Il paradigma della programmazione dinamica

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1 Il paradgma della programmazone dnamca Paolo Camurat Dp. Automatca e Informatca Poltecnco d Torno Tpologe d problem Problem d rcerca: ete una oluzone valda? cclo Hamltonano: dato un grafo non orentato, ete un cclo emplce che contene tutt vertc? Problem d ottmzzazone: quale è la oluzone mglore? Parentezzazone d un prodotto d matrc: quale è l mnmo numero d operazon neceare? A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 1

2 Problem brd (rcerca+ottmzzazone): etono delle oluzon valde? E quale è la mglore? Commeo vaggatore: cclo Hamltonano a coto mnmo. A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca Rappreentazone S: oluzon V: oluzon valde M: oluzon mglor f() A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 4

3 Clafcazone Problem d rcerca S V ; V = 0? Trovare un V Problem d ottmzzazone S = V ; trovare max(f()) Problem brd S V ; trovare max(f()) garantendo che V A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 5 Defnzon Soluzone ottma: mglore oluzone poble Soluzone ottma localmente: oluzone ottma n un domno contguo f(x) Soluzone ottma Soluzon ottme localmente A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 6 x

4 Grafca e moltplcazone d matrc Scena trdmenonale come neme d trangol nello pazo Trangolo ndvduato da 4 coordnate: a x, y e z e dmenone fttza (per calamento) Operazon grafche elementar: calamento, rotazone e tralazone d fgure geometrche A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 7 Scalamento (αx, βy) (x, y) α 0 0 [x, y, 1] 0 β 0 = [αx, βy, 1] A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 8 4

5 Rotazone (x, y ) r Φ r Ψ (x, y) x = r co Ψ y = r n Ψ co (Φ+Ψ) = coφcoψ -nφnψ n (Φ+Ψ) = nφcoψ + coφnψ A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 9 x = r co (Φ+Ψ) = rcoφcoψ -rnφnψ = xcoφ -ynφ y = r n(φ+ψ) = rnφcoψ + rcoφnψ = xnφ + ycoφ coφ nφ 0 [x, y, 1] -nφ coφ 0 = [x, y, 1] A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 10 5

6 Tralazone (x + x, y + y) (x, y) [x, y, 1] = [x+ x, y+ y,1] x y 1 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 11 Traformazone: [x, y, z, 1] A 1 A.. A n Stea traformazone applcata a punt dver calcolo una volta per tutte del prodotto A 1 A.. A n A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 1 6

7 Prodotto d matrc Due matrc A p x q e B x r ono compatbl e e olo e q = Ipote d emplfcazone: matrc quadrate d dmenone n x n Algortmo emplce: ccl anndat, completà T(n) = O(n ), e n = rchede 8 moltplcazon e 4 omme A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 1 Prodotto n catena d n matrc Data la equenza d n matrc compatbl A 1, A, A,. A n dove A ha dmenon p -1 x p con = 1,,,n calcolare l prodotto A 1 A A. A n A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 14 7

8 Parentezzazone Defnce l ordne d applcazone delle operazon d prodotto d due matrc con coto mnmo Eempo: A 1 A A A 4 5 parentezzazon pobl (A 1 (A (A A 4 ))) (A 1 ((A A ) A 4 )) ((A 1 A ) (A A 4 )) ((A 1 (A A )) A 4 ) (((A 1 A ) A ) A 4 ) A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 15 Cot Date A p x q e B q x r, l coto d A B è legato al numero d moltplcazon calar p x q x r Eempo: A 1 A A dove A 1 10x100, A 100x 5, A 5x50 Parentezzazone #1: (A 1 A ) A coto d A 1 A 10x100x5 = 5000, rultato A 1 10x5 coto d A 1 A 10x5x50 = 500 coto totale 7500 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 16 8

9 Parentezzazone #: A 1 (A A ) coto d A A 100x5x50 = 5000, rultato A 100x50 coto d A 1 A 10x100x50 = coto totale A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 17 Numero d parentezzazon P(n) = 1 n = 1 Σ 1 k n-1 P(k) P(n-k) n S dmotra che P(n)= C(n-1) dove C(n) è detto numero catalano e vale n C(n) = 1/(n+1) n = Ω(4 n / n / ) A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 18 9

10 La Programmazone Dnamca Applcata a problem d ottmzzazone Pa: caratterzzazone della truttura d una oluzone ottma defnzone rcorva del valore d una oluzone ottma calcolo bottom-up del valore d una oluzone ottma cotruzone d una oluzone ottma. A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 19 Struttura della parentezzazone ottma Notazone: A = A A +1.. A Dvone n ottoproblem A 1 n A 1 k A k+1 n 1 k < n Coto d A 1 n : coto d A 1 k + coto d A k+1 n + coto prodotto A 1 k A k+1 n A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 0 10

