Analisi cinematica del PUMA

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1 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot Anals nemata del PUMA Equaon d husura La Fg. mostra la onvenone adottata per la selta de sstem d rfermento su asun membro. S adotta la notaone d Denavt-Hartenberg ponendo ( ): - φ : angolo d rotaone della -esma oppa rotodale; - : offset lungo l'asse della -esma oppa rotodale; - α : twst del membro -esmo; - a : offset del membro -esmo. Il segno de parametr geometr e d movmento è determnato utlando la onvenone d Morgan. Il sgnfato delle matr d trasformaone è anh esso llustrato n Fg.. Le matr d movmento M e d geometra G sono rspettvamente ugual a () M mentre la matre d trasformaone da () H osφ snφ a snφ osφ osα snα G snα osα S a S è osφ osα snφ snα snφ a osφ snφ osα osφ snα osφ a snφ M G snα osα La Fg. mostra l PUMA nella onfguraone ndvduata da φ ( ) (onfguraone d rfermento). In essa tutt gl ass sono tra loro parallel. Nella medesma fgura è rportata una tabella n u sono ompendate le arattersthe geometrhe del PUMA. Le matr d trasformaone valgono (3) ove s s s a 3 s3 s s as s3 3 H H H3 H s s s s s s H H snφ e osφ ( ). La matre E d trasformaone delle oordnate da a S espressa n funone degl angol φ ( ) è data da () E H3H on S

2 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot () e () H H H H 3 s s 3 a + s s ss a s s3 3 as H H H H ove s sn ( φ + φ ) e os( φ φ ) 3 3 ss s s s s + s ss + ss s ss La matre E ha la seguente forma ER (7) E T n u l mnore ortogonale E R esprme l'orentamento d rspetto a S e l vettore [ y ] T la S S posone d n ( è l entro del polso sfero osttuto da membr e ). Anals d posone dretta Nell anals d posone dretta oorre determnare la postura della mano essendo note le varabl d gunto. Il problema s rsolve n manera mmedata sosttuendo valor not d φ ( ) nella matre a seondo membro dell Eq. () determnando osì la matre E. 3 Anals d posone nversa Nel problema nemato nverso è assegnata la postura della mano (oè la matre E) e oorre alolare l valore delle varabl d gunto. La ondone () rappresenta qund un sstema d equaon nelle nognte φ ( ). 3. Determnaone delle varabl d gunto φ φ e φ 3 Come s può notare osservando la Fg. la posone d n S dpende unamente da φ φ e φ 3. Se s estraggono dal sstema () le equaon d nd e 3 s ottene nfatt (8) ossa (9) s 3+ a + s ss 3 + as y 3+ as ( ) ( ) a s3+ s + a s3 s y 3+ as Le ondon (9) relatve a sol termn d traslaone della matre d trasformaone E rappresentano notoramente un set d tre equaon ndpendent all'nterno del sstema (). Nel aso ontngente esse onsentono d determnare drettamente φ φ e φ 3.

3 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot Dalle prme due delle Eq. (9) s possono ravare e s n funone d φ e φ 3 : D D () s D D on () a s a s D D D a s y a s y S osserv he D non può annullars per valor real d φ e φ 3 essendo () ( ) D a s 3 + > Inoltre valor d e s fornt dall Eq. () non sono tra loro ndpendent n quanto oseno e seno dello stesso angolo φ. Deve però essere mposta l'equaone d ongruena (3) + s la quale espltata medante le Eq. () e () ondue a () ossa D + D D () ( a s ) y y( a s ) ( a s ) Espandendo l quadrato a prmo membro s ottene () ( y ) ( a s ) ( a s ) Nell Eq. () è leto dvdere entramb membr per D quanttà ertamente non nulla (v. Eq. ()); s ha pertanto (7) ( ) a s + y 3 La tera delle Eq. (9) e la stessa Eq. (7) rappresentano l rsultato dell'elmnaone dal sstema (9) dell'nognta φ. In altre parole la rsoluone del sstema (9) nelle nognte φ φ e φ 3 è stata rondotta alla rsoluone del sstema (8) + a s 3 ( ) 3 + a s y nelle sole nongte φ e φ 3 (ome s vedrà nel Par. le Eq. (8) possono essere ottenute pù spedtamente per va geometra). Se nelle Eq. (8) s sommano membro a membro la seonda on l quadrato della prma s ottene (9) e dunque + a s + a s + s + a a s + y () ( ) Con sempl passagg trgonometr s rava () + a + a s3 s3 + y + a s + y + a 3 3

