e quindi, in configurazione deformata, è come se il parallelo avesse subito un allungamento ΔR del raggio di entità

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1 Lezione n. 7 I serbatoi cilindrici Gli effetti delle variazioni teriche Le sollecitazioni derivanti da variazioni teriche sono spesso non trascurabili e possono rappresentare una delle grandezze deterinanti nel diensionaento dei serbatoi cilindrici. Questo è dovuto alla intrinseca iperstaticità interna di tali strutture, causata dal grado di vincolo offerto dai paralleli nei confronti della libera deforazione delle strisce eridiane. Il coportaento bidiensionale, inoltre, fa nascere un livello di sollecitazione abbastanza coplesso, il cui studio richiede una certa attenzione e conduce ad alcune osservazioni di carattere generale particolarente interessanti. Inoltre, è utile ricordare che le variazioni teriche sono coazioni, cosicché si perde il legae diretto fra deforazioni e sollecitazioni che abbiao visto fino ad ora per i carichi veri e propri. Infatti, coe succede per le travi, è possibile avere casi liite di deforazioni in assenza di tensioni e viceversa. Nel seguito si quantificheranno le sollecitazioni che nascono in un serbatoio, ancora supposto di lunghezza infinita, a causa della presenza di variazioni teriche costanti o variabili linearente lungo lo spessore. Variazioni teriche unifori Nel caso di una variazione terica Δ unifore lungo lo sviluppo del serbatoio, è utile analizzare dappria il caso di un serbatoio privo di vincoli ai bordi. In questo caso, l applicazione di Δ (supposta positiva) conduce conteporaneaente ad una variazione della lunghezza delle strisce parallele e di quelle eridiane, che tendono entrabe ad allungarsi. Il problea è ancora assial-sietrico e, in assenza di vincoli, si può osservare che le tendenza all allungaento dei paralleli non è ostacolata dalla presenza delle strisce eridiane, che tendono a antenersi rettilinee; analogaente, l allungaento delle strisce eridiane non ha ripercussioni sulle strisce parallele, che possono antenersi indeforate. Il problea, in questo caso, può essere quindi studiato indipendenteente nelle due direzioni. Indicato con α il coefficiente di dilatazione terica (ossia il paraetro che definisce la deforazione indotta da una variazione terica unitaria, isurato in C -1 ), le strisce eridiane, inizialente di lunghezza h, subiscono l allungaento h h che non risulta ostacolato neeno dalla presenza di eventuali vincoli; infatti, questi ultii si sviluppano di solito soltanto lungo uno dei bordi dei serbatoio, che pertanto è libero di allungarsi in isura via via crescente an ano che ci si allontana dal vincolo. In direzione eridiana, quindi, siao in presenza di uno stato deforativo che non induce sollecitazioni nella struttura. Lungo i paralleli l effetto della variazione terica unifore si esplica in un allungaento delle fibre in direzione circonferenziale; infatti i paralleli, di lunghezza iniziale Lp subiscono una variazione di lunghezza pari a Lp Lp e quindi, in configurazione deforata, è coe se il parallelo avesse subito un allungaento Δ del raggio di entità Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

