Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant

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1 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant [Ultimarevisione: revisione: gennaio gennaio009] In questa lezione si illustra un metodo per ottenere le soluzioni per il problema debole di De Saint-Venant. A tal proposito, si e' visto che solo sei caratteristiche della sollecitazione esterna possono essere arbitrariamente assegnate, ad esempio le tre forze risultanti ed i tre momenti risultanti sulla base di sinistra S. Le altre sei c.s.e. sulla base di destra sono automaticamente tratte imponendo che la trave sia in equilibrio. Si puo' quindi che la classe di soluzioni K del problema debole di De Saint-Venant dipende da sei parametri: K = K HF HL, F HL, F HL, M HL, M HL, M HL M () ' opportuno per cio' che segue distinguere due sottoclassi di soluzioni, la prima caratterizzata dall'assenza delle due forze di taglio F HL e F HL, la seconda definita dalla presenza delle sole forze di taglio. Si indichera' allora con K la sottoclasse delle soluzioni del problema di estensione-flessione-torsione, per cui: K = K H0, 0, F HL, M HL, M HL, M HL L e con K la sottoclasse delle soluzioni del problema di taglio, per cui: K = K HF HL, F HL, 0, 0, 0, 0M () () Infine, si definisce campo di spostamento equilibrato un campo di spostamenti u che conduce ad una distribuzione di tensioni equilibrate, ossia soddisfacenti alle equazioni indefinite dell'equilibrio (in presenza di forze di massa nulle): σ ij HuL = 0 x j (4) Il teorema di Iesan Si dimostra preliminarmente il seguente: Lemma (Gurtin 97, pag.) - Se u e' una terna di spostamenti che soddisfa le equazioni di Cauchy-Navier in presenza di forze di massa nulle, anche il campo di spostamenti: u,k = u x k soddisfa le equazioni di Cauchy-Navier. (5) Dim.- Per ipotesi, la terna di spostamenti soddisfa le equazioni di Cauchy-Navier in presenza di forze di massa nulle, e quindi:

2 64 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb µ da cui anche: ed infine: u i x j x j +Hλ + µl x k Jµ u j x i x j = 0 u i x j x j N +Hλ + µl x k u j x i x j = 0 (6) (7) µ J u i x j x j x k N +Hλ + µl J u j N = 0 x i x j x k Si puo' ora dimostrare un importante risultato dovuto a Dorin Iesan, secondo cui se un campo di spostamenti u e' equilibrato e conduce a tensioni nulle sul mantello laterale della trave, allora anche la sua derivata rispetto all'asse x e' un campo di spostamenti equilibrato, che conduce a tensioni nulle sul mantello laterale, e a ben precise caratteristiche della sollecitazione esterna. Si ha cosi' il: Teorema di D.Iesan (986) - Sia u un campo di spostamenti equilibrato in presenza di forze di massa nulla, e tale che le corrispondenti tensioni si annullino sul mantello laterale: (8) t n HuL = 0 su P. Sia poi u * il campo di spostamenti ottenuto derivando u rispetto ad x : u = i j k u u u y z = { i j k u x u x u x y z { Il campo di spostamenti u * e' equilibrato, le tensioni da esso derivate sono nulle sul mantello: t n Hu L = 0 e le corrispondenti caratteristiche della sollecitazione esterna sono date da: F HL Hu L = 0;F HL Hu L = 0; F HL Hu L =0; M HL Hu L =F HL HuL; M HL Hu L = F HL HuL; M HL Hu L = 0; Dim. - Che il campo di spostamento u * sia equilibrato segue dal lemma di Gurtin. Inoltre sara': σ i Hu L = σ i HuL x e quindi, per le equazioni indefinite dell'equilibrio: σ i Hu L = σ i HuL = σ i HuL σ i HuL x x x Le (5) della Lezione precedente porgono, per il teorema della divergenza: (9) (0) () () () (4) (5)