4 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot Tale ondone dpendendo lnearmente solo dalla seonda delle Eq. (8) può sostture unamente quest'ultma all'nterno del sstema medesmo. C s rdue qund a ravare φ e φ 3 dalla oppa d relaon osttute dall Eq. () e dalla prma delle Eq. (8) qu d seguto rportate per omodtà: () ( ) + + a + y + s3 a 3+ as In partolare la prma delle Eq. () fornse espltamente snφ 3 oè due soluon n φ 3 (sano φ 3a e φ 3b ) dstngubl dal valore d osφ 3 : (3) ± s 3 3 I valor d φ 3a e φ 3b sono entramb real se s3 [ ]. Supponendo ora noto l valore d φ 3 (sa esso φ 3a o φ 3b ) dalla seonda delle Eq. () s può ravare φ : () ( ) ( ) Utlando le note relaon trgonometrhe () ove t tan ( φ ) l Eq. () dvene + a s s 3 3 t t s + t + t () ( ) t ( a s ) t ( ) la quale porge (7) Pohé n vrtù dell Eq. () (8) l Eq. (7) può essere srtta nella forma (9) + + t a s ± a + a s a + a s + y 3 t a s ± + y + 3 L Eq. (9) fornse per φ le soluon: φ a e φ a per φ3 φ3a φ b e φ b per φ3 φ3b. Il radando a seondo membro dell Eq. (9) assume lo stesso valore per entrambe le rad d φ 3. Ne onsegue he valor d φ a φ a φ b e φ b sono o tutt real o tutt ompless. Per ognuna delle quattro possbl oppe d valor (φ φ 3 ) la sosttuone a rtroso nelle Eq. () e () ondue ad uno valore d φ. Il sstema (9) ammette pertanto quattro soluon n φ φ e φ Determnaone delle varabl d gunto φ φ e φ Per determnare le rmanent nognte φ φ e φ oorre onsderare le nove equaon relatve alle omponent d orentamento dell'equaone matrale () (omponent d nd 3). Indando on H R l mnore d rotaone (3 3) della matre d trasformaone H ( ) dall Eq. () 3

5 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot s ottene (3) H H ER T R 3 R l u seondo membro è noto perhé tal sono gl angol φ φ e φ 3 da u H 3R dpende. T Indat on g ( 3) gl element d H E e tenendo persente l Eq. () l Eq. (3) può essere srtta nella forma (3) 3R R ss s s s g g g s s ss ss + + g g g s ss g g g Se s pota g33 le equaon del sstema (3) d nd e 3 onsentono d ravare φ φ e φ. Dall'equaone d posto 33 s ha nfatt (3) g3 3 la quale fornse due soluon per φ aratterate da (33) s ± Dalle relaon d nd 3 e 3 s dedue g g s 3 3 (3) s s Infne dalle equaon d posto 3 e 3 s ha 3 3 (3) s s g g s Ad ognuna delle quattro possbl terne (φ φ φ 3 ) preedentemente determnate sono però assoabl se g33 (e qund s ) due dstnte terne (φ φ φ ) per un totale d otto soluon d (). Nel aso sa g 33 (oè s ) le equaon avent posto e 3 nel sstema (3) sono dentamente soddsfatte. Rmangono da onsderare le rmanent quattro equaon le qual per ± dventano (3) on g g ( φ φ ) m sn ( φ φ ) ( φ φ ) os( φ φ ) ± os ± ± g g sn g g ± ± e g g e dove oorre prendere o segn superor o quell nferor. Le Eq. (3) s rduono alle due ondon sgnfatve (37) os ( φ φ ) g sn ( φ φ ) ± ± ± g A fronte de valor φ o π l Eq. (37) fornse un'nfntà d possbl oppe (φ φ ). 3.3 Shema del proesso rsolutvo [] Determnaone d φ 3 medante la prma delle Eq. () e l Eq. (3) ( soluon). [] Determnaone d φ medante l Eq. (9) ( soluon). [3] Determnaone d φ medante l Eq. (). [] Determnaone d φ medante le Eq. (3) e (33) ( soluon).