2 Lezione n. 7 pag. VII. Lp (*) ale allungaento corrisponde ad uno spostaento w in direzione radiale di uguale odulo. Anche in questo caso, si è in presenza di una deforazione senza che nascano sollecitazioni internaente al serbatoio. Coplessivaente, quindi, nel caso di un serbatoio in assenza di vincoli, la variazione terica si potrebbe esplicare liberaente, senza l insorgere di caratteristiche di sollecitazione nella struttura. Nel caso in cui fossero presenti dei vincoli (supposti agenti lungo il bordo corrispondente a x=0), invece, l eventuale ostacolo al capo di deforazioni e spostaenti appena descritto fa nascere nel serbatoio uno stato di sollecitazione. Analizziao, a titolo di esepio, la situazione in cui in x=0 sia disposto un vincolo di incastro. La soluzione appena trovata, ossia quella di serbatoio in assenza di vincoli, corrisponde all integrale particolare della soluzione in terini di spostaento; si ha cioè w (x) part La soluzione coplessiva, x x w x w x C e sin x C e sin x part deve soddisfare le condizioni al contorno w0 w x 0 x 0 0 w ' x 0 x0 da cui si ottiene il seguente sistea nelle due incognite C e ψ x Ce sin x 0 x0 x Ce sin x 0 4 x0 Csin 0 Csin 0 4 Dalla seconda, non potendo essere C=0 (che soddisferebbe la pria solo nel caso =0, ovvero in assenza di variazione terica), si ottiene ψ = π/4, e quindi, sostituendo nella pria, si ha Csin 0 C 4 e quindi la soluzione vale x x w x e sin x 1 e sin x 4 4 Nel serbatoio incastrato, a causa di una variazione terica unifore, nascono quindi le sollecitazioni Es Es x np x wo x e sin x 4 x x B w o x B e sin x 4 (*) È iediato osservare che l allungaento del raggio corrisponde all allungaento di un eleento lineare di lunghezza, sottoposto alla variazione terica Δ; in altre parole, la deforazione corrisponde a quella che si otterrebbe se si supponesse di riscaldare nella stessa aniera un ipotetico segento rappresentante il raggio. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

3 Lezione n. 7 pag. VII.3 3 x t x B w o x 4B e sin x x x p Occorre osservare che le caratteristiche della sollecitazione sono legate alla sola coponente di spostaento radiale indotta dalla presenza dei vincoli (ossia alla parte oogenea della soluzione) e non al valore dello spostaento coplessivo w(x). Bisogna infatti ricordarsi che, in assenza di vincoli esterni, non nascerebbero sollecitazioni e quindi alla coponente w part (x) non può essere iputata alcuna azione interna nel serbatoio. Inoltre, è utile sottolineare coe nella parte inferiore del serbatoio, per variazioni teriche positive, nascano sollecitazioni di copressione lungo i paralleli, che si oppongono, copriendosi, alla naturale tendenza del serbatoio ad allargarsi. Le caratteristiche di sollecitazione ostrano alcune proprietà sulle quali vale la pena di sofferarsi. A titolo di esepio, si può analizzare la sollecitazione flessionale indotta in direzione eridiana dalla variazione terica. Il valore della sollecitazione flettente all incastro vale: 0 B B Si noterà coe l espressione del oento flettente di eridiano che abbiao ottenuto è data dal prodotto fra la rigidezza k 1 del bordo del serbatoio e l opposto dello spostaento radiale che la variazione terica avrebbe prodotto in assenza di vincoli. Si tratta infatti della distribuzione di coppie che, insiee ad una distribuzione di forze radiali (taglio di eridiano), sono in grado di annullare lo spostaento e la rotazione del bordo, ristabilendo la copatibilità con il vincolo. icordando poi le definizioni di B e α 3 Es B 1 1 si ottiene s 3 Es 0 B 1 1 ossia Es 6 1 Si può quindi osservare che: i valori della sollecitazione dipendono, coe nel caso delle travi, dal prodotto α Δ E, quindi sono tanto aggiori quanto più è rigido il ateriale costituente il serbatoio; il valore della sollecitazione è indipendente dalle diensioni globali del serbatoio (h ed ) a dipende dal quadrato dello spessore s: di conseguenza, ogni eventuale irrigidiento della sezione (operando, ad esepio, attraverso l auento dello spessore s) risulta del tutto inutile se non addirittura nocivo; s Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

4 Lezione n. 7 pag. VII.4 Andaento delle deforazioni e delle sollecitazioni in un serbatoio di raggio 5 e spessore 0 c, incastrato alla base, soggetto ad una variazione terica unifore di 0 C (altri dati: E = MPa, ν = 0, α = C -1 ; h = λ). La linea tratteggiata nel prio grafico rappresenta lo spostaento in assenza di vincolo. Le unità di isura dei grafici sono, rad, N/ e N/, rispettivaente per w(x), (x), n p (x) e t(x), (x). se la sezione fosse interaente reagente, si otterrebbe il seguente valore della tensione assia (coincidente in valore assoluto con quello della tensione inia) W 1s 1 6 ax E Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