3 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 65 F HL Hu L = σ Hu Σ L A = J σ HuL + σ HuL N A = Hσ Σ x x n + σ n L ds = 0 F HL Hu L = σ Hu Σ L A = J σ HuL + σ HuL N A = Hσ Σ x x n + σ n L ds = 0 F HL Hu L = σ Hu Σ L A = J σ HuL + σ HuL N A = Hσ Σ x x n + σ n L ds = 0 Sara' poi possibile scrivere: x σ Hu L = x J σ HuL + σ HuL N = x x Hx σ HuLL Hx σ HuLL + σ x x HuL x σ Hu L = x J σ HuL + σ HuL N = x x Hx σ HuLL Hx σ HuLL + σ x x HuL (6) (7) (8) (9) (0) x σ Hu L x σ Hu L = x J σ HuL + σ HuL N + x x x J σ HuL + σ HuL N = x x () Hx σ HuLL Hx σ HuLL + σ x x HuL + Hx σ HuLL + Hx σ HuLL σ x x HuL e le (6) della Lezione precedente forniscono, applicando ancora una volta il teorema della divergenza: M HL Hu L = Σ x σ Hu L A = J Hx σ HuLL + Hx σ HuLL σ Σ x x HuLN A = () Hx σ HuL n + x σ HuL n L s σ HuL A = F Σ HL HuL M HL Hu L = Σ x σ Hu L A = J Hx σ HuLL + Hx σ HuLL σ Σ x x HuLN A = () Hx σ HuL n + x σ HuL n L s σ HuL A = F + Σ HL HuL

4 66 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb M HL Hu L = Hx σ Hu Σ L x σ Hu LL A = J Hx σ HuLL Hx σ HuLL + Σ x x Hx σ HuLL + Hx σ HuLL N A = x x H x σ HuL n x σ HuL n +x σ HuL n + x σ HuL n L s = 0 ð Il teorema appena dimostrato ha due immediate conseguenze: HL Corollario - Se u e' soluzione del problema di estensione-flessione-torsione, ossia se u œ K, allora F = 0 e F HL = 0. Ne segue, per il teorema di Iesan, che il corrispondente campo u * = ÅÅÅÅÅÅÅ u fornisce caratteristiche della sollecitazione esterna nulle: x per i =,,. F i HL Hu L = 0; M i HL Hu L = 0; (5) Corollario - Se u e' soluzione del problema di taglio, ossia se u œ K, allora il corrispondente campo u * = ÅÅÅÅÅÅÅ u x e' soluzione di un problema di estensione-flessione-torsione in cui F HL Iu * M = 0, M HL Hu L= F HL IuM, M HL Hu L= - F HL IuM, ed M HL Hu L= 0. In simboli: u K HF HL, F HL L Dai due corollari discende anche: u x K H0, F HL, F HL, 0L (6) Corollario - Sia u un campo di spostamenti equilibrato in presenza di forze di massa nulla, e tale che le corrispondenti tensioni si annullino sul mantello laterale: t n HuL = 0 (7) su P. Qualsiasi campo di spostamenti ottenuto derivando u rispetto ad x piu' di una volta fornisce caratteristiche della sollecitazione esterna nulle: F HL i J n u xn N = 0; M i HL J n u xn N = 0; per qualsiasi n. (8)

5 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 67 La costruzione delle soluzioni relative all'estensione-flessione-torsione Si inizi a ricercare le soluzioni del problema di estensione-flessione-torsione, ed a tal fine si osservi che qualsiasi moto rigido e' soluzione del problema, e per esso si ottengono caratteristiche della sollecitazione esterna nulle. Inoltre, come indicato dal Corollario, se u e' soluzione del problema, il campo di spostamento u * = ÅÅÅÅÅÅÅ u conduce anch'esso a c.s.e. nulle. Sembra quindi naturale partire da un campo di spostamenti rigidi u *, e da esso cercare di risalire ad u. Si ponga allora: x u = c + d x = i j k c y c z + i j c { k con c e d vettori costanti. In esteso si ha: i j k d d d x x x y z { (9) u = c x + d x d x ; u = c x + d x d x ; u = c x + d x d x ; e quindi, integrando si ottiene, a meno di uno spostamento rigido: u = d x d x x + w Hx, x L u = d x x d x + w Hx, x L u = c x + d x x d x x + w Hx, x L dove w e' un vettore indipendente da x. Le deformazioni corrispondenti possono scriversi: e = w ; e x = J w N; e x x = w ; x e = Jd x d x d x + w N = x J d x + w N x e = Jd x d x +d x + w N = x Jd x + w N x e = c + d x d x ed utilizzando le leggi di Hooke si puo' dedurre lo stato tensionale: σ = µe + λ He +e +e L = λe + µe + λ He +e L = λ Hc + d x d x L + µ w + λ J w N x x x σ = λe + µe + λ He +e L = λ Hc + d x d x L + µ w + λ J w N x x x (0) () () () (4) (5) (6) (7) (8) (9)

