CINEMATICA DIRETTA. Paolo Fiorini Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Verona

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1 CINEMATICA DIRETTA Paolo Forn Dpartmento d Informata Unvertà degl Stud d Verona

2 Introduzone Manpolatore: atena nemata (aperta) d orp rgd (bra) e gunt (rotodal e prmat) Per poter manpolare un oggetto nello pazo bogna onoere pozone e orentamento dell organo termnale La nemata dretta alola la poa dell organo termnale n funzone de parametr d gunto 2 2

3 Gunt e Bra Gunto: l ollegamento tra una oppa d orp rgd he permette un moto relatvo aratterzzato da due due uperf he lttano l una ull altra Gunto rotodale Gunto prmato Brao: è un orpo rgdo he defne le relazon geometrhe he nterorrono tra due gunt adaent del manpolatore 3 3

4 Il Problema Problema Dat parametr geometr del manpolatore e le varabl d gunto Calolare poa e orentazone del manpolatore Soluzone Applare un neme d tem d rfermento al manpolatore e agl oggett dell ambente eguendo la onvenzone d Denanvt-Hartenberg 4 4

5 Traformazone Omogenea Organo Termnale Conderamo un manpolatore da n+ bra onne da n gunt. Pozone ed orentazone fnale dell organo termnale ono funzone olo de valor aunt dalle varabl d gunto n ( q) ( q) a ( q) p ( q) T ( q) = 5 5

6 Traformazone Omogenea Organo Termnale n ( q) ( q) a ( q) p ( q) T ( q) = Dove: q è l vettore (nx) delle varabl d gunto n è l verore normale dell utenle termnale a è l verore d approo è l verore d volamento 6 6

7 Eempo 2 2 L + L2 2 2 L + L2 T ( q) = Manpolatore planare a 2 braa N.B.... j... j = n( ) = o( ) j j

8 Convenzone d Denavt-Hartenberg Defne una proedura operatva per l alolo della nemata dretta fruttando la natura d atena nemata aperta del manpolatore Ogn gunto onnette olo due bra oneutv Conderamo prma ngolarmente l problema della derzone geometra de legam tra due bra oneutv Suevamente rolvamo rorvamente l problema della derzone dell ntero manpolatore 8 8

9 Convenzone d Denavt-Hartenberg Defnzone della pozone e orentamento relatv d due bra oneutv Indvduazone d terne oldal on tal bra Calolo della matre d traformazone he lega le due terne 9 9

10 D-H Defnzone Parametr S dentfano gl a d rotazone de gunt - ed Calolo della dtanza a - tra due a d rotazone (normale omune) Calolo dell angolo α - d rotazone (ull ae a - ) neearo per portare l ae del prmo gunto ul pano defnto dal eondo ae e l egmento a -

11 D-H Defnzone Parametr Calolo della dtanza d lungo l ae tra le due normal omun α - e α (e l gunto è prmato d èvarable) S alola l angolo d rotazone (ull ae ) neearo per allneare a - on a (e l gunto è rotodale è varable)

12 D-H Pozone delle Terne L orgne del tema {} è poto ull nterezone tra a e l ae d gunto L ae Z onde on l ae d gunto L ae X onde on la normale omune a L ae Y è elto n modo da ompletare la terna 2 2

13 D-H Eleno de Parametr Se tem d rfermento ono pot n bae alla onvenzone, ha: a - La dtanza tra Z - e Z murata lungo l ae X - α - L angolo tra Z - e Z murato rpetto l ae X - d La dtanza tra X - e X murato lungo l ae Z L angolo tra X - e X murato rpetto l ae Z Nota: a -, mentre α - d e ono quanttà on egno 3 3

14 Eempo Manpolatore planare a tre bra e tre gunt rotodal 4 4

15 Eempo Identfazone degl a d rotazone de gunt rotodal 5 5

16 Eempo Identfazone delle normal omun agl a d rotazone de gunt 6 6

17 Eempo Defnzone del vero degl a Z de tem d rfermento 7 7

18 Eempo Aegnamo gl a X allneandol on le normal omun e on l vero puntante l ae del gunto uevo. X 3 è allneato on l entro dell organo termnale del manpolatore 8 8

19 Eempo α - a - d 2 L 2 3 L

20 Il Problema (raunto) Problema Determnare la traformazone R he lega tra loro le terne de tem d rfermento {} e {+} La traformazone è funzone d quattro parametr: a - α - d d u olo uno è varable: varable per gunt rotodal, d per quell prmat 2 2

21 Compozone d Traformazon Soluzone Calolamo la traformazone T ome ompozone d 4 traformazon elementar 2 2

22 Quattro Traformazon) S defnono tre tem d rfermento ntermed {P} {Q} {R} Prma traformazone omogenea (ruota e trala) {R} dffere da {-} olo per la rotazone α - {Q} dffere da {R} olo per la tralazone a - Seonda traformazone omogenea (ruota e trala) {P} dffere da {Q} olo per la rotazone {} dffere da {P} olo per la tralazone d 22 22

23 23 23 Due Matr Omogenee Prma traformazone omogenea Seonda traformazone omogenea = = ) ( ) ( R Q R Q a a T T R α α α α α = = ) ( ) ( P Q P Q d d T T R

24 La Traformazone R Fnale Avendo empre lavorato n terna orrente, la traformazone fnale rultante, ottene moltplando da x a dx le ngole omponent: R ( Q Dove q è la varable d gunto e vale: q ) = R R Q q = q = d e l gunto è rotodale e l gunto è prmato 24 24

25 25 25 La Traformazone R Fnale In formule, la matre d traformazone fnale dventa: = ) ( d d a q R α α α α α α α α

26 26 26 Eempo (ontnua) 3 L L 2 d a - α - = = = ) ( ) ( ) ( L q R L q R q R

27 Eempo (fne) La matre fnale eprme la traformazone dalla terna x y z alla terna x 3 y 3 z 3 2 R 3 = R ( q) R2 ( q2) R3 ( q3) Le prme tre olonne rappreentano veror della terna x 3 y 3 z 3, mentre la quarta è la pozone dell orgne o 3 rpetto alla terna bae 27 27

28 La Famgla Puma 28 28

29 Puma