5 Lezione n. 7 pag. VII.5 che risulta indipendente dalle diensioni del serbatoio (ogni variazione geoetrica del serbatoio non induce variazioni nello stato tensionale). La stessa osservazione vale per tutte le sollecitazioni: ad esepio, lo sforzo norale nel parallelo induce una tensione che all incastro vale (sepre nel caso di ateriale reagente sia a copressione che a trazione) n 0 n 0 p p E A 1s L entità delle sollecitazioni derivanti dalle variazioni teriche è spesso olto iportante; a titolo di esepio, per un serbatoio di spessore 0 c e raggio 5, 0 C di variazione terica producono all incastro lo stesso oento che si avrebbe per una spinta idrostatica di una colonna d acqua di altezza pari a circa Di conseguenza, in alcuni casi, non essendo possibile assorbire tali oenti attraverso un increento dello spessore del serbatoio, è necessario ricorrere ad una precopressione della struttura per contrastare l effetto di tali sollecitazioni. Variazioni teriche a farfalla L analisi di un serbatoio sottoposto all azione di una variazione terica ±Δ a farfalla (supposta positiva all esterno e negativa all interno), procede individuando dappria una situazione liite, che risulterà utile nel seguito. Supponiao che tale variazione terica agisca su un serbatoio di lunghezza illiitata. In tale condizione ideale, siao al cospetto di un problea che presenta infiniti piani di sietria (analogo al caso della lastra di lunghezza infinita in una direzione), per cui si può afferare che ogni parallelo subisce la stessa deforazione (non si possono avere differenze di deforazione lungo lo sviluppo delle strisce eridiane) e che quindi le strisce eridiane devono rianere indeforate (se si inflettessero, i paralleli non presenterebbero tutti lo stesso stato deforativo). Inoltre, poiché la superficie edia del serbatoio non può deforarsi (su di essa la variazione terica è nulla), si può afferare che il serbatoio di lunghezza infinita riane indeforato sotto l azione della variazione terica a farfalla. Siao quindi in presenza di un caso duale rispetto a quello visto in precedenza (serbatoio non vincolato sottoposto ad una variazione terica unifore): la variazione terica a farfalla non induce deforazioni né spostaenti, per cui la coazione rappresentata dalla variazione terica devono essere assorbite da sollecitazioni interne in grado di annullare la deforazione ipressa. Se si suppone di fare agire tale variazione terica soltanto in direzione dei paralleli, supponendo gli stessi coe indipendenti l uno dall altro (ossia prescindendo dalla presenza delle strisce eridiane, il che equivale a svincolare i paralleli), alla curvatura terica, espressa da s s si deve opporre internaente la presenza di un oento flettente di parallelo p,i, in grado di provocare una curvatura uguale ed opposta Es 3 s 1 p,i EJ ' E 1 s 6 dove si è considerato, al solito, un eleento di altezza unitaria. rasversalente, la sezione dell eleento tenderebbe ad incurvarsi di una quantità proporzionale al oento p,i oltiplicato per il fattore ν. uttavia, poiché le strisce eridiane devono antenersi rettilinee, tale curvatura è annullata dalla presenza di un oento di eridiano pari a Es,I p,i 6 I oenti p,i ed,i appena ricavati sono costanti lungo lo sviluppo del serbatoio. Analogaente, considerando invece le strisce eridiane separate una dall altra (prescindendo cioè dalla presenza dei paralleli, il che equivale a svincolare i eridiani), la variazione terica fa nascere (dato che le strisce eridiane devono coplessivaente risultare indeforate) un oento flet- Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