11 Perché a ottma la oluzone d A 1 n devono eere ottme le oluzon d A 1 k ea k+1 n. Problema con ottotruttura ottma applcabltà del paradgma della programmazone dnamca A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 1 Soluzone rcorva Sottoproblema: determnare l coto mnmo della parentezzazone d A con 1 n. m[, ]: coto mnmo per A 0 e = m[, ] = mn{m[,k]+m[k+1,]+p -1 p k p } e < k < [, ] contene l valore d k che dà una parentezzazone ottma nella dvone d A A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 11

12 Lmt della oluzone rcorva aunzone d ndpendenza de ottoproblem numero d ottoproblem: uno per ogn celta d e con 1, qund n + n = Θ(n ) A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca Calcolo bottom-up del valore d una oluzone ottma A matrce p -1 x p con =1,,.n nput: equenza p=p 0, p 1,., p n, length[p]= n+1 tabella m[1 n, 1 n] per cot m[, ] tabella [1 n, 1 n] per l valore ottmo d k A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 4 1

13 Peudocodce matrx-chan(p) n <-length[p]-1 for <- 1 to n do m[,] <- 0 for l <- to n do for <- 1 to n-l+1 do <- +l-1 m[,] <- for k <- to -1 do q <- m[,k] + m[k+1,] + p -1 p k p f q < m[,] then m[,] <- q [,] <- k return m ed A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 5 Eempo A 1 4 x 4 A 4 x 6 A 6 x 15 A 5 x 10 p 0 4 p 1 4 p 6 p 15 p 0 m 1 4 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 6 1

14 m[1,1] = 0 m[,] = 0 m[,] = 0 m[4,4] = 0 m A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 7 m[1,] = m[1,1] + m[,] + p 0 p 1 p = 96 k= m 4 1 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 8 14

15 m[,] = m[,] + m[,] + p 1 p p = 60 k= m 4 1 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 9 m[,4] = m[,] + m[4,4] + p p p 4 = 900 k= m 4 1 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 0 15

16 m[1,] = m[1,1] + m[,] + p 0 p 1 p = =600 k=1 m[1,] = m[1,] + m[,] + p 0 p p = = 456 k= m A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 1 m[,4] = m[,] + m[,4] + p 1 p p 4 = =1140 k= m[,4] = m[,] + m[4,4] m + p 1 p p 4 = = 960 k= A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 16

17 m[1,4] = m[1,1] + m[,4] + p 0 p 1 p 4 = = 110 k=1 m[1,4] = m[1,] + m[,4] + p 0 p p 4 = 16 m k= m[1,4] = m[1,] + m[4,4] + p 0 p p 4 = =1056 k= A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca Completà T(n) = Ω(n ) S(n) = Θ (n ) rpetto al coto eponenzale nel tempo della oluzone rcorva A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 4 17

18 Cotruzone d una oluzone ottma matr-chan-mult(a,,, ) f > then X <- matr-chan-mult(a,,,[,]) Y <- matr-chan-mult(a,,[,]+1,) return matrx-mult(x,y) ele return A matr-chan-mult(a,, 1, 4) A 1 4 = ((A 1 A ) A ) A 4 1 A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 5 Applcabltà della programmazone dnamca Etenza d una ottotruttura ottma Etenza d molt ottoproblem n comune vantaggo rpetto al dvde et mpera che aume l ndpendenza de ottoproblem approcco bottom-up rpetto a top-down (dvde et mpera) A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 6 18

19 Rcorone con memorzzazone Approcco top-down Memorzzazone delle oluzon a ottoproblem Lookup: evta d rolvere problem gà trattat A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 7 Eempo: parentezzazone ottma memozed-matr-chan(p) n <-length[p]-1 for <- 1 to n do for <- to n do m[,] <- return lookup-chan(p, 1, n) A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 8 19

20 lookup-chan(p,, ) f m[,] < then return m[,] f = then m[,] <- 0 ele for k <- to -1 do q <-lookup-chan(p,,k) + lookup-chan(p,k+1,)+p -1 p k p f q < m[,] then m[,] <- q return m[,] A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 9 Eempo: numer d Fbonacc Memorzzazone de valor calcolat n un array knownf nt F(nt ); { nt t; f (knownf[]!= unknown) return knownf[]; f ( == 0) t = 0; f ( == 1) t = 1; f ( > 1) t = F(-1) + F(-); return knownf[] = t; } A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 40 0

21 Eempo: l problema dello zano Dato un neme d N oggett cacuno dotato d peo p e d valore v e dato un peo mamo M, determnare l ottoneme S d oggett tal che: S p x M S v x = MAX A.A. 006/ Il paradgma della programmazone dnamca 41 1