Figura 1: Modello del robot.

Transcript

1 Regolazione e Controllo di Sistei Meccanici Si consideri il odello dinaico di un nanorobot nel sangue per scopo edico/diagnostico coe proposto in Cavalcanti et al, Nanorobot Hardware Architecture for Medical Defense, Sensors (figura ). Figura : Modello del robot. Il robot viene approssiato coe un corpo sferico di raggio R e si suppone che il sangue sia un fluido di tipo Newtoniano. La velocità del fluido v f si assue di tipo parabolico ed è assia al centro del condotto e decresce fino ad annullarsi in prossiità delle pareti del condotto stesso. F r v rappresenta invece il valore della forza resistente che ostacola il oto del robot. Il odello risulta quindi ẍ = F r (ẋ v f )+F cos(α)+f d ÿ = F r ẏ + F sin(α) con F r =6πηR e v f = P 4ηl (r2 y 2 )edoveη è la viscosità del fluido, R è il raggio del corpo sferico con il quale viene approssiato il robot, P è la differenza di pressione ai capi del condotto, l è lunghezza del condotto ed r il suo raggio, F > è la forza otrice del robot, α è l angolo che ne definisce la direzione e f d è la forza di disturbo che agisce sul robot. A Supponendo che il sistea sia controllato regolando la direzione della forza otrice attraverso l angolo α, si deterinino gli equilibri aissibili in fora sibolica per f d =. B Supponendo di disporre della isura della distanza del centro di assa del robot dall origine del sistea di riferiento (d = x 2 + y 2 ) e di poter controllare l angolo α, si deterini una rappresentazione del sistea in fora di stato intorno ad un equilibrio fisicaente aissibile, per ȳ, x = 25 6 e f d =. Si considerino i seguenti valori nuerici: η =.6 Pa s; R = 7 ; P =.5 Pa; = 5 Kg; l = 9 6 ; r = 5 5 ; F =.4 2 N. C Si traccino qualitativaente i odi propri del sistea. D Si deterini la funzione di trasferiento tra l ingresso α el uscitad, equellatraildisturbof d e l uscita d. Si analizzi la posizione assunta dagli zeri e il loro effetto sulla risposta a gradino. E Si deterini una legge di controllo per l angolo α che agisca in odo da garantire le seguenti specifiche: e) partendo dall origine del sistea di riferiento il robot deve portarsi a regie ad un valore d = d, raggiungendo un valore copreso nell intervallo d ± 5% in un tepo non superiore a s e senza ai eccedere un valore liite di. d; e2) ipotizzando che la forza f d agente sul robot sia f d = f d + F d sin(ωt), F d 6 N, ω. rad/s, cioè soa di una coponente costante di valore f d generico e una coponente variabile sinusoidalente, si garantisca che: lo scostaento indotto dalla coponente costante f d del disturbo sulla posizione d del robot rispetto al valore noinale d sia copletaente annullato; la variazione indotta dalla coponente sinusoidale sulla posizione d del robot sia inferiore a 8 ; Si riporti esplicitaente il controllore ottenuto, il diagraa di Bode con le relative specifiche da rispettare e la risposta al gradino ottenuta con le caratteristiche significative.