6 68 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb σ = µe = µ J w N x x σ = µe = µ J d x + w x N σ = µe = µ Jd x + w x N σ = Hλ + µ L e + λ He +e L = Hλ + µ L Hc + d x d x L + λ J w N x x Le equazioni indefinite dell'equilibrio si scrivono ora: (40) (4) (4) (4) H µ + λl w x +Hλ + µl w + µ w x x x λd =0 H µ + λl w x +Hλ + µl w + µ w x x x + λd =0 w x + w = 0 x con le condizioni al contorno fornite dal teorema di Cauchy-Poisson (con n =0): (44) (45) (46) J µ w + λ J w NN n x x x + µ J w N n x x = λ Hc + d x d x L n µ J w N n x x +J µ w + λ J w NN n x x x = λ Hc + d x d x L n w n = d Hx n x n L Si puo' osservare che si sono ottenuti due distinti problemi, che e' possibile studiare separatamente. (47) (48) (49) à Il problema piano per le componenti w e w Si tratta di calcolare le due componenti w e w soddisfacendo le equazioni differenziali (44-45), definite sulla sezione retta S, assieme alle condizioni ai limiti (47-48) assegnate sul contorno G. Per snellire la scrittura si ponga ora: T = µ w + λ J w N x x x T = µ J w N x x T = µ w + λ J w N x x x in modo da poter scrivere le equazioni differenziali come: (50) (5) (5)

7 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 69 T + T λd x x = 0 T + T + λd x x = 0 con le corrispondenti condizioni ai limiti: T n + T n = λ Hc + d x d x L n T n +T n = λ Hc + d x d x L n (5) (54) (55) (56) Condizioni necessarie e sufficienti per risolvere questo problema e' che sia: λd A + λ Hc + d x d x L n s = 0 Σ λd A λ Hc + d x d x L n s = 0 Σ λ Hx d +x d L A Σ λ Hx Hc + d x d x L n +x Hc + d x d x L n L s = 0 Per il teorema della divergenza, si ha, ad esempio: (57) (58) (59) λ Hc + d x d x L n s = λ Σ Hc x + d x d x L A = λ d A Σ e quindi la (54) e' verificata. Analogamente: (60) λ Hc + d x d x L n s = λ Σ Hc x + d x d x L A = λ d A Σ e quindi sono verificate anche le (55-56). (6) ' evidente che il problema ai limiti puo' essere risolto scegliendo: T = λ Hc + d x d x L T = 0 T = λ Hc + d x d x L ossia, utilizzando le (50-5): (6) (6) (64) µ w + λ J w N = λ Hc x x x + d x d x L (65)

8 70 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb da cui: w + w =0 x x µ w + λ J w N = λ Hc x x x + d x d x L (66) (67) w = w = x x λ Hλ + µl Hc + d x d x L = Hc + d x d x L (68) w + w = 0 x x avendo utilizzato la (8) della Lezione 6. Integrando si ha infine, a meno di uno spostamento rigido: (69) w = J d Hx x L +d x x +c x N w = J d Hx x L d x x +c x N (70) (7) à Il problema della determinazione della componente w Occorre determinare la componente w che sia armonica sulla sezione retta S: w = w x + w = 0 x con derivata normale assegnata sul contorno G, e pari a: (7) w n = d Hx n x n L Si potra' allora esprimere la terza, ed ultima, componente di spostamento come: w = d Ψ Hx, x L con Y funzione armonica su S: Ψ = Ψ x + Ψ x = 0 e con derivata normale assegnata al contorno G: n = x n x n (7) (74) (75) (76) à Il campo di spostamenti di De Saint-Venant Gli spostamenti finali, quelli che derivati rispetto ad x forniscono un moto rigido, sono allora forniti da: u = d x d x x J d Hx x L +d x x +c x N (77)

9 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 7 u = d x x d x J d Hx x L d x x +c x N (78) u = c x + d x x d x x + d Ψ Hx, x L (79) ü Il problema dell'estensione Ponendo d = d = d = 0, si ottiene la prima soluzione di De Saint-Venant: u = c x u = c x u = c x (80) (8) (8) ü Il problema della flessione nel piano Ponendo d = d = c = 0, si ottiene la seconda soluzione di De Saint-Venant: u = d x x u = d Jx x x N u = d x x (8) (84) (85) ü Il problema della flessione fuori del piano Ponendo d = d = c = 0, si ottiene la terza soluzione di De Saint-Venant: u = d Jx x + x N (86) u = d x x u = d x x (87) (88) ü Il problema della torsione Ponendo infine d = d = c = 0, si ottiene la quarta soluzione di De Saint-Venant: u = d x x u = d x x (89) (90) u = d Ψ Hx, x L (9) ü La soluzione generale del problema di estensione-flessione-torsione Per enfatizzare il carattere della soluzione generale (77-79) come combinazione lineare dei quattro casi elementari di De Saint-Venant e' possibile esprimere sinteticamente la suddetta soluzione generale come:

10 7 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb con : u = a u HL + a u HL + a u HL + a 4 u H4L = 4 i= a i u HiL (9) a = c ;u HL = x ; u HL = x ; u HL = x (9) a = d ;u HL = a = d ; u HL = x x ; u HL = Jx x x N; u HL = x x Jx x + x N; u HL = x x ; u HL = x x (94) (95) a 4 = d ; u H4L = x x ; u H4L = x x ; u H4L = Ψ Hx, x L (96) Qualora si voglia mettere in evidenza la dipendenza della soluzione dalle costanti a i si potra' scrivere u = u(a), dove a e' il vettore di ordine quattro delle costanti della combinazione lineare. ü Il significato fisico delle costanti a i Per dare un significato fisico alle quattro costanti che compaiono nelle (77-79) si puo' ricavare, a partire da esse, deformazioni e tensioni, e poi calcolare le c.s.e. sulla base S. Le deformazioni saranno: Ne segue: e = d x d x c e = d x d x c = e e = d x d x +c = e e = H d x d x d x +d x + d x + d x L = 0 e = d J x + N x e = d Jx + N x (97) (98) (99) (00) (0) (0) e + e +e = J N e = e quindi le tensioni saranno fornite da: e (0) σ = σ = + e + + e + H + L H L He + e +e L = 0 H + L H L He + e +e L = 0 (04) (05) σ = 0 (06) σ = H + L d J x + N x (07)

11 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 7 σ = H + L d Jx + N x (08) σ = + e + H + L H L H L e = e = Hd x d x +c L Ne segue che le caratteristiche della sollecitazione esterna sulla sezione S saranno fornite da: (09) Σ Hd x d x +c L A = F HL HL Hd x d x +c L x A = M Σ (0) () HL Hd x d x +c L x A = M Σ µd Σ Jx +x +x x x x N A = M HL () () Infine, introducendo i momenti statici: S = Σ x A; S = Σ x A; (4) i momenti d'inerzia e centrifugo: I = Σ x A; I = Σ x A; I = Σ x x A; (5) e l'integrale: D = Σ Jx +x +x x x x N A (6) le (0-) divengono un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite c, d, d e d : Hd S d S +c AL = F HL Hd I d I +c S L = M HL Hd I d I +c S L = M HL (7) (8) (9) µd D = M HL Utilizzando le prime delle (9-96) si potra' anche scrivere, se si vuole evidenziare il ruolo delle costanti: (0) Ha S a S +a AL = F HL Ha I a I +a S L = M HL Ha I a I +a S L = M HL () () ()

12 74 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb µa 4 D = M HL (4) Si noti che scegliendo l'origine degli assi coincidente col baricentro della sezione si vengono ad annullare i momenti statici, e ruotando gli assi x ed x fino a portarli a coincidere con gli assi principali di inerzia si viene ad annullare anche il momento centrifugo, sicche' le quattro equazioni precedenti si disaccoppiano. La costruzione delle soluzioni relative al taglio Costruite le soluzioni per i problemi di classe K sembra naturale utilizzarle anche per ottenere un punto di partenza per le soluzioni della classe K.Il legame e' fornito dal Corollario, e dalla (6) sembra naturale cercare una soluzione del problema del taglio nella forma: x v = u HbL dx + u HcL +w Hx, x L 0 (5) dove b e c sono due vettori di costanti, di ordine quattro, che andranno determinati, insieme al campo vettoriale w, in modo da risolvere il problema del taglio. Si consideri preliminarmente che, per il corollario, u(b) e' soluzione del problema di estensione-flessione-torsione con caratteristiche (0, F HL, F HL, 0), e quindi dovra' essere: Hb S b S +b AL = 0 Hb I b I +b S L = F HL Hb I b I +b S L = F HL b 4 = 0 Cio' premesso, la (5) si scrive esplicitamente: x v = J b x b x x +b 0 Jx x + x NN x c x c x x + c Jx x + x N c 4 x x +w Hx, x L x v = J b x +b 0 Jx x x N +b x x N x c x +c Jx x x N +c x x +c 4 x x +w Hx, x L x v = Hb x +b x x b x x L x + 0 c x +c x x c x x +c 4 Ψ Hx, x L + φ Hx, x L avendo gia' utilizzato b 4 =0, ed avendo posto f = w.integrando si ha: (6) (7) (8) (9) (0) () ()

