, ) r = x = y 1

2 Rotazione La rotazione è una isoetria che ha un solo punto fisso O, detto centro della rotazione, e che fa corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P in odo che gli angoli POP siano tutti uguali ad un angolo di apiezza α. E una isoetria diretta. 5) Ha il solo centro fisso 6) Non ha alcuna retta unita, ad eccezione di alcune rotazioni particolari a. α = kπ sono fisse tutte le rette, si tratta di una identità b. α = (k+1)π sono globalente invarianti tutte le rette che passano per il centro, si tratta di una sietria centrale 7) E caratterizzata da un punto O (centro) e da un angolo α. 8) Può essere pensata coe la coposizione di due sietrie assiali i cui assi si incontrano nel centro O e forano un angolo pari alla età di quello della rotazione. Sibolo: R (O,α) dove O rappresenta il centro della rotazione, e α l angolo della rotazione Rotazione attorno all origine O y = x + y Rotazione attorno ad un punto O(x 0 ;y 0 ) x' = ( x x0) ( y y0) + x0 y' = ( x x0) + ( y y0) + y0 Sietria centrale Dato un punto O nel piano, chiaato centro di sietria, si definisce sietria centrale una isoetria che fa corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P tale che il segento PP sia allineato con O e diviso da esso in due parti uguali. E una isoetria diretta. 1) Ha un unico punto fisso: il centro di sietria O. ) Sono unite tutte le rette passanti per il centro di sietria 3) Tutte le rette sono trasforate in rette ad esse parallele. 4) Può essere pensata coe la coposizione di due sietrie assiali con assi perpendicolari. Si tratta cioè di una rotazione di un angolo pari a π attorno ad O. Sibolo: S O dove O rappresenta il centro di sietria Sietria centrale rispetto al punto P ( a, b) = a x = b y

3 Sietria assiale Data una retta r del piano, chiaata asse di sietria, si definisce sietria assiale una isoetria che fa corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P in odo che il segento PP sia perpendicolare all asse e intersechi l asse nel suo punto edio. E una isoetria inversa. 1) Sono fissi tutti i punti dell asse ) Sono unite, oltre all asse, tutte le rette perpendicolari all asse 3) Rette parallele all asse sono trasforate in rette ad esse parallele. 4) Rette secanti l asse sono trasforate in rette secanti. 5) La sietria assiale è involutoria: applicata due volte da l identità. Sibolo: S r dove r rappresenta la retta asse di sietria Sietria assiale rispetto alla retta x = a = a x = y Sietria assiale rispetto alla retta y = b = x = b y Sietria assiale rispetto alla retta y = x = y = x Sietria assiale rispetto alla retta y = x = y = x Sietria assiale rispetto ad una retta di equazione y = x = x α 1 = tg ; = 1+ con oppure α = arctg α = doppio dell angolo che l asse di sietria fora con la direzione positiva dell asse x = 1+ Sietria assiale rispetto ad una retta di equazione y = x+ k α = tg ; α = doppio dell angolo che l asse di sietria fora con la direzione positiva dell asse x ( ) ( ) x' = x + y k y' = x y k + k con 1 = 1+ = 1+ oppure α = arctg 3

4 Asse di sietria di una sietria assiale di equazioni: = x con α = doppio dell angolo che l asse di sietria fora con la direzione positiva dell asse x. y = x+ k con: α = tg = 1+ cos α 1 k = ( q p ) 4

5 Glissosietria : Una glissosietria è una coposizione di una sietria assiale con una traslazione; può sepre essere pensata coe la coposizione di una particolare sietria assiale con una traslazione nella direzione dell asse di sietria. 1) Non ha punti fissi, tranne nel caso si riduca ad una sietria assiale ) Ha coe direzione invariante quella dell asse di sietria Sibolo: G (r,v) dove r rappresenta l asse della particolare sietria e v il vettore della traslazione nella direzione dell asse. : Glissosietria ottenuta con la coposizione di una sietria assiale con una traslazione qualunque: : = x = x+ p Tv : y' = y+ q Glissosietria ottenuta con la coposizione di una sietria assiale con asse la retta r ed una traslazione nella direzione dell asse di vettore v r r r: y x k v hh, = + ( ) α ( ) α α ( ) α x' = xcos + y k sen : y' = xsen y k cos + k = x+ h Tv : = y+ h Asse della sietria particolare che caratterizza la glissosietria di equazioni = x Scoposizione di una glissosietria nella particolare sietria assiale e nella traslazione nella direzione dell asse della sietria = x Si copongono le due isoetrie Tvo : y' = x Si copongono le due isoetrie x' = x + ( y k) + h o Tv : = x ( y k) + k+ h Sia y = x+ k l asse della sietria a) Si deterina la direzione invariante caratterizzata dal coefficiente angolare. Risulta = 1 + b) Si deterina k iponendo che l asse di sietria sia invariante 5