2 Soluzione A Il sistea è descritto da quattro variabili di stato x, y, ẋ eẏ. Dalla seconda equazione si ricava che α = Kπ,k =,,,n. Nel caso in cui α = π, dalla pria equazione si ottiene y = ± r 2 2lF 3πR P definito solo nel caso in cui r 2 2lF 3πR P. Nel caso in cui α =, dalla pria equazione si ottiene invece y = ± r 2 + 2lF 3πR P. Essendo F e le altre grandezze del sistea aggiori di zero, l argoento della radice risulta essere aggiore di r 2. Ne consegue che y >r, ovvero il punto di equilibrio del nanorobot risulta esterno al condotto e per questo non fisicaente aissibile. Perciò, gli unici equilibri fisicaente aissibili sono quelli con α = π ovvero le posizioni con y = r 2 2lF 3πR P e y 2 = r 2 2lF 3πR P. Entrabi gli equilibri sono indifferenti rispetto alla coordinata x. Si nota anche che i due insiei di punti di equilibrio sono perfettaente sietrici, per cui nel seguito si considerano solo quelle corrispondenti a y =ȳ e x = x. B Indicando con x =[x,x 2,x 3,x 4 ] T =[x, y, ẋ, ẏ] T le variabili di stato del sistea non traslato e con u = α e u 2 = f d l ingresso non traslato, si ottiene il seguente sistea ẋ = x 3 ẋ 2 = x 4 ẋ 3 = 6πηR x 3 + 3πR P 2l (x2 2 r 2 )+ F cos u + u 2 ẋ 4 = 6πηR x 4 + F sin u Linearizzando attorno al punto di equilibrio x =[ x, x 2, x 3, x 4 ] = [25 6, ,, ], ū = π eū 2 =, precedenteente trovati, si ottiene: x ẋ = Ax + B u + B 2 u 2 = 6πR P 2l x 2 6πηR x 2 x 3 + F 6πηR sin(ū) u + u 2 F x 4 cos(ū) Infine, essendo l uscita del sistea la distanza del robot dall origine del sistea di riferiento, (d = x 2 + y 2 ), si ottiene x d = x = Cx x 2 + x 2 2 x 2 x 2 + x 2 2 C Sostituendo i valori nuerici assegnati si ottiene: x ẋ = Ax + Bu = x x x 4 d = x = Cx.28 u u 2 Dall analisi del polinoio caratteristico della atrice A, si osserva che questo presenta due radici nulle λ,2 e due radici reali negative coincidenti λ 3, La fora di Jordan associata alla atrice A risulta J =

3 e indica che entrabi i blocchi associati agli autovalori λ eλ sono di ordine due. Ne consegue che λ genera un odo costante (figura 2(a)), λ 2 genera un odo polinoialente divergente (figura 2(b)) e λ 3 e λ 4 generano odi convergenti (fig. 2(c), 2(d)). 2 Modo proprio e t 2 Modo proprio t e 2 t Tepo (a) Modo costante Tepo (b) Modo polinoialente divergente Modo proprio e 3 t.9 Modo proprio t e 4 t Tepo (c) Modo convergente Tepo (d) Modo convergente Figura 2: Modi propri del sistea. D La funzione di trasferiento tra l ingresso α e l uscita d diviene coplessivaente G(s) =C(sI A) B =.27965(s + 8.5)(s 4.4) s 2 (s ) 2. Questa, oltre ai poli precedenteente visti, presenta due zeri, uno a parte reale negativa ed uno a parte reale positiva. Il secondo introduce un inversione iniziale della risposta a gradino e conseguenteente un ritardo. La f.d.t. tra il disturbo f d el uscitarisultainvece G fd (s) =C(sI A) B 2 = s(s ). E Il sistea presenta due poli nell origine. Pertanto il progetto di un controllore che peretta al sistea coplessivo di rispettare le specifiche può essere affrontato direttaente sui diagrai di Bode. Fareo riferiento allo schea a blocchi di fig. 4 e al progetto di un controllore del tipo. C(s) = K c s t C (s), con C () =, e) La pria richiesta ipone errore nullo a regie per l inseguiento a segnali costanti d(t) = d. Per tale otivo, poichè G(s) possiede già un polo nell origine, non è necessario inserirne altri

4 Root Locus Iaginary Axis Real Axis Figura 3: Luogo delle radici della f.d.t. G(s). f d r + e C(s) α G(s) G fd (s) + + G fd (s) d Figura 4: Schea a blocchi coplessivo. nel controllore. La costante K c non è fissata dalle specifche statiche (lo potrebbe essere se ad esepio fosse richiesto un errore di inseguiento liitato ad un riferiento a rapa lineare). Il valore di K c sarà quindi deterinato successivaente per rispettare le altre specifiche. Nella seconda parte della specifica è richiesto un tepo di assestaento al 5% del valore di regie, inferiore a s, perettendo una sovraelongazione che al assio sia pari al % del valore costante d assegnato. Tentiao di esaudire le specifiche sul tepo di assestaento e sulla sovraelongazione percentuale S % progettando un controllore che peretta di approssiare il sistea in anello chiuso con un odello a due poli doinanti le cui caratteristiche frequenziali siano S = e πδ δ 2 ω T = 3 δt a ω T.5 rad/s δ =.59 M φ 6 deg Il diagraa di Bode con i vincoli sulla pulsazione di taglio ω T sono riportati in figura 5. d2) Facendo riferiento allo schea a blocchi di fig. 4, per valutare l effetto della coponente costante del disturbo sull uscita è necessario considerare la funzione di trasferiento tra e e f d. Affinchè l effetto di tale coponente del disturbo sia copletaente annullato è necessario che, per il teorea del valore finale li e(t) =li se(s)f d(s) =. t s In questo caso, poichè E(s) = G fd (s) +C(s)G(s) f d(s),

