Lezione 14 - Il tensore di Green- Lagrange

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1 Lezione 14 - Il tensore di Green- Lagrange [Ultimarevisione: revisione:4 4novembre novembre009] In questa lezione si generalizza quanto detto nella lezione precedente, considerando la trasformazione subita da un segmento arbitrariamente orientato nello spazio. Il tensore di Green-Lagrange Si consideri un segmento dx, di componenti Hdx 1, dx, dx 3 L, e di lunghezza: dx 1 +dx +dx 3 dx T dx (1) A seguito della applicazione delle forze, il segmento si trasforma nel segmento M ' N ' dx, di componenti Idx 1, dx, dx 3 M e lunghezza: M'N' dξ +dη +dζ dξ T dξ () Usando la (16) della lezione precedente: si ha: dξ Fdx (3) e quindi: M'N' dξ T dξ dx T F T Fdx (4) M'N' dx T F T Fdx dx T dx dx T IF T F IMdx (5) Si introduca ora la seguente quantita', nota come tensore di Green-Lagrange [Green]: D 1 IFT F IM (6) in modo da poter scrivere: M'N' dx T Ddx (7) Si noti che il tensore D puo' scriversi anche: D 1 IFT F IM 1 IH+HT +H T HM (8) da cui, tra l'altro, appare subito evidente la natura simmetrica di D.

2 87 Lezione 14 - Il tensore di Green-Lagrange.nb Figura 1 - Joseph-Louis Lagrange Svolgendo i prodotti matriciali si hanno esplicitamente le sei componenti di D: d 11 + (9) d 1 d (10) d 13 d (11) d + (1) d 3 d (13) d 33 + oppure, utilizzando la convenzione degli indici ripetuti: (14)

3 Lezione 14 - Il tensore di Green-Lagrange.nb 88 d ij 1 u i x j + u j x i u k x i u k x j (15) Gli allungamenti percentuali L'allungamento percentuale del segmento e' stato definito come: E M'N' M'N' 1 (16) da cui: M'N' H1+E L Sara' pertanto: M'N' H1+E L E H+E L e paragonando con la (7) si ha: E H+E L dx T Ddx Dividendo ora per si ha: (17) (18) (19) E 1+ E dx T D dx (0) ossia, infine: E 1+ E l T Dl (1) avendo introdotto il vettore l dei coseni direttori dell'elemento : l l 1 l l 3 dx 1 dx dx 3 () Si e' quindi dato un significato fisico al tensore di Green-Lagrange: basta conoscere le sue sei componenti ed e' possibile calcolare l'allungamento percentuale di un segmento orientato in modo arbitrario, e definito attraverso i suoi tre coseni direttori. Definizione di deformazione La formula (1) fornisce lo spunto per una definizione di tipo operativo: Definizione - Dato un punto M del corpo B, la quantita':

4 89 Lezione 14 - Il tensore di Green-Lagrange.nb ε E 1+ E l T Dl d ij l i l j d 11 l 1 + d l +d 33 l 3 + Hd 1 l 1 l + d 13 l 1 l 3 + d 3 l l 3 L (3) si definisce la deformazione in M del segmento. Nota - Nella pratica ingegneristica si definisce deformazione la quantita' E, che viene a coincidere con la (34) solo in certe ipotesi che verranno specificate in seguito. Le componenti normali di deformazione Si consideri un segmento dx, parallelo all'asse x 1, e quindi di componenti Hdx 1, 0, 0L. I coseni direttori di sono dati da (1,0,0). Di conseguenza, la (3) potra' scriversi: ε 11 E x1 1+ E x1 l T Dl (4) e svolgendo il triplo prodotto matriciale si giunge ad identificare le componenti del tensore di Green- Lagrange lungo la diagonale principale con le deformazioni dei segmenti originariamente stesi lungo gli assi: ε 11 d 11 In termini di allungamenti percentuali, e' facile dedurre che sara': (5) da cui: E x1 1+ E x1 d 11 (6) E x1 1+ d 11 1 Del tutto analogamente: E x 1+ d 1 E x3 1+ d 33 1 (7) (8) (9) Si puo' dunque concludere che gli elementi diagonali del tensore di Green-Lagrange forniscono una misura degli allungamenti percentuali di segmenti passanti per un punto M e paralleli agli assi. I tre elementi d 11, d e d 33 si chiamano componenti normali della deformazione. Gli angoli taglianti Occorre ora dare un significato geometrico anche ai restanti tre termini del tensore di Green-Lagrange, ossia a d 1, d 13 e d 3. A cio' fare, si considerino due elementi paralleli a due assi coordinati, ad esempio, paralleli ad x 1 ed x. Siano essi dx 1 e dx, rispettivamente, con coseni direttori (1,0,0) e (0,1,0). I coseni direttori del segmento trasformato dx 1 saranno forniti da (cfr. (3) della Lezione precedente): l E x1 ; l 1 1+E x1 ; l 31 1+E x1 ; (30)