6 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot [] Determnaone d φ medante l Eq. (3). [] Determnaone d φ medante l Eq. (3). Nel aso n u rsult g 33 pass []-[] sono sosttut da seguent: [ ] Determnaone d φ ( φ se g 33 φ π se g 33 ). [ ] Selta arbtrara d φ [ π[ ( soluon). [ ] Determnaone d φ medante l Eq. (37). Il passo [] può fornre per φ 3 due valor real dstnt o due valor real ondent (per 3 ) o due valor ompless onugat. Se due valor d φ 3 (sano φ 3a e φ 3b ) sono real s può passare alla suessva fase [] e verfare se l dsrmnante dell Eq. (9) (he assume lo stesso valore sa per φ 3a sa per φ 3b ) sa maggore mnore o uguale a ero. Se > s'ndvduano per φ le soluon real φ a e φ a on φ 3 φ 3a φ b e φ b on φ 3 φ 3b ; se nvee (e qund dall Eq. (8) a s3 ) rsulta φ a φ a e φ b φ b. In ogn aso se s può passare alla suessva fase [3] he ndvdua sempre un solo valore per φ. La ondone g 33 he dsrmna tra le sequene []-[] e [ ]-[ ] deve ora essere valutata n orrspondena ad ognuna delle quattro terne d valor (φ φ φ 3 ) preedentemente ndvduate. In ogn aso le soluon per φ sono real. Esse ondono se s dversamente sono dstnte. Se per ogn terna (φ φ φ 3 ) è g33 l anals d posone nversa ammette otto soluon. Altrment queste sono n numero nfnto. Spao d lavoro In questo paragrafo s determnerà lo spao d lavoro teoro del PUMA (assumendo ome punto d rfermento della mano). S presnderà oè da problem legat all nterferena tra membr e s assumerà he ogn oppa rotodale possa realare una rotaone relatva par a 3. Cò mpla he l polso sfero possa produrre n una qualunque posone un orentamento qualsas della mano e he soltanto la posone d sa soggetta a lmtaone. In queste ondon lo spao d lavoro destro onde on quello raggungble. S assumerà noltre a. La prma delle Eq. () ammette soluon real solo se l modulo del seondo membro è mnore o uguale a e dunque (38) + ( a ) + y + + ( a + ) Cò sgnfa he deve gaere nello spao ompreso tra due sfere entrate n e avent ragg ugual a + ( a ) e ( a ) + + rspettvamente. L Eq. (9) ammette soluon real solo se l suo dsrmnante è maggore o uguale a ero e dunque (39) + y Cò sgnfa he deve anhe gaere all esterno d un lndro d asse e raggo. Lo spao d lavoro teoro del PUMA è llustrato n Fg. 3. Le ondon (38) e (39) hanno la seguente nterpretaone geometra. nel pano y dalla Fg. rsulta Indando on r la proeone del vettore ( ) () as+ 3 r a s3 r + y