6 Lezione n. 7 pag. VII.6 tente di eridiano,ii, che si oppone a tale curvatura e che, su eleenti di altezza unitaria, assue il valore Es 3 s 1,II EJ ' E 1 s 6 ale oento, a causa della presenza del coefficiente di Poisson, indurrebbe una curvatura nei paralleli, che deve però necessariaente essere nulla (i paralleli devono coplessivaente rianere indeforati); nasce quindi un oento nelle strisce di parallelo pari a Es p,ii,ii 6 Anche in questo caso, entrabi i oenti,ii ed p,ii sono costanti lungo lo sviluppo del serbatoio. Soando i due contributi appena trovati, si ricava E s,i,ii 1 p 6 Quindi, nel serbatoio di lunghezza infinita, l assenza di deforazioni induce la presenza di oenti flettenti di eridiano e di parallelo costanti lungo lo sviluppo della struttura e tra loro uguali (**)(+). Il classico regie tensionale dei serbatoi, che vede i paralleli soggetti prevalenteente a sforzo norale ed i eridiani sostanzialente inflessi, viene quindi notevolente alterato dalla possibile presenza di una variazione terica a farfalla. La situazione ideale appena descritta, alla luce dei risultati ottenuti, è equivalente a quella di un serbatoio di lunghezza finita con entrabi i bordi incastrati; anche in questo caso, infatti, si avrebbe l assenza di deforazione accopagnata dalle stesse sollecitazioni viste in precedenza. In altri terini, la lunghezza infinita del serbatoio equivale ad un vincolo che ipedisce la rotazione di una qualsiasi porzione del cilindro deliitata da piani ortogonali alle direttrici. A questo punto, è possibile affrontare lo studio di un serbatoio di lunghezza finita, counque vincolato alla base. Ad esepio, nel caso di un serbatoio incastrato alla base (sezione corrispondente a x = 0) e libero all estreità superiore (x = h), si può risalire alla soluzione osservando coe questa possa essere vista coe soa dei seguenti sistei: t h -Δ +Δ +Δ -Δ = + + (I) (II 1 ) (II ) (**) È bene osservare che questa rappresenta una delle poche situazioni in cui i oenti flettenti di parallelo e di eridiano non sono tra loro collegati dalla consueta relazione p = ν. Inoltre, il segno del oento flettente è riferito al segno della variazione terica agente all esterno del serbatoio: in altre parole, si hanno oenti positivi (che tendono l interno del serbatoio) se la variazione terica è positiva all esterno del serbatoio e negativa al suo interno. (+) La situazione è la stessa in tutti i continui bidiensionali dotati di sietria centrale ed incastrati ai bordi; ad esepio, una lastra quadrata incastrata lungo il perietro e soggetta all azione di una variazione terica a farfalla, riane indeforata e al suo interno nascono oenti flettenti uguali a quelli appena visti; nel caso di una cupola di rivoluzione incastrata lungo il bordo, la variazione terica a farfalla induce oenti di eridiano e parallelo la cui entità è ancora offerta dall espressione precedente. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

7 Lezione n. 7 pag. VII.7 Il prio sistea (I), corrisponde a quello appena descritto, in cui si siano applicati vincoli ausiliari nella sezione x = h per ipedire la rotazione e la traslazione del bordo libero del serbatoio; i casi (II 1 ) e (II ) corrispondono, nell ottica del etodo dell equilibrio, ai sistei nei quali si applicano, cabiate di segno, le reazioni offerte nella condizione (I) dalla presenza del vincolo di incastro in x = h. È evidente che, nel caso in esae, l incastro dà luogo soltanto ad un oento di entità pari a quella ricavata in precedenza, entre la reazione orizzontale t è nulla; di conseguenza, per la particolare condizione di carico offerta dalla variazione terica a farfalla, la soluzione si riconduce alla soa dei soli sistei (I) e (II 1 ). Inoltre, ricordando la procedura per il calcolo dei coefficienti elastici di bordo, il caso (II 1 ) è facilente riconducibile ad una delle soluzioni già note, purché si consideri un ascissa verticale x', definita da x' = h x. Anche in questo caso, oltre a quelle già viste per le variazioni teriche unifori, si possono fare alcune osservazioni. Il regie flessionale unifore è alterato soltanto per una porzione abbastanza liitata della parte superiore del cilindro (al assio pari alla lunghezza d onda λ), dove i oenti flettenti di eridiano tendono ad assuere valori via via inferiori, entre lo stesso non accade per i oenti di parallelo (che, se ν fosse nullo, riarrebbero costanti anche nell ultia parte). Quest ultii, infatti, in corrispondenza del bordo libero raggiungono il valore: Es p 1 6 in quanto, ovviaente, per il sistea (II 1 ) ritorna ad essere valida la relazione p = ν. Sepre nella parte terinale, la presenza di spostaenti radiali (verso il centro del serbatoio, se la variazione terica è positiva all esterno del serbatoio) coporta l insorgere, lungo i paralleli, di sforzi norali di copressione che possono essere anche abbastanza elevati. Coe sepre, è utile ricordare che qualunque variazione terica lineare tra interno ed esterno del serbatoio può essere vista coe la sovrapposizione di una variazione terica unifore ed una a farfalla. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