13 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 75 v = b x x b x x x +b Jx x x x + x N c x c x x + c Jx x + x N c 4 x x +w Hx, x L v = b x x +b Jx x x x x N +b x x x c x +c Jx x x N +c x x +c 4 x x +w Hx, x L v = b x +b x x b x x + c x +c x x c x x +c 4 Ψ Hx, x L + φ Hx, x L Le deformazioni connesse con questa terna di spostamenti sono: () (4) (5) da cui subito: e = b x b x x +b x x c c x + c x + w x e = b x b x x +b x x c c x +c x + w x e = J b x x b x x c x c x c 4 x + w x +b x x +b x x + c x +c x +c 4 x + w N = x J w N x x e = J b x b x x +b Hx x L c 4 x +c 4 + φ N x x e = J b x +b Hx x L +b x x +c 4 x +c 4 e = b x +b x x b x x + c +c x c x e +e +e = + φ N x x H L Hb x +b x x b x x + c +c x c x L + w x x e le corrispondenti tensioni sono fornite dalla legge di Hooke: σ = + Ie + He +e +e LM = H + L H L J w N x x σ = + Ie + He +e +e LM = H + L H L J w N = σ x x (6) (7) (8) (9) (40) (4) (4) (4) (44) σ = H + L J w N x x (45)

14 76 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb σ = H + L J b x b x x +b Hx x L c 4 x +c 4 + φ N x x σ = H + L J b x +b Hx x L +b x x +c 4 x +c 4 + φ N x x σ = Hb x +b x x b x x + c +c x c x L + H + L H L J w N x x Le prime due equazioni indefinite dell'equilibrio si scrivono: J w x + w N + x x J w x + w N = 0 x x (46) (47) (48) (49) J w + w x x x N + con condizioni al contorno fornite da: J w + w x x x N = 0 (50) J w N n x x + J w N n x x = 0 (5) J w N n x x + J w N n x x = 0 (5) ' questo un problema elastico piano corrispondente a forze di massa nulle e forze superficiali nulle. Ne segue che la soluzione sara', a meno di un ininfluentre moto rigido: w = 0; w = 0 La terza equazione indefinita dell'equilibrio porta invece a scrivere: (5) da cui: H + L J b b x +b x +c Ψ 4 x + φ x b b x +b x +c Ψ 4 x + φ x N + Hb +b x b x L = 0 (54) φ = J φ x + φ x N = Hb +b x b x L con la corrispondente condizione ai limiti: J b x b x x +b Hx x L c 4 x +c 4 che si semplifica in: J b x +b Hx x L +b x x +c 4 x +c 4 + φ x N n x + + φ x x N n =0 (55) (56)

15 Complementi 9 - Le soluzioni di De Saint-Venant.nb 77 φ n = Ib x b x x b Hx x LM n + Ib x b Hx x L b x x M n (57) Occorre anche imporre che sulla sezione retta S le caratteristiche della sollecitazione esterna si riducano ai due sforzi di taglio, e che quindi sia: Σ Hc +c x c x L A = 0 (58) Σ Hc +c x c x L x A = 0 (59) Σ Hc +c x c x L x A = 0 (60) ossia: Jx Jb Σ Hx x L +b x x +c 4 x +c 4 x J b x x +b Hx x L c 4 x +c 4 c A +c S c S = 0 c S +c I c I = 0 c S +c I c I + φ x x N + φ x x NN A = 0 (6) (6) (6) (64) c 4 D = Jx Jb Σ Hx x L +b x x + φ N x x J b x x +b Hx x L + φ NN A x da cui c = 0, c = 0, c = 0, e c 4 calcolabile a partire dalla (65). (65) In definitiva, allora, la soluzione ricercata sara': v = b x x b x x x +b Jx x x x + x N c 4 x x v = b x x +b Jx x x x x N +b x x x +c 4 x x (66) (67) v = b x +b x x b x x +c 4 Ψ Hx, x L + φ Hx, x L (68) con b, b e b calcolabili a partire dalle (6-8). Come sempre, la soluzione classica di De Saint-Venant si ricava imponendo che gli assi x ed x siano centrali di inerzia. In tal ipotesi si ha: Ab = 0 I b = F HL (69) (70)