7 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot e onseguentemente () ( ) a s + y 3 La prma delle Eq. () e l Eq. () ondono on le Eq. (8) ravate analtamente nel Par. 3.. È evdente he l brao osttuto da membr e raggunge la propra massma (rsp. mnma) elongaone quando φ 3 π (rsp. φ 3 π ). In questo aso rsulta () ( ) ( ) ( ) ( ) a + s a s (rsp. ) r a + r a Le Eq. () untamente alla tera delle Eq. () porgono (3) + y + + ( a + ) + y + + ( a ) (rsp. ) Le Eq. (3) fornsono le ondon (38). Inoltre pohé dalla seonda delle Eq. () rsulta () r a + la tera delle Eq. () porge () ( ) + y + a + Se sono soddsfatte le ondon (38) la dsuguaglana a destra è automatamente soddsfatta. La dsuguaglana a snstra fornse nvee la ondone (39). Anals d velotà La velotà del punto d rfermento () s può alolare dfferenando l Eq. (8) rspetto al tempo ss as + as & φ s 3 a s s 3 ass s & 3 φ + + & s + a s & φ mentre la velotà angolare della mano s può ottenere tenendo presente he (7) %ω EE & oppure n manera omputaonalmente pù omoda ome (8) ω & φ φ ( R R) & H LH ( & φi & φh & R φ3h RH R K & φh RH RH3 RH RH R) Le Eq. () e (8) espanse e srtte n forma matrale porgono l equaone d velotà del PUMA (9) dove la matre aobana è par a R T R & φ & J M & φ ω 7

8 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot () ss 3 as + 3 as 3 s 3+ a + s s 3 ass s 3 s3+ a s3 J s s s3 3s + s ss s 3s s 3 ss3 s 3s ss s 3s ss 3 3 s3s s3s + 3 Indando on J e J mnor 3 3 post lungo la dagonale prnpale d J rsulta dopo qualhe passaggo () ( ) S not he () det det det a a s s J J J 3 3 ( ) as + s det J 3 3 φ φ3 φ dove le funon argomento delle dervate paral ondono on prm membr delle Eq. () e (3). La fattoraone dello aobano fornse ome noto delle valde ndaon per la srttura delle equaon d husura n forma trangolare. Confguraon sngolar Dall Eq. () rsulta he le ondon (3) a s3 () 3 () s ndvduano le onfguraon sngolar del PUMA. In asuna d esse due soluon real dell anals d posone nversa dventano ondent (v. Par. 3.3) e la mano del PUMA perde un grado d lbertà. Infatt quando le ondon (3) e () sono soddsfatte gae sulla frontera dello spao d lavoro: rspettvamente sul lndro espresso dall Eq. (39) oppure su una delle due sfere espresse dalle Eq. (38). Le Fg. e llustrano rspettvamente l grado d lbertà perso. Quando è soddsfatta la ondone () gl ass delle tre oppe rotodal del polso sfero dventano oplanar (n partolare l prmo ed l tero dventano ondent) e rsulta qund mpossble onferre alla mano una omponente d velotà angolare perpendolare a tale pano. 8

9 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot S φ S S φ S φ + + α > a > > φ > φ a α α a S M S G S H M G Fg.. Convenone d Denavt-Hartenberg/Morgan. 9

10 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot 3 a M M M 3 M M M α a a Fg.. Confguraone d rfermento e arattersthe geometrhe del PUMA.

11 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot ( a ) + + ( a ) + Fg. 3. Spao d lavoro del PUMA.

12 Unverstà d Bologna Faoltà d'ingegnera Meana de Robot y φ +φ 3 y φ 3 r a φ 3 φ φ +φ 3 a φ y y φ φ r v Fg.. Determnaone delle equaon d posone del PUMA. Fg.. Confguraone d sngolartà ndvduata dall Eq. a s3. y φ 3 π v y φ 3 π v φ φ Fg.. Confguraon d sngolartà ndvduate dall Eq. 3.