8 Lezione n. 7 pag. VII.8 Andaento delle deforazioni e delle sollecitazioni in un serbatoio di raggio 5 e spessore 0 c, incastrato alla base, soggetto ad una variazione terica a farfalla di ±0 C, positiva all esterno del serbatoio (altri dati: E = MPa, ν = 0., α = C -1 ; h = λ). La linea tratteggiata nel secondo grafico rappresenta il valore del oento flettente in condizioni di vincolo di doppio incastro. Le unità di isura dei grafici sono, rad, N/ e N/, rispettivaente per w(x), (x), n p (x) e t(x), (x). Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

9 Lezione n. 7 pag. VII.9 Variazioni teriche non unifori lungo l altezza del serbatoio È possibile che la variazione terica, sia essa unifore sullo spessore o a farfalla, non si sviluppi in aniera unifore lungo l altezza del cilindro, pur antenendosi costante lungo i singoli paralleli (in odo da antenere l assial-sietria del problea). Questo è il caso, ad esepio, dei serbatoi parzialente interrati, nei quali le differenze di teperatura nella parte fuori terra possono essere sensibilente diverse da quelle subite dalle parti entro terra. In generale, il problea può essere risolto facendo ricorso al etodo dell equilibrio. Con riferiento alla figura seguente, che ostra il caso di un serbatoio incastrato soggetto ad una distribuzione arbitraria di variazioni teriche variabili lungo l altezza a unifori sullo spessore, si può dappria inserire una distribuzione continua di vincoli ausiliari, in grado di ipedire la traslazione in direzione radiale lungo tutto lo sviluppo del serbatoio. In questa condizione (fase I), i singoli paralleli non possono allargarsi e, in corrispondenza di ognuno di essi, nasce la reazione vincolare necessaria ad ipedire tale allargaento, di valore Es Es (++) p(x) (x) (x) In questa fase, i paralleli risultano soggetti ad uno sforzo norale pari a n (x) p(x) (x) E s p,i di copressione se la variazione terica è positiva. Nella fase II si riuovono i vincoli ausiliari e si applicano le corrispettive reazioni cabiate di segno: lo stato di sollecitazione finale del serbatoio coincide con la soa di quelli ricavati nelle due fasi. Δ(x) -p(x) (II ) = + p(x) (II ) x x x (I) (II) Per rendersi conto della validità di tale approccio, si provi a particolarizzarlo nel caso di una variazione terica unifore. In questo caso si ha Es p(x) a cui corrisponde lo spostaento (in fase II) offerto dalla soluzione dell equazione differenziale (IV) Es p x w x w x B B ossia dalla soa dell integrale particolare Es wpart x px Es Es e dell integrale dell equazione oogenea associata x x Ce sinx wo Quindi, si ha: (++) Si ricordi il ragionaento con il quale si è giunti a caratterizzare l azione dello sforzo norale di parallelo coe equivalente ad una distribuzione di pressioni costanti lungo i paralleli stessi. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

10 Lezione n. 7 pag. VII.10 x w x w x w x C e sin x part o ovviaente uguale al risultato ricavato in precedenza. Così operando, è facile rendersi inoltre conto del fatto che lo sforzo norale (che è l unica caratteristica di sollecitazione non nulla nella fase I, in condizioni di traslazione radiale ipedita) non è più direttaente collegato al valore dello spostaento finale in direzione radiale del serbatoio. Questo risultato è tipico delle coazioni, quali appunto le variazioni teriche. In alcuni casi si può ricavare la soluzione utilizzando i coefficienti elastici di bordo. Per esepio, attraverso questi ultii si può analizzare il caso riportato in figura, nel quale una variazione terica unifore sullo spessore agisce soltanto nella parte superiore del serbatoio (di altezza h 1 ); per seplicità di trattazione, si supponga che sia h 1 che h risultino aggiori della lunghezza d onda λ del serbatoio (o). +Δ h 1 h Si può procedere suddividendo il serbatoio in due parti, in corrispondenza della discontinuità nella distribuzione delle variazioni teriche, evidenziando le azioni interne e t (incognite), che le due parti si scabiano, e gli spostaenti w e φ in corrispondenza del contatto tra le due parti. I segni delle sollecitazioni e degli spostaenti sono stati arbitrariaente assunti coe tutti positivi per la porzione superiore del serbatoio. Ognuna delle due parti può essere analizzata facendo ricorso ai coefficienti elastici di bordo. +Δ +Δ h 1 = +Δ w t w φ t h 1 x 1 x φ t +Δ w t w h φ h φ (o) Per quanto riportato in precedenza, questo caso è di fatto equivalente a quello di un serbatoio sul quale agisca una distribuzione unifore di pressioni applicata soltanto su una parte dello sviluppo del cilindro. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

11 Lezione n. 7 pag. VII.11 Operando nell ottica del etodo della congruenza, per la parte superiore si ha (oo) : w w t wh w t h dove si è fatto uso del fatto, già appurato precedenteente, che la variazione terica unifore non induce rotazioni in x 1 = 0 (e neeno nelle altre sezioni del serbatoio); il terine w Δ corrisponde allo spostaento indotto dalla variazione terica in assenza di vincoli w w x part x0 Per la parte inferiore, invece, si ottiene: w t wh w t h dove i segni negativi sono dovuti al fatto che l azione t (per equilibrio, di verso opposto rispetto a quello individuato nel serbatoio superiore) è negativa rispetto alle usuali convenzioni adottate, così coe la rotazione (antioraria, per congruenza con la deforazione della parte superiore). Uguagliando i valori degli spostaenti nelle due porzioni di serbatoio, si ottiene il sistea w t w w t w w t h t h da cui si deriva che h h w 3 3 t B B w h 0 A questo punto, essendo noti i valori delle sollecitazioni alla base del serbatoio superiore ed alla soità del serbatoio inferiore, utilizzando le soluzioni ricavate per la deterinazione dei coefficienti elastici di bordo (facendo attenzione alle convenzioni sui segni per la parte inferiore), è possibile ricostruire l andaento delle deforazioni e delle caratteristiche di sollecitazione lungo il serbatoio. È iportante notare che può succedere (nel caso di coazioni) che alcune delle caratteristiche di sollecitazione risultino discontinue lungo lo sviluppo del serbatoio, anche se non ci sono azioni esterne applicate in tali sezioni; nel caso esainato, questo avviene per lo sforzo norale di parallelo, che ostra un salto in corrispondenza della sezione in cui si ha la discontinuità della variazione terica applicata. Questa circostanza è dovuta al fatto che le due parti, se scollegate, tenderebbero a deforarsi in aniera diversa, e questo in assenza di sforzi norali. Per ripristinare la congruenza dello spostaento in direzione radiale, occorre che, nel caso specifico, la parte superiore tenda a restringersi (sotto l azione di uno sforzo n p evidenteente negativo) entre quella inferiore tenda ad allargarsi; il fatto che la rigidezza sia stata assunta uguale per le due parti fa sì che lo spostaento finale della sezione in cui la variazione terica si annulla sia uguale alla età di quello che si avrebbe se le due parti fossero libere di deforarsi indipendenteente l una dall altra. Inoltre, il salto nello sforzo norale è pari al valore dell azione che corrisponde all annullaento della discontinuità dello spostaento, ossia (oo) Occorre prestare attenzione al fatto che se, coe si è supposto, h 1 > λ, la condizione di vincolo di incastro alla estreità inferiore del serbatoio non interviene nelle equazioni appena scritte per la parte superiore; in altre parole, la soluzione sarebbe la stessa, qualunque fossero le condizioni di vincolo della parte inferiore del serbatoio. Questo è dovuto al fatto che gli effetti di eventuali reazioni vincolari risulterebbero praticaente del tutto sorzati ad una distanza dal vincolo aggiore o uguale a λ; lo stato deforativo alla soità del serbatoio non risulta quindi influenzato dalle reazioni vincolari alla base. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

