Lezione 15 - La teoria lineare

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1 Leone 5 - La teora lneare [Ultmarevsone revsone6 6gennao gennao009] In questa leone s esamnano le conseguene d una ragonevole potes sulla grandea d alcune quantta' d nteresse fsco. L'potes d pccole deformaon E' spesso evdente, nella pratca tecnca, che le varaon percentual d lunghea E x, E x ed E x, asseme con le varaon angolar g, g e g possano consderars quantta' pccole rspetto all'unta'. Quando co' sa accettable, s dra' che s e' nell'ambto delle pccole deformaon: E x ` ; E x `; E x `; γ ` ; γ ` ; γ ` ; In tale potes s hanno alcune nteressant semplfcaon d svarate formule. Le (7-9) della Leone precedente, che qu s rportano per comodta': () E x = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! d E x = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! d E x = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! d s semplfcano utlando lo svluppo n sere della radce quadrata, ed arrestandos al prmo termne: da cu s ha: è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! d = d d d O@d D 4 E x = d E x = d () () (4) (5) (6) (7) E x = d Ne segue che n queste potes gl element dagonal del tensore d Green-Lagrange fornscono drettamente gl allungament percentual d segment passant per un punto M e parallel agl ass. Inoltre, per qualsas segmento MN øøøö la deformaone MN, data dalla () della Leone precedente: (8) s semplfca n: ε MN = E MN J E MN N ε MN = E MN (9) (0)

2 94 Leone 5 - Pccole deformaon.nb da cu, come ga' suggerto, s vede che la defnone matematca e quella ngegnerstca vengono a concdere. Infne, occorre semplfcare le (-5) della Leone precedente: sn γ = sn γ = d H E x L H E x L d H E x L H E x L () () sn γ = d H E x L H E x L I sen degl angol, come noto, possono confonders con gl angol stess, se gl angol sono pccol: sn γ = γ γ 6 O@γ D 4 ed l denomnatore a secondo membro puo' confonders con l'unta'. S ha qund: () (4) d = g ÅÅÅÅÅÅÅÅ d = g ÅÅÅÅÅÅÅÅ (5) (6) d = g ÅÅÅÅÅÅÅÅ Qund, nelle potes semplfcatve d questa leone, le tre component d, d, d concdono con la meta' della varaone angolare dell'angolo retto tra element passant per M ed orgnaramente dstes lungo gl ass. (7) L'potes d pccol gradent d spostamento Una ulterore potes semplfcatva rguarda l'ampea delle dervate degl spostament. Se s assume che tutte le dervate del tpo u ê x,... u ê x sano tanto pccole da poter trascurare loro quadrat rspetto ad esse, allora la defnone del tensore d Green-Lagrange vene a semplfcars drastcamente, n quanto l'ultmo termne della (8) della Leone precedente: D = HH HT H T HL vene a trascurars, e qund s ha: (8) D = E = HH HT L (9) In altr termn, l tensore d Green-Lagrange vene a concdere con la parte smmetrca del gradente d spostamento.

3 Leone 5 - Pccole deformaon.nb 95 La decomposone dello spostamento Nell'potes d pccol gradent d spostamento, gl element della matrce H de gradent d spostamento sono tutt dello stesso ordne d grandea, cos' come gl element della parte smmetrca E d H, e della parte antsmmetrca W. Co' permette una utle decomposone del processo deformatvo n esame. à La rotaone rgda S consder la (0) della Leone, che s rporta per comodta': ossa: du du = du u x x x u u u x x x u u u x x x u u dx dx dx (0) con: du = Hdx = HE ΩL dx () E = u x H u x u x L H u x u x L H u x u u x L x H u x u x L H u x u x L H u x u u x L x () Ω = 0 H u x u H u x u x L H u x u x L x L 0 H x u x u L H u x u S defnsca ora l vettore w d component: ω = J u u N x x ω = J u u N x x ω = J u u N x x n modo da scrvere: H u x u x L x L 0 () (4) (5) (6) Ω = 0 ω ω ω 0 ω ω ω 0 (7) Ora, e' noto che l generco atto d moto d un corpo rgdo, s puo' scomporre n tre traslaon u 0, u 0, u 0, rspetto a tre ass cartesan d rfermento, e n tre rotaon d ampea W, W, W ntorno agl ass passant per un punto P 0 (detto polo) e parallel agl ass d rfermento.

4 96 Leone 5 - Pccole deformaon.nb A seguto d questo atto d moto, lo spostamento d un generco punto P del corpo, puo' scrvers: u u u P = u 0 u 0 u 0 0 Ω Ω Ω 0 Ω Ω Ω 0 Ne segue che l'alquota d spostamento della (): du r = Ωdx = ω dx x x 0 x x 0 x x 0 e' nterpretable come una rotaone rgda con vettore rotaone d component: ω = J u u N x x ω = J u u N x x ω = J u u N x x (8) (9) (0) () () à La deformaone pura La restante alquota della (): du e = Edx () e' qund responsable dell'effettva deformaone del segmento MN, e la matrce E s dce anche matrce della deformaone pura. I corrspondent spostament s dcono spostament da deformaone pura. Nota - Il concetto d decomposone della deformaone, come llustrato n questa seone, rsale a G.Stoes, 845. Fgura - G. Stoes

5 Leone 5 - Pccole deformaon.nb 97 L'nterpretaone fsca delle dreon prncpal d deformaone La (), combnata con la (9), permette una semplce nterpretaone fsca della rcerca delle deformaon prncpal con le corrspondent dreon prncpal d deformaone, operata nella Leone precedente sul tensore d Green-Lagrange. S consder nfatt un punto M, e sa p una dreone prncpale passante per M. Sa po N un punto appartenente alla retta p, ed a dstana dx da M. Il punto N, per effetto della deformaone pura, s porta n N', con spostament fornt dalla (): du = e dx e dx e dx du = e dx e dx e dx du = e dx e dx e dx (4) D'altro canto, poche' N appartene ad una dreone prncpale, anche N' dovra' appartenere alla stessa dreone, e qund MN' deve essere proporonale ad MN (cfr. Fgura ): X u M dx x du N x x N' u ξ ξ X ξ X Fgura - Gl spostament da deformaone pura e le dreon prncpal d deformaone du = εdx du = εdx du = εdx Paragonando le (5) e (4) s gunge al sstema: He εldx e dx e dx = 0 e dx He εl dx e dx = 0 e dx e dx He εl dx = 0 dentco alla (8) della Leone precedente. (5) (6)

6 98 Leone 5 - Pccole deformaon.nb Le condon d compatblta' In quest'ultma seone s affronta l seguente problema: - date le tre funon spostamento u Hx, x, x L, u Hx, x, x L e u Hx, x, x L, e' da esse possble rcavare, tramte dervaone, le se component del tensore d deformaone. - assegnate le se funon e Hx, x, x L,, =,,, e' sempre possble rcavare le tre funon spostamento da cu esse sarebbero generate? In altr termn, assegnate se funon del tpo descrtto, sono sempre esse nterpretabl come component d deformaone, relatve ad un campo d spostament? La rsposta alla domanda precedente e': non sempre, ma solo quando le se funon sano legate tra loro da tre condon, dette condon d compatblta'. S puo' dmostrare l seguente: Teorema - Condone necessara e suffcente affnche' le se funon contnue ed unform e Hx, x, x L,, =,, sano component d deformaone lneare e' che sano verfcate le relaon: e x x = J e e e N x x x x (7) e = x x e = x x J e e e N x x x x J e e e N x x x x (8) (9) e = e x x x e x e = e e x x x x (40) (4) e = e x x x e x (4) Nota - Prma d nare la dmostraone, s osserv che l gruppo delle prme tre condon s puo' ottenere a partre da una qualsas equaone, tramte permutaone crcolare degl ndc x Ø x Ø x Ø x, cos' come possono otteners le altre tre condon. Dm. La condone e' necessara. Ed nfatt l secondo gruppo d condon puo' essere faclmente dmostrato n base alla seguente relaone: e = u u x x u x x v x x = ed alla permutaone crcolare degl ndc. e = x x x J u x N x J u N = e x x e x (4)

7 Leone 5 - Pccole deformaon.nb 99 Per dmostrare l prmo gruppo d condon, s consder che s ha: e = J u u N e = x x x x J u x x x u x N x (44) e = J u u N e = x x x x J u x x x e = J u u N e = x x x x J u x x x e sommando s ha: e x x e x x J u x x x J u x x x u = x x x e = x x J u x x x u N x x x u N = x x x u = e x x x x x La condone e' suffcente. S consult Mushelshvl.[Mushelshvl] ð u N x x x u N x x x u N x x x (45) (46) (47) Nota - La necessareta' delle condon d compatblta' e' stata dmostrata da B. De Sant Venant n una brevssma nota d due pagne, pubblcata nel 86, mentre la dmostraone della loro suffcena e' dovuta ad Eugeno Beltram ("Sull'nterpretaone meccanca delle formule d Maxwell", Rendcont del Crcolo Matematco d Palermo,, 886). Tale nota puo' anche essere letta sul sto nella seone Rcerca. Fgura - Adhemar Jean Claude Barre' de Sant-Venant

8 00 Leone 5 - Pccole deformaon.nb Nota - Le equaon d congruena possono sntetars nell'unca formula: curlcurle = 0 (48) dove l rotore d un tensore e' defnto, ad esempo, nel Complemento 6, sul sto Le dentta' d Banch E' faclmente potable che non tutte le condon d congruena appena scrtte sano ndpendent tra d loro. Ed nfatt, s rscrvano le se condon sotto forma d dentta' a ero: G = e e e = 0 x x x x (49) G = e e e = 0 x x x x G = e e e = 0 x x x x (50) (5) G = G = e x x e x x e e = 0 x x x (5) G = G = e x x e x x e e x x x = 0 (5) G = G = e x x e x x e e x x x = 0 S puo' verfcare, per sosttuone dretta, che sussstono le cosddette dentta' d Banch: (54) G G G = 0 x x x G G G = 0 x x x (55) (56) G G G = 0 x x x (57) che legano tra loro le se condon d congruena, e facendo s' che solo tre d esse sano ndpendent. S not che utlando la convenone degl ndc rpetut, le dentta' d Banch s scrvono: G x = 0, =,, (58)

9 Leone 5 - Pccole deformaon.nb 0 Fgura 4 - Lug Banch Note [] N. Mushelshvl, "Some basc Problems of the Mathematcal Theor of Elastct", Noordhoff 96, pp [Torna al testo] Grafc