5 Figura 5: Diagraa di Bode della f.d.t. G(s) con specifica sulla banda passante. per un ingresso f d costante abbiao li se(s) =li s s s G fd (s) +C(s)G(s) s = Ḡ fd (s) s + KcC(s) s t Ḡ(s) s 2 = s t+ Ḡ fd (s) s t+2 + K c C (s)ḡ(s) dove Ḡfd e Ḡ sono rispettivaente la f.d.t. del disturbo e del sistea private dei poli nell origine. Perciò questa specifica risulta essere autoaticaente soddisfatta senza dover inserire alcun integratore nel controllore. Consideriao adesso la coponente sinusoidale del disturbo f d. Partendo dal presupposto che il sistea controllato a ciclo chiuso sarà asintoticaente stabile in seguito al progetto del controllore C(s), è possibile applicare il teorea della risposta aronica. La funzione di trasferiento tra il disturbo f d sul robot e l uscita d del sistea è data da Y (jω)= G fd +C(jω)G(jω) F d (jω)=ḡ(jω) F d (jω) Applicando, quindi, il teorea della risposta aronica y(t) = Ḡ(jω) F d sin(ω d t + Ḡ(jω)), questa specifica è equivalente a richiedere che, per pulsazioni ω. rad/s, si abbia y(t) < 8. Facendo riferiento al caso peggiore, si consideri la valutazione cautelativa sin(ω v t + Ḡ(jω)) = e F d = 6. In questo caso la specifica richiede, Y G fd +CG F d 8 Perciò, poichè nel capo di frequenze di interesse G fd db < 87 db (figura 6), si cerca un guadagno di C(s)G(s) e quindi un controllore C(s) tale per cui C(s)G(s) 27dB per pulsazioni inferiori a. rad/s. Le liitazioni relative a questa specifica sono riportate in figura 7. Progetto del controllore. Una possibile soluzione per il controllore C(s) in grado di rispettare tutte le specifiche proposte è la seguente (s +.6) C(s) = 27.5 (s + 45) che risulta essere costituito da una rete anticipatrice. Il diagraa di Bode della funzione di trasferiento in anello aperto è riportato in fig. 8. Si può notare che il controllore è costituito da

6 Bode Diagra Magnitude (db) Syste: G_d Frequency (rad/sec):. Magnitude (db): Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 6: Diagraa di Bode della f.d.t. Ḡ fd (s). Figura 7: Diagraa di Bode della f.d.t. G(s) con le specifiche di progetto. una seplice azione anticipatrice con lo zero (necessario per dare un increento di fase ed alzare il diagraa di Bode per la specifica sulla pulsazione di taglio e sul argine di fase) in prossiità del doppio polo del sistea nel origine ed un polo per ottenere la causalità del controllore a frequenza sufficienteente elevata da non alterare eccessivaente il diagraa nell intorno della pulsazione di taglio. La funzione di trasferiento del sistea controllato risulta infine: (s + 8.5)(s 4.4)(s +.6) G cl (s) = (s )(s +6.8)(s )(s s ) il cui diagraa di bode è riportato in fig. 9. In fig. è invece riportata la risposta ad un ingresso a gradino del sistea controllato.

7 Figura 8: Diagraa di Bode risultante dal progetto della f.d.t. d anello C(s)G(s). 5 Bode Diagra Magnitude (db) 5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 9: Diagraa di Bode del sistea controllato.

8 .2 Syste: Gcl Risposta al gradino del sistea controllato Peak aplitude:.9 Overshoot (%): 8.54 At tie (sec): 3.34 Syste: Gcl Tie (sec): 8.34 Aplitude:.5 \sqrt(x^2+x2^2) Tepo (sec) Figura : Risposta al gradino del sistea controllato.