12 Lezione n. 7 pag. VII.1 Es Es n p w E s Andaento delle deforazioni e delle sollecitazioni in un serbatoio di raggio 5 e spessore 0 c, incastrato alla base, soggetto ad una variazione terica unifore di 0 C nella sola parte superiore (altri dati: E = MPa, ν = 0, α = C -1 ; h 1 = h = λ). Le linee tratteggiate nel prio grafico rappresentano gli spostaenti che si avrebbero nelle due parti se queste fossero separate tra loro. Le unità di isura dei grafici sono, rad, N/ e N/, rispettivaente per w(x), (x), n p (x) e t(x), (x). Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1

13 Lezione n. 7 pag. VII.13 Alcune osservazioni sulle variazioni teriche nelle strutture in c.a. Lo stato tensionale che può nascere in una struttura iperstatica a causa della presenza di variazioni teriche può, in olti casi, risultare estreaente gravoso, in aniera particolare nei serbatoi cilindrici appena analizzati. Nel caso di strutture in c.a., tuttavia, gli effetti riscontrati sono noralente più odesti di quelli che l applicazione della teoria dell elasticità, vista finora, lascerebbe supporre. Questo è dovuto al fatto che la struttura tende in qualche odo ad attenuare la propria rigidezza, sia per la presenza di eventuali trazioni in grado di produrre uno stato fessurativo, sia perché eventuali fenoeni di plasticizzazione localizzati, in zone forteente copresse, possono anch essi essere interpretati coe riduzioni locali di rigidezza. Inoltre, nel caso di variazioni teriche stagionali, l azione si esplica in tepi estreaente lenti, per cui si può pensare che anche la viscosità del calcestruzzo possa giocare un ruolo iportante. Di conseguenza, nel calcolo delle sollecitazioni indotte da variazioni teriche in strutture in c.a., si fa spesso ricorso ad analisi basate sull elasticità lineare a utilizzando un odulo di elasticità ridotto (E rid ) rispetto a quello tangente di un fattore pari a circa 3: E0 Erid 3 Naturalente, per tutte le sollecitazioni non derivanti da variazioni teriche, si continuerà a fare riferiento al odulo elastico tangente. uttavia, nei prograi di calcolo autoatico delle strutture risulta spesso ipossibile introdurre valori diversi del odulo elastico in funzione delle varie condizioni di carico analizzate. Giova quindi osservare coe in tutti i fenoeni collegati alle variazioni teriche, le sollecitazioni risultino sepre proporzionali al terine E : sollecitazioni E Di conseguenza, un abbattiento del odulo elastico può essere introdotto attraverso una equivalente riduzione del coefficiente di dilatazione terica o del valore della variazione terica agente sulla struttura. Gianni Bartoli/Claudio Mannini/Carlo Guastini Appunti di ecnica delle Costruzioni () evisione 8/05/1