5 Lezione 14 - Il tensore di Green-Lagrange.nb 90 mentre i coseni direttori del segmento trasformato dx saranno forniti da: l 1 1+E x ; l 1+ 1+E x ; l 3 1+E x ; (31) Ne segue, per una nota formula di geometria, che il coseno dell'angolo formato dai due segmenti trasformati sara' fornito da: cos Hdξ 1, dξ L l 11 l 1 +l 1 l +l 31 l H1+E x1 L H1+E x L d 1 H1+E x1 L H1+E x L Se si indica con g 1 la variazione angolare tra dx 1 e dx, (cfr. Figura ) si ha anche: (3) cos Hdξ 1, dξ L Analogamente, si ha d 1 H1+E x1 L H1+E x L cos Kπ γ 1O sin γ 1 (33) cos Hdξ 1, dξ 3 L d 13 H1+E x1 L H1+E x3 L cos Kπ γ 13O sin γ 13 (34) cos Hdξ, dξ 3 L d 3 H1+E x L H1+E x3 L cos Kπ γ 3O sin γ 3 (35) X N N' dx dξ γ 1 M' O γ 1 dξ 1 dx 1 M X 1 Figura - L'angolo tagliante g 1 Gli angoli g 1, g 13, g 3 si chiamano angoli taglianti, mentre le tre componenti d 1, d 13, d 3 si chiamano le componenti tangenziali della deformazione. Esse descrivono la variazione angolare dell'angolo retto tra elementi passanti per M ed originariamente distesi lungo gli assi.

6 91 Lezione 14 - Il tensore di Green-Lagrange.nb Le deformazioni principali Come si e' visto, le componenti tangenziali della deformazione, d 1, d 13 e d 3 descrivono la variazione angolare tra coppie di segmenti distesi lungo gli assi. Se quindi queste tre quantita' fossero nulle, allora gli assi coordinati sarebbero orientati in modo tale che tre segmenti ad essi paralleli subirebbero solo variazioni di lunghezza, ruoterebbero in modo solidale, ma non avrebbero mutue rotazioni. In altri termini la terna Hx 1, x, x 3 L sarebbe una terna di direzioni principali di deformazione. In questo caso, gli assi si battezzano (1,, 3) e gli allungamenti percentuali si denotano con E 1, E, E 3. Inoltre il tensore di Green-Lagrange assume la forma diagonale: D e quindi sara': d d d 3 (36) E 1 1+d 1 1 E 1+d 1 E 3 1+d 3 1 ed anche: ε d 1 l 1 + d l + d 3 l 3 (37) (38) dove, come sempre, l 1, l ed l 3 sono i coseni direttori del segmento. La ricerca delle direzioni principali In perfetta analogia con quanto svolto nell'analisi della tensione, occorre ricercare quella direzione, o quelle direzioni per cui: d 11 d 1 d 13 d 1 d d 3 d 13 d 3 d 33 l 1 l l 3 l 1 l l 3 (39) ossia, matricialmente: HD ILl 0 (40) Il sistema, omogeneo, ammette sempre la soluzione banale l 1 l l 3 0, senza significato fisico. Occorre invece ricercare le soluzioni, definite a meno di una o piu' costanti, in corrispondenza dei valori nulli del determinante dei coefficienti, imponendo: Det@HD ILD 0 (41) Svolgendo il determinante si giunge ad una equazione cubica in e, con tre radici reali, che puo' scriversi come: 3 I 1 + I I 3 0 dove I 1, I ed I 3 sono i tre invarianti di deformazione: (4)

7 Lezione 14 - Il tensore di Green-Lagrange.nb 9 I 1 d 11 + d + d 33 Tr@DD I d 11 d + d 11 d 33 + d d 33 d 1 d 13 d 3 (43) (44) I 3 Det@DD (45) Siano d 1, d e d 3 le tre radici dell'equazione secolare (41) in. In corrispondenza di cisacuna di queste tre radici, dette deformazioni principali, si puo' calcolare una direzione principale, definita a meno di una costante, ed identificata dalle sue tre componenti. Sia l 1 Hl 11, l 1, l 31 L la soluzione che si ottiene in corrispondenza di d 1, l Hl 1, l, l 3 L la soluzione che si ottiene in corrispondenza di d, ed infine l 3 Hl 13, l 3, l 33 L la soluzione che si ottiene in corrispondenza di d 3. Si puo' dimostrare anche in questo caso che queste tre direzioni l 1, l e l 3, sono tra loro ortogonali. Note [Green] - La deduzione del tensore e' contenuta in "On the propagation of light in crystallized media" G. Green, Math. Papers (1839). Una versione digitale di tale lavoro puo' essere letta nella sezione Ricerca del sito [Torna al